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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1新人教A版必修4 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；（2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運(yùn)用公式一；（5）樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 2、過程與方法 初中學(xué)過:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識三角函數(shù).講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí). 3、情態(tài)與價(jià)值 任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點(diǎn).過去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會影響學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解. 本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).這個(gè)定義清楚地表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系. 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）. 難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理解. 三、學(xué)法與教學(xué)用具 任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系. 另外，這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便，也使三角函數(shù)更加好用了. 教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板、圓規(guī)、計(jì)算器 四、教學(xué)設(shè)想 第一課時(shí) 任意角的三角函數(shù)（一） y P（a，b） r O M 【創(chuàng)設(shè)情境】 提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？ 借助右圖直角三角形，復(fù)習(xí)回顧. 引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。 數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎? 如圖,設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,那 a的終邊 P(x,y) O x y 么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則; ; . 思考：對于確定的角，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢？ 顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)： ; ; . 思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問題――任意角的三角函數(shù). 【探究新知】 1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓. 2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義? 如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: (1)叫做的正弦(sine),記做,即； （2）叫做的余弦(cossine),記做,即； （3）叫做的正切(tangent),記做,即. 注意:當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值. 3.思考:如果知道角終邊上一點(diǎn),而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢? 前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,, .所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 4.例題講評 例1.求的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角的終邊過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值. 教材給出這兩個(gè)例題，主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義.我也可以嘗試其他方法: 如例2:設(shè)則. 于是 ,,. 5.鞏固練習(xí)第1,2,3題 6.探究:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號填入表格中： 三角函數(shù) 定義域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 7．例題講評 例3．求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時(shí)，角為第三象限角. 8.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系? 顯然: 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一: (其中) 9.例題講評 例4.確定下列三角函數(shù)值的符號,然后用計(jì)算器驗(yàn)證: (1); (2); (3); (4) 例5.求下列三角函數(shù)值: (1); (2); (3) 利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值, 轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值. 另外可以直接利用計(jì)算器求三角函數(shù)值,但要注意角度制的問題. 10.鞏固練習(xí)第4,5,6,7題 11.學(xué)習(xí)小結(jié) (1)本章的三角函數(shù)定義與初中時(shí)的定義有何異同? (2)你能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號嗎? (3)請寫出各三角函數(shù)的定義域； (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時(shí)會準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎? 五、評價(jià)設(shè)計(jì) 1．作業(yè)：習(xí)題1.2 A組第1,2題． 2．比較角概念推廣以后,三角函數(shù)定義的變化.思考公式一的本質(zhì)是什么?要做到熟練應(yīng)用.另外,關(guān)于三角函數(shù)值在各象限的符號要熟練掌握,知道推導(dǎo)方法. 第二課時(shí) 任意角的三角函數(shù)（二） 【復(fù)習(xí)回顧】 1、 三角函數(shù)的定義； 2、 三角函數(shù)在各象限角的符號； 3、 三角函數(shù)在軸上角的值； 4、 誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等； 5、 三角函數(shù)的定義域. 要求：記憶.并指出，三角函數(shù)沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時(shí)，要結(jié)合定義進(jìn)行分析；并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶. 【探究新知】 1．引入：角是一個(gè)圖形概念，也是一個(gè)數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個(gè)數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個(gè)圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？ O x y a角的終邊 P T M A 2．[邊描述邊畫]以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）.當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則請你觀察: 根據(jù)三角函數(shù)的定義：； 隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動，、是否也跟著變化？ 3．思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?，使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)一致？ （2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？ 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向 時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 4.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）. 5.如何用有向線段來表示角的正切呢? 如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 6.探究：（1）當(dāng)角的終邊在第二、第三、第四象限時(shí)，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？ （2）當(dāng)?shù)慕K邊與軸或軸重合時(shí)，又是怎樣的情形呢？ 7.例題講解 例1．已知，試比較的大小. 處理:師生共同分析解答,目的體會三角函數(shù)線的用處和實(shí)質(zhì). 8.練習(xí)第1,2,3,4題 9學(xué)習(xí)小結(jié) (1)了解有向線段的概念. (2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (3)體會三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用. 【評價(jià)設(shè)計(jì)】 1． 作業(yè)： 比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計(jì)算器) (1)、 （2）、 （3）、 2．練習(xí)三角函數(shù)線的作圖.