2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.2 雙曲線教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.2 雙曲線教案 ●知識(shí)梳理 定義 1.到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)(<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡 2.到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡 方程 1. -=1,c=,焦點(diǎn)是F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) 2.-=1,c=,焦點(diǎn)是F1(0,-c)、F2(0,c) 性質(zhì) H:-=1(a>0,b>0) 1.范圍:|x|≥a,y∈R 2.對(duì)稱性:關(guān)于x、y軸均對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 3.頂點(diǎn):軸端點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0) 4.漸近線:y=x,y=-x 5.離心率:e=∈(1,+∞) 6.準(zhǔn)線:l1:x=-,l2:x= 7.焦半徑:P(x,y)∈H, P在右支上, r1=|PF1|=ex+a, r2=|PF2|=ex-a; P在左支上, r1=|PF1|=-(ex+a), r2=|PF2|=-(ex-a) 思考討論 對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線-=1(a>0,b>0),其性質(zhì)如何?焦半徑公式如何推導(dǎo)? ●點(diǎn)擊雙基 1.(xx年春季北京)雙曲線-=1的漸近線方程是 A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析:由雙曲線方程可得焦點(diǎn)在x軸上,a=2,b=3.∴漸近線方程為y=x=x. 答案:A 2.過點(diǎn)(2,-2)且與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:可設(shè)所求雙曲線方程為-y2=λ,把(2,-2)點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得λ=-2. 答案:A 3.如果雙曲線-=1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么P到它的右準(zhǔn)線距離是 A.10 B. C.2 D. 解析:利用雙曲線的第二定義知P到右準(zhǔn)線的距離為=8=. 答案:D 4.已知圓C過雙曲線-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),且圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是____________. 解析:由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點(diǎn)和焦點(diǎn),所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4.故圓心坐標(biāo)為(4,).易求它到中心的距離為. 答案: 5.求與圓A:(x+5)2+y2=49和圓B:(x-5)2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為________________. 解析:利用雙曲線的定義. 答案:-=1(x>0) ●典例剖析 【例1】 根據(jù)下列條件,求雙曲線方程: (1)與雙曲線-=1有共同的漸近線,且過點(diǎn)(-3,2); (2)與雙曲線-=1有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3,2). 剖析:設(shè)雙曲線方程為-=1,求雙曲線方程,即求a、b,為此需要關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,由題意易得關(guān)于a、b的兩個(gè)方程. 解法一:(1)設(shè)雙曲線的方程為-=1, 由題意,得 =, -=1, 解得a2=,b2=4. 所以雙曲線的方程為-=1. (2)設(shè)雙曲線方程為-=1.由題意易求c=2. 又雙曲線過點(diǎn)(3,2),∴-=1. 又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8. 故所求雙曲線的方程為-=1. 解法二:(1)設(shè)所求雙曲線方程為-=λ(λ≠0), 將點(diǎn)(-3,2)代入得λ=,所以雙曲線方程為-=. (2)設(shè)雙曲線方程為-=1, 將點(diǎn)(3,2)代入得k=4,所以雙曲線方程為-=1. 評(píng)述:求雙曲線的方程,關(guān)鍵是求a、b,在解題過程中應(yīng)熟悉各元素(a、b、c、e及準(zhǔn)線)之間的關(guān)系,并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程axby=0,可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 【例2】 (xx年全國(guó),19)設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M(-1,0)、N(1,0)距離之差為2m,到x軸、y軸距離之比為2,求m的取值范圍. 剖析:由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線,由點(diǎn)P到x軸、y軸距離之比為2,知點(diǎn)P的軌跡是直線,由交軌法求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而可求得m的取值 范圍. 解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依題意得=2,即y=2x(x≠0). ① 因此,點(diǎn)P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點(diǎn)不共線,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0, ∴0<|m|<1.因此,點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2|m|的雙曲線上. 故-=1. ② 將①代入②,并解得x2=, ∵1-m2>0,∴1-5m2>0.解得0<|m|<, 即m的取值范圍為(-,0)∪(0,). 評(píng)述:本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識(shí),考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義. 【例3】 如下圖,在雙曲線-=1的上支上有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它們與點(diǎn)F(0,5)的距離成等差數(shù)列. (1)求y1+y3的值; (2)證明:線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點(diǎn),并求此點(diǎn)坐標(biāo). 剖析:可以驗(yàn)證F為焦點(diǎn),利用第二定義可得三點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也成等差數(shù)列,進(jìn)而有三點(diǎn)縱坐標(biāo)成等差數(shù)列,由此易得y1+y3的值.為求出AC的中垂線所過定點(diǎn),不妨設(shè)想作出A與C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′與C′.由雙曲線的對(duì)稱性,易知A′與C′也在雙曲線上,且A′、B、C′滿足題設(shè)條件,所以A′C′的中垂線也應(yīng)過此定點(diǎn).由兩條中垂線關(guān)于y軸對(duì)稱.所以定點(diǎn)應(yīng)在y軸上. (1)解:c==5,故F為雙曲線的焦點(diǎn),設(shè)準(zhǔn)線為l,離心率為e,由題設(shè)有2|FB|=|FA|+|FC|. ① 分別過A、B、C作x軸的垂線AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入①式,得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|, 即2|BB1|=|AA1|+|CC1|. 于是兩邊均加上準(zhǔn)線與x軸距離的2倍,有 2|BB2|=|AA2|+|CC2|, 此即26=y1+y3,可見y1+y3=12. (2)證明:AC的中垂線方程為 y-=-(x-),即y-6=-x+. ② 由于A、C均在雙曲線上,所以有-=1,-=1. 相減得=.于是有 =(y1+y3)=12=13, 故②變?yōu)閥=-x+,易知此直線過定點(diǎn)D(0,). 評(píng)述:利用第二定義得焦半徑,可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點(diǎn),中點(diǎn)問題往往把A、C的坐標(biāo)代入方程,兩式相減、變形,即可解決問題. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(xx年天津,4)設(shè)P是雙曲線-=1上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3,則|PF2|等于 A.1或5 B.6 C.7 D.9 解析:由漸近線方程y=x,且a=2,∴b=3.據(jù)定義有|PF2|-|PF1|=4,∴|PF2|=7. 答案:C 2.(xx年春季北京,5)“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 解析:由ab<0,得a>0,b<0或a<0,b>0. 由此可知a與b符號(hào)相反,則方程表示雙曲線,反之亦然. 答案:C 3.(xx年上海)給出問題:F1、F2是雙曲線-=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下:雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上;若不正確,將正確結(jié)果填在下面橫線上.______________________________________________. 解析:易知P與F1在y軸的同側(cè),|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=17. 答案:|PF2|=17 4.過點(diǎn)A(0,2)可以作____________條直線與雙曲線x2-=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn). 解析:數(shù)形結(jié)合,兩切線、兩交線. 答案:4 5.已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144. (1)求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程; (2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1||PF2|=32,求∠F1PF2的大小. 解:(1)由16x2-9y2=144得-=1, ∴a=3,b=4,c=5.焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),離心率e=,漸近線方程為y=x. (2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2= == =0. ∴∠F1PF2=90. 6.已知雙曲線x2-=1與點(diǎn)P(1,2),過P點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若P為AB中點(diǎn). (1)求直線AB的方程; (2)若Q(1,1),證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦. (1)解:設(shè)過P(1,2)點(diǎn)的直線AB方程為y-2=k(x-1), 代入雙曲線方程得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k4-4k+6)=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-, 由已知=xp=1,∴=2.解得k=1. 又k=1時(shí),Δ=16>0,從而直線AB方程為x-y+1=0. (2)證明:按同樣方法求得k=2,而當(dāng)k=2時(shí),Δ<0,所以這樣的直線不存在. 培養(yǎng)能力 7.雙曲線kx2-y2=1,右焦點(diǎn)為F,斜率大于0的漸近線為l,l與右準(zhǔn)線交于A,F(xiàn)A與左準(zhǔn)線交于B,與雙曲線左支交于C,若B為AC的中點(diǎn),求雙曲線方程. 解:由題意k>0,c=,漸近線方程l為y=x, 準(zhǔn)線方程為x=,于是A(,), 直線FA的方程為 y=,于是B(-,). 由B是AC中點(diǎn),則xC=2xB-xA=-,yC=2yB-yA=. 將xC、yC代入方程kx2-y2=1,得k2c4-10kc2+25=0. 解得k(1+)=5,則k=4. 所以雙曲線方程為4x2-y2=1. 8.(理)已知l1、l2是過點(diǎn)P(-,0)的兩條互相垂直的直線,且l1、l2與雙曲線 y2-x2=1各有兩個(gè)交點(diǎn),分別為A1、B1和A2、B2. (1)求l1的斜率k1的取值范圍; (2)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程. 解:(1)顯然l1、l2斜率都存在,否則l1、l2與曲線不相交.設(shè)l1的斜率為k1,則l1的方程為y=k1(x+). 聯(lián)立得 y=k1(x+), y2-x2=1,消去y得 (k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0. ① 根據(jù)題意得k12-1≠0, ② Δ1>0,即有12k12-4>0. ③ 完全類似地有-1≠0, ④ Δ2>0,即有12-4>0, ⑤ 從而k1∈(-,-)∪(,)且k1≠1. (2)由弦長(zhǎng)公式得|A1B1|=. ⑥ 完全類似地有|A2B2|=. ⑦ ∵|A1B1|=|A2B2|,∴k1=,k2=.從而 l1:y=(x+),l2:y=-(x+)或l1:y=-(x+),l2:y=(x+). (文)在雙曲線-=1上求一點(diǎn)M,使它到左右兩焦點(diǎn)的距離之比為3∶2,并求M點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離. 解:設(shè)M(x1,y1),左右兩焦點(diǎn)F1、F2,由雙曲線第二定義得 |MF1|=ex1+a,|MF2|=ex1-a, 由已知2(ex1+a)=3(ex1-a), 把e=,a=4代入,得x1=16,y1=3. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(16,3). 雙曲線準(zhǔn)線方程為x==. ∴M(16,3)到準(zhǔn)線的距離為12或19. 探究創(chuàng)新 9.(xx年春季上海)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線C′:-=1寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明. 解:類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其中-=1. 又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 由kPM=,kPN=,得kPMkPN==, 將y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得kPMkPN=. 評(píng)注:本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì),考查類比、歸納、探索問題的能力.它是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識(shí)的綜合性題目,對(duì)思維能力有較高的要求. ●思悟小結(jié) 本節(jié)重點(diǎn)是求雙曲線方程及由雙曲線方程求基本量,難點(diǎn)是雙曲線的靈活運(yùn)用.解決本節(jié)問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 1.由給定條件求雙曲線的方程,常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出方程的形式(含有參數(shù)),再由題設(shè)條件確定參數(shù)值,應(yīng)特別注意: (1)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),方程可能有兩種形式,應(yīng)防止遺漏; (2)已知漸近線的方程bxay=0,求雙曲線方程,可設(shè)雙曲線方程為b2x2-a2y2=λ(λ≠0),根據(jù)其他條件確定λ的值.若求得λ>0,則焦點(diǎn)在x軸上,若求得λ<0,則焦點(diǎn)在y軸上. 2.由已知雙曲線的方程求基本量,注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再計(jì)算,并要特別注意焦點(diǎn)位置,防止將焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯(cuò). 3.解題中,應(yīng)重視雙曲線兩種定義的靈活應(yīng)用,以減少運(yùn)算量. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 本節(jié)的重點(diǎn)是雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系及漸近線方程、準(zhǔn)線方程、第二定義的應(yīng)用.關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和掌握有關(guān)概念,靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn): 1.雙曲線中有一個(gè)重要的Rt△OAB(如下圖),它的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c.易見c2=a2+b2,若記∠AOB=θ,則e==. 2.雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,這里要注意兩點(diǎn): (1)距離之差的絕對(duì)值. (2)2a<|F1F2|,這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支; 當(dāng)|MF1|-|MF2|=-2a時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支; 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線; 當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在. 3.參數(shù)a、b是雙曲線的定形條件,兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,總有a>0,b>0;雙曲線焦點(diǎn)位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型;a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2;在方程Ax2+By2=C中,只要AB<0且C≠0,就是雙曲線的方程. 4.在運(yùn)用雙曲線的第二定義時(shí),一定要注意是動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線不是對(duì)應(yīng)的,則上述之比就不再是常數(shù)了. 5.給定了雙曲線方程,就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程,只是限制了雙曲線張口的大小,不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是=0,則可把雙曲線方程表示為-=λ(λ≠0),再根據(jù)已知條件確定λ的值,求出雙曲線的方程. 拓展題例 【例1】 已知雙曲線-=1的離心率e>1+,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l,能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)? 解:設(shè)在左支上存在P點(diǎn),使|PF1|2=|PF2|d,由雙曲線的第二定義知 ==e,即|PF2|=e|PF1|. ① 再由雙曲線的第一定義,得|PF2|-|PF1|=2a. ② 由①②,解得|PF1|=,|PF2|=, ∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, ∴+≥2c. ③ 利用e=,由③得e2-2e-1≤0, 解得1-≤e≤1+. ∵e>1,∴1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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