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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 22橢圓及其性質(zhì)課時(shí)檢測(cè) 考點(diǎn)一　橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　D　 2.已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|. 【詳細(xì)分析】由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2). (2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4. 若l的傾斜角為90,則l與y軸重合,可得|AB|=2. 若l的傾斜角不為90,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q, 則=,可求得Q(-4,0), 所以可設(shè)l:y=k(x+4). 由l與圓M相切得=1, 解得k=. 當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=. 綜上,|AB|=2或|AB|=. 3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率. 【詳細(xì)分析】(1)設(shè)M到直線l的距離為d,根據(jù)題意,d=2|MN|. 由此得|4-x|=2, 化簡(jiǎn)得+=1, 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為+=1. (2)解法一:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). 將y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2) x2+24kx+24=0, 其中,Δ=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 由求根公式得x1+x2=-,?、? x1x2=. ② 又因A是PB的中點(diǎn),故x2=2x1, ③ 將③代入①,②得 x1=-,=, 可得=,且k2>, 解得k=-或k=,所以直線m的斜率為-或. 解法二:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A是PB的中點(diǎn), ∴x1=,　　　?、佟1=. ② 又+=1, ③　+=1,④ 聯(lián)立①,②,③,④解得或 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0), 所以直線m的斜率為-或. 考點(diǎn)二　橢圓的性質(zhì) 4.從橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C　 5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn),連結(jié)AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B　 6.橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于　　　　. 答案　-1 7.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,求k的值. 【詳細(xì)分析】(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1), 由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=-, x1x2=. 因?yàn)锳(-,0),B(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+. 由已知得6+=8,解得k=. 8.如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點(diǎn),|AA|=4. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P,過P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PPQ的面積S的最大值,并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【詳細(xì)分析】(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1.從而e2+=1. 由e=得b2==8,從而a2==16. 故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]). 設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-. 由對(duì)稱性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|, 所以S=|2y1||x1-x0|=2|x0| ==. 當(dāng)x0=時(shí),△PPQ的面積S取到最大值2. 此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(, 0),半徑|QP|==,因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.