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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應用（4）教案 新人教A版必修1 教學分析　　　　　 本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1必修(A版)》第三章的3.2.2“函數(shù)模型的應用實例”，即建立擬合函數(shù)模型解決實際問題． 函數(shù)模型的應用是中學數(shù)學的重要內容之一，它主要包含三個方面：利用給定的函數(shù)模型解決實際問題，建立確定性函數(shù)模型解決問題，建立擬合函數(shù)模型解決實際問題．而建立擬合函數(shù)模型解決實際問題是其重點，也是難點．函數(shù)模型的應用教學，既有不可替代的位置，又有重要的現(xiàn)實意義． 本節(jié)通過實例來說明函數(shù)模型的應用，是因為函數(shù)模型本身就來源于現(xiàn)實，能給學生提供更多從實際問題中發(fā)現(xiàn)或建立數(shù)學模型的機會，并體會數(shù)學在實際問題中的應用價值．因此在中學教學中有重要的地位． 學情分析　　　　　 學生在學習本節(jié)內容之前，已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質，理解了函數(shù)的圖象與性質之間的關系，尤其是學習了3.2.1幾類不同的函數(shù)增長模型和3.2.2函數(shù)模型的應用實例．學會了如何利用給定的函數(shù)模型解決實際問題，建立確定性函數(shù)模型解決問題，已經(jīng)具備了一定的函數(shù)模型應用能力．這為理解建立擬合函數(shù)模型解決實際問題提供了基礎，也為深入理解如何建立合適的擬合函數(shù)模型提供了依據(jù)．但學生對于動態(tài)數(shù)據(jù)認識薄弱，對于綜合應用函數(shù)圖象與性質尚不夠熟練，這些都給學生選擇合適的模型造成一定的困難．因此，在教學時應該為學生創(chuàng)設熟悉的問題情境，充分利用學生熟悉的函數(shù)圖象來選擇合適的模型．引導學生觀察、計算、思考和理解問題的本質． 教學目標　　　　　 知識與技能：了解函數(shù)擬合的基本思想，學會建立擬合函數(shù)模型解決實際問題． 過程與方法：借助信息技術，利用數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，從擬合簡單的一次函數(shù)模型入手，掌握多角度觀察函數(shù)圖象的技能，探究出各種合適的擬合函數(shù)模型．在建構知識的過程中體會數(shù)形結合的思想與從特殊到一般的歸納思想． 情感、態(tài)度與價值觀：體驗探究的樂趣，體驗函數(shù)是描述變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力． 重點與難點　　　　　 重點：將實際問題化為函數(shù)模型，建立合適的擬合函數(shù)模型解決簡單的實際問題． 難點：如何建立適當?shù)暮瘮?shù)模型來解決實際問題． 設計思想 一、創(chuàng)設應用情境，引出問題 前面我們學習過兩種函數(shù)模型的應用，分別是利用給定函數(shù)模型解決實際問題，建立確定性的函數(shù)模型解決問題，那么在既沒有給出函數(shù)模型又無法建立確定性函數(shù)模型的情況下，又該如何解決實際問題呢？ 二、組織探究 例1下表是我校從實施研究性學習以來，高一年級段學生的研究性學習小論文在我市每年一次的評比中獲獎的相關數(shù)據(jù)． 年份 1 2 3 4 5 篇數(shù) 14 21 27 35 41 請描點畫出獲獎篇數(shù)隨年份變化的圖象，并寫出一個能基本反映這個變化現(xiàn)象的函數(shù)解析式． 設計意圖 以學生熟悉的實際問題為背景，激活學生的原有知識，形成學生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識和原知識形成聯(lián)系，同時也體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值． 探究： (1)組織學生讀、議，小組討論該如何分析題目？ ①列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 14 2 21 3 27 4 35 5 41 ②描點 圖1 ③根據(jù)點的分布特征，可以考慮以一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)作為描繪篇數(shù)與年份的變化趨勢． 取(1,14)，(4,35)，有 解得這樣，我們就得到函數(shù)模型y＝7x＋7. 作出此模型函數(shù)圖象如下： 圖2 根據(jù)上述圖象，我們發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映我校獲獎篇數(shù)與年份的變化趨勢. 變式訓練 我校自實施研究性學習以來，全校三個年級段學生的研究性學習小論文在我市每年一次的評比中第1年、第2年、第3年的獲獎篇數(shù)分別是52、61、68.為了預測以后每年的獲獎篇數(shù)，甲同學選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙同學選擇了模型y＝pqx＋r，其中y為篇數(shù)，x為年份．a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結果第4年、第5年、第6年的獲獎篇數(shù)分別為74、78、83，你認為誰選擇的模型較好？探究組織學生讀、議，小組討論分析、解決問題．  　解：(1)列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83 (2)畫散點圖 圖3 (3)確定函數(shù)模型 由前三組數(shù)據(jù)，用計算器確定函數(shù)模型： 甲：y1＝－x2＋12x＋41； 乙：y2＝－52.070.778x＋92.5. (4)作出函數(shù)圖象進行比較 計算x＝6時，y1＝77，y2＝80.9. 圖4 可見，乙同學選擇的模型較好. 設計意圖 此變式訓練是為進一步鞏固例1的擬合函數(shù)思想，培養(yǎng)學生的應用數(shù)學意識與提高解決問題能力． 例2我校不同身高的男、女同學的體重平均值如下表： 身高/cm 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 體重/kg 42.9 44.8 46.5 48.5 50.2 52.3 54.2 56.6 59.1 61.4 63.8 66.2 (1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映我校同學體重y kg與身高x cm的函數(shù)關系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式． (2)若體重超過相同身高的同學體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，下面請各位同學對照擬合函數(shù)模型來測算自己的體重是否正常？ 設計意圖 本例題以學生熟悉的問題出發(fā)再創(chuàng)設情境，引起學生的學習興趣，再次引發(fā)學生構建自身基礎上的“再創(chuàng)造”，并通過小組合作學習，培養(yǎng)學生解決問題的能力，應用數(shù)學的意識． 問題(1)的探究： ①通過學生自主活動分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本題只給出了通過測量得到的數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的． ②教師引導學生將表中的數(shù)據(jù)輸入計算器或計算機，畫出它們的散點圖．教師提問所作散點圖與已知的哪個函數(shù)圖象最接近，從而選擇這個函數(shù)模型． 圖5 由圖可發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)y＝abx的圖象可能與散點圖的吻合較好，可選之． ③教師再問：如何確定擬合函數(shù)模型中a，b值． ④教師把學生每4人分成一小組合作探究，求出擬合函數(shù)模型中a，b的值，然后畫出圖形，得到的擬合函數(shù)效果如何？ ⑤教師下去巡視后，請小組中的1名成員上臺到實物投影處講解． 組1：選取(150,42.9)，(154,46.5)兩組數(shù)據(jù)，用計算器得a＝0.918，b＝1.026. 從而得函數(shù)解析式為y＝0.9181.026x，畫出這個函數(shù)圖象與散點圖． 圖6 我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝0.9181.026x不能很好地反映我校學生身高與體重的關系． 組2：選取(168,61.4)，(172,66.2)兩組數(shù)據(jù)，用計算器算出a＝3.065，b＝1.018. 這樣得到函數(shù)模型為y＝3.0651.018x，畫出這個函數(shù)圖象與散點圖． 圖7 我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝3.0651.018x不能很好地反映我校學生身高與體重關系． 組3：選取(154,46.5)，(168,61.4)兩組數(shù)據(jù)，用計算器算出a＝2.2，b＝1.02. 這樣得出函數(shù)模型為y＝2.21.02x，畫出這個函數(shù)圖象與散點圖． 圖8 我們發(fā)現(xiàn)，散點圖上的點基本上或大多數(shù)接近函數(shù)y＝2.21.02x的圖象，所以函數(shù)y＝2.21.02x很好地刻畫了我校學生身高與體重的關系． 教師引導學生回顧問題的特點及解決問題的過程與方法．本題需要判斷選擇的函數(shù)模型與問題所給數(shù)據(jù)的吻合程度，當取表中不同的兩組數(shù)據(jù)時，得到的函數(shù)解析式可能會不一樣，需不斷修正．當然本題若運用計算器或計算機的擬合功能，那么獲得的函數(shù)模型會更精確，下課后同學們自己試一試，并且本例題體現(xiàn)了一個完整的建立函數(shù)模型進而解決問題的過程． 在教師引導下，請一學生歸納解決問題的基本過程： 設計意圖 引導學生進行反思和總結，并將之一般化，用流程的形式表達出來，培養(yǎng)了學生的反思能力及總結提升的能力． 問題(2)探究： 由于是研究學生自身的體重問題，因而學生的興趣很高，每人很快都編好了自己的問題，解答起來．如一男生身高175 cm，體重80 kg，他的計算如下： 將x＝175代入y＝2.21.02x，得y＝2.21.02175≈70.4. 由于8070.4≈1.136<1.2. 所以，該男生體重正常． 設計意圖 采用師生平等對話交流，學生單獨完成的模式．因為本題是測算自己本身體重的問題，所以學生興趣很高．本題問題難度不大，但意義重大，是培養(yǎng)數(shù)學應用意識的重要素材，即用擬合函數(shù)來預測自己關心的日常生活問題，學生體驗過程方式教學，體現(xiàn)了新課程的理念． 三、練習反饋 教材本節(jié)練習1. 學生完成后在小組中互相批改、交流． 設計意圖 本環(huán)節(jié)以個別指導為主，體現(xiàn)面對全體學生的理念，使學生及時鞏固所學知識、方法，以達到教學目標． 四、小結反思 以小組中1人總結，3人傾聽的方式，對本課內容進行自主小結，教師歸納強調建立擬合函數(shù)模型解決實際問題的基本過程． 設計意圖 提高學習主動性，培養(yǎng)學生表達、交流的數(shù)學能力，自主小結的形式是將課堂還給學生，是對所學內容的回顧與梳理． 五、課外作業(yè) 教材習題3.2A組1題，B組1題． 六、課外實踐 通過擬合函數(shù)模型看溫州經(jīng)濟發(fā)展． 上網(wǎng)收集1995～xx年溫州的國內生產總值、財政收支、對外經(jīng)濟三項數(shù)據(jù)，建立適當?shù)臄M合函數(shù)模型，畫出擬合函數(shù)模型的圖象，并通過擬合函數(shù)圖象來預測溫州在xx年的經(jīng)濟發(fā)展狀況． 設計意圖 課外作業(yè)為鞏固作業(yè)，課外實踐為拓展作業(yè)，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識、提高解決問題的能力，培養(yǎng)學生的探究和再創(chuàng)造能力． 教學流程　　　　　 ——實際問題引入，激發(fā)學生興趣． ↓ ——畫出散點圖，建立模型，體會不同函數(shù)模型擬合的準確程度． ↓ ——由數(shù)據(jù)畫出散點圖，建立擬合函數(shù)模型，嘗試選擇不同的函數(shù)擬合數(shù)據(jù)并不斷修正． ↓ ——師生交流共同小結，歸納建立擬合函數(shù)模型應用題的求解方法與步驟． ↓ ——強化基本方法及過程，規(guī)范基本格式． ↓ ——收集生活中的具體實際問題，運用擬合函數(shù)思想來解決，培養(yǎng)問題意識及提高應用數(shù)學的能力． 知識結構　　　　　 問題探討　　　　　 (1)第三章的3.2.2函數(shù)模型的應用實例是否可以設置為3課時，給定的函數(shù)模型、建立確定性函數(shù)模型、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題各設置1課時，這樣可以讓學生感受到函數(shù)的廣泛應用，真實體驗到數(shù)學是有用的；體現(xiàn)新課程的問題性，應用性特點；培養(yǎng)學生的問題意識，更加拓展學生數(shù)學活動的空間，發(fā)展學生“做數(shù)學”“用數(shù)學”的意識． (2)在函數(shù)模型的應用中，建立擬合函數(shù)模型解決實際問題是實際應用最廣泛、學生最陌生、也是難度最大的，尤其是如何建立適當?shù)臄M合函數(shù)模型來解決實際問題．建議在教材中是否可安排更多的建立擬合函數(shù)模型解決實際問題的例題，加深學生對如何建立適當擬合函數(shù)模型的理解．并在練習中多安排滲透擬合函數(shù)思想的思考題． 學習資源