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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 第四篇 第8講 推理與證明、復數(shù)、算法 1．推理方法 (1)合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納和類比是合情推理常見的方法，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)． [問題1]　圖1有面積關系：＝，則圖2有體積關系：__________________. (2)演繹推理 演繹推理是指如果推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理． 演繹推理的一般模式是“三段論”，包括：①大前提；②小前提；③結論． 2．證明方法 (1)直接證明 ①綜合法 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫綜合法．綜合法又叫順推法或由因導果法． ②分析法 一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法． (2)間接證明——反證法 一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法． (3)數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： ①(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0∈N*)時命題成立； ②(歸納遞推)假設n＝k (k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學歸納法． [問題2]　用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60”時，應假設________________________________________________________________________． 3．復數(shù)的概念 對于復數(shù)a＋bi(a，b∈R)，a叫做實部，b叫做虛部；當且僅當b＝0時，復數(shù)a＋bi(a，b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)a＋bi叫做虛數(shù)；當a＝0且b≠0時，復數(shù)a＋bi叫做純虛數(shù)． [問題3]　若復數(shù)z＝lg(m2－m－2)＋ilg(m2＋3m＋3)為實數(shù)，則實數(shù)m的值為________． 4．復數(shù)的運算法則與實數(shù)運算法則相同，主要是除法法則的運用，另外復數(shù)中的幾個常用結論應記熟： (1)(1i)2＝2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)設ω＝－i，則ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [問題4]　已知復數(shù)z＝，是z的共軛復數(shù)，則||＝________. 5．算法 (1)控制循環(huán)結構的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結束的條件．在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束． (2)條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重復，在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數(shù)的對應關系，對條件中的數(shù)值不要漏掉也不要重復了端點值． [問題5]　執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出a＝341，那么判斷框中可以是(　　) A．k<4? B．k>5? C．k<6? D．k<7? 易錯點1　復數(shù)概念不清 例1　設復數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虛部是實部的2倍，則實數(shù)a的值為(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 錯因分析　本題易出現(xiàn)的問題有兩個方面，一是混淆復數(shù)的實部和虛部；二是計算時，錯用運算法則導致失誤． 解析?。剑剑?，故該復數(shù)的實部是，虛部是. 由題意，知＝2. 解得a＝6.故選A. 答案　A 易錯點2　循環(huán)結束條件判斷不準 例2　如圖所示是一算法的程序框圖，若此程序運行結果為S＝720，則在判斷框中應填入關于k的判斷條件是(　　) A．k≥6? B．k≥7? C．k≥8? D．k≥9? 錯因分析　本題可以按照開始的輸入值、程序執(zhí)行的規(guī)律和輸出結果進行綜合解決．容易出錯的就是不清楚這個判斷條件是什么，本題是當不滿足判斷框中的條件時結束循環(huán)，當判斷框中的條件滿足時執(zhí)行循環(huán)，故應該從k＝10開始按照遞減的方式逐步進行，直到S的輸出結果為720. 解析　第一次運行結果為S＝10，k＝9，第二次運行結果為S＝109＝90，k＝8；第三次運行結果為S＝720，k＝7.這個程序滿足判斷框的條件時執(zhí)行循環(huán)，故判斷條件是k≥8？.故選C. 答案　C 易錯點3　類比不當 例3　已知圓的面積S(R)＝πR2，顯然S′(R)＝2πR表示的是圓的周長：C＝2πR.把該結論類比到空間，寫出球中的類似結論：________________________________________. 錯因分析　該題易出現(xiàn)的問題是從平面圓類比到空間球的結論時缺乏對應特點的分析，誤以為是球的表面積的導數(shù)問題，而無法得到正確的結論． 解析　平面圖形的面積應該和空間幾何體的表面積問題類比；平面圖形的周長應和空間幾何體的表面積類比．所以半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導函數(shù)V′(R)＝3πR2＝4πR2，顯然表示的是球的表面積． 所以結論是：半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2. 答案　半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2 易錯點4　歸納假設使用不當 例4　用數(shù)學歸納法證明：＋＋…＋＜1(n∈N*)． 錯因分析　解答本題時，歸納假設使用不當，如果直接應用歸納假設到n＝k＋1有＋＋…＋＋＝f(k)＋＜1＋＜1不成立，就會致使證明中斷或隨便下結論． 證明　(1)當n＝1時，f(1)＝＜1成立； (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時，f(k)＜1成立，即＋＋…＋＜1成立，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＝＋(＋＋…＋)＝＋f(k)＜＋1＝1. 即當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)，知不等式對任意n∈N*都成立． 1．(xx青島質檢)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 2．(xx溫州五校聯(lián)考)集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i為虛數(shù)單位)，N＝{－9,3}，若A∩N≠?，則實數(shù)m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．3或－3 D．3 3．(xx北京海淀區(qū)期末)閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸入的n的值為6，那么運行相應程序，輸出的n的值為(　　) A．3 B．5 C．10 D．16 4．觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結論是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 5．設f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個 6．(xx沈陽質量監(jiān)測)有如圖所示的程序框圖，則該程序框圖表示的算法的功能是(　　) A．輸出使124…n≥1 000成立的最小整數(shù)n B．輸出使124…n≥1 000成立的最大整數(shù)n C．輸出使124…n≥1 000成立的最大整數(shù)n＋2 D．輸出使124…n≥1 000成立的最小整數(shù)n＋2 7．(xx廣東七校聯(lián)考)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 … 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)是________． 8．若復數(shù)z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(z1－z2)i的實部為________． 9．在平面上有如下命題“O為直線AB外的一點，則點P在直線AB上的充要條件是：存在實數(shù)x，y，滿足＝x＋y，且x＋y＝1”，類比此命題，給出在空間相應的一個正確命題是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 10．(xx湖北)設a是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復數(shù)字的三位數(shù)．將組成a的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I(a)，按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)(例如a＝815，則I(a)＝158，D(a)＝851)．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，任意輸入一個a，輸出的結果b＝________. 學生用書答案精析 8．推理與證明、復數(shù)、算法 要點回扣 [問題1]?。? [問題2]　三角形三個內角都大于60 [問題3]　－2 [問題4]　1 [問題5]　C　[根據(jù)程序框圖， 第一次循環(huán)，a＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2； 第二次循環(huán)，a＝41＋1＝5，k＝2＋1＝3； 第三次循環(huán)，a＝45＋1＝21，k＝3＋1＝4； 第四次循環(huán)，a＝421＋1＝85，k＝4＋1＝5； 第五次循環(huán)，a＝485＋1＝341，k＝5＋1＝6. 要使輸出的a＝341，判斷框中可以是“k<6？”或“k≤5？”． 故選C.] 查缺補漏 1．A　[∵＝＝＋i， ∴＝0，≠0，∴a＝2.] 2．D　[由題意可知－3m＋(m－3)i必為實數(shù)，則m＝3，經檢驗符合題意．] 3．B　[輸入n＝6時，第一次循環(huán)，有n＝＝3，i＝0＋1＝1；第二次循環(huán)，有n＝33＋1＝10，i＝1＋1＝2；第三次循環(huán)，有n＝＝5，i＝2＋1＝3，退出循環(huán)，此時n＝5.] 4．B　[1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以歸納：等式左邊為連續(xù)自然數(shù)的和，有2n－1項，且第一項為n，則最后一項為3n－2，等式右邊均為2n－1的平方．] 5．C　[f(n)＝n＋n ＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2， f(5)＝0，… ∴集合中共有3個元素．] 6．D　[依題意與題中的程序框圖可知，該程序框圖表示的算法的功能是輸出使124…n≥1 000成立的最小整數(shù)n＋2.] 7. 解析　前n－1行共用了個數(shù)，即個數(shù)，也就是說第n－1行的最后一個數(shù)就是，那么，第n(n≥3)行的從左至右的第三個數(shù)是＋3，也就是. 8．－20 解析　(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， 故(z1－z2)i的實部為－20. 9．O為平面ABC外一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x，y，z，滿足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1 10．495 解析　取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693； 由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594； 由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495； 由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.