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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程教案 蘇教版必修1 教學(xué)目標(biāo)： 使學(xué)生掌握二次函數(shù)與二次方程這二者之間的相互聯(lián)系，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 教學(xué)重點(diǎn)： 利用函數(shù)的圖象研究二次方程的根的分布問題. 教學(xué)難點(diǎn)： 利用函數(shù)的圖象研究二次方程的根的分布問題. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)引入 初中二次函數(shù)的圖象及有關(guān)的問題 Ⅱ.講授新課 　　問題：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之間有怎樣的關(guān)系？ 　　我的思路：（1）當(dāng)△＝b2－4ac＞0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）、（x2，0），（不妨設(shè)x1＜x2）對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有兩個(gè)不等實(shí)根x1、x2； 　?。?）當(dāng)△＝b2－4ac＝0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（x0，0），對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有兩個(gè)相等實(shí)根x0； 　?。?）當(dāng)△＝b2－4ac＜0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）沒有實(shí)根． 　?。劾?］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若A∪B＝A，求a的取值范圍． 　　解析：本例主要考查學(xué)生對(duì)于二次方程的根的分布解決能力和靈活轉(zhuǎn)化意識(shí)． 　　∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴BA． 　　若B＝，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，則△＝4a2－4（a＋2）＜0， 　　∴－1＜a＜2； 　　若B≠，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，　　∴a≥2或a≤－1． 　　∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的兩根為x1，2＝a． 　　則B＝{x|a－≤x≤a＋}，由題意知 　　 　　解之得2≤a≤，綜合可知a（－1，］． 　　解法二：f（x）＝x2－2ax＋a＋2， 　　如圖知 　　解之得2≤a≤，綜上可知a（－1，］． 　?。劾?］已知x的不等式＞ax的解區(qū)間是（0，2），求a的值． 　　解析：本題主要考查含參數(shù)無理不等式的解法，運(yùn)用逆向思維解決問題． 　　解法一：在同一坐標(biāo)系中，分別畫出兩個(gè)函數(shù)y1＝和y2＝ax的圖象． 如下圖所示，欲使解區(qū)間恰為（0，2），則直線y＝ax必過點(diǎn)（2，2），則a＝1． 解法二：∵0＜x＜2，當(dāng)a≥0時(shí)，則4x－x2＞a2x2． 　　∴0＜x＜，則＝2，∴a＝1． 　　當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解為（0，4），與題意不符， ∴a＜0舍去． 綜上知a＝1． 　　［例3］已知函數(shù)f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有實(shí)根， 　?。?）證明：－3＜c≤－1且b≥0； 　?。?）若m是方程f（x）＋1＝0的一個(gè)實(shí)根，判斷f（m－4）的正負(fù)，并說明理由． 　　解析：（1）由f（1）＝0，則有b＝－， 　　又因?yàn)閏＜b＜1，消去b解之得－3＜c＜－；　　　　　　　　　　　　　　　?、? 　　又方程f（x）＋1＝0有實(shí)根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有實(shí)根， 　　故△＝4b2－4（c＋1）≥0，消去b解之得c≥3或c≤－1；　　　　　　　　　　?、? 　　由①②可知，－3＜c≤－1且b≥0． 　　（2）f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），f（m）＝－1＜0，∴c＜m＜1， 　　從而c－4＜m－4＜－3＜c， 　　∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，即f（m－4）的符號(hào)為正． Ⅲ.課后作業(yè) 1．關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－）∪（，＋∞），求ab的值 　 解析：方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－、， 　　則 ∴ ∴ab＝24． 2．方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　　解析：方法一：利用韋達(dá)定理，設(shè)方程x2－2ax＋4＝0的兩根為x1、x2， 　　則解之得2≤a＜． 　　方法二：利用二次函數(shù)圖象的特征，設(shè)f（x）＝x2－2ax＋4， 　　則解之得2≤a＜． 3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集為{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集． 解析：由題意，方程ax2－5x＋b＝0的兩根為－3、－2，由韋達(dá)定理得 則所求不等式為6x2－5x－1＞0，解之得x＜－或x＞1． 4．關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解的集合為{－2}，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 　　解析：不等式組可化為， 　　∵x＝－2，（如下圖） 　　∴（2x＋5）（x＋k）＜0必為－＜x＜－k，－2＜－k≤3，得－3≤k＜2．