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2019-2020年高考數學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數 第2講　直接證明與間接證明教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．在歷年的高考中，證明方法是?？純热?，考查的主要方式是對它們原理的理解和用法．難度多為中檔題，也有高檔題． 2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數與方程、數列等知識為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法． 【復習指導】 在備考中，對本部分的內容，要抓住關鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強訓練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的．　　 基礎梳理 1．直接證明 (1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結論)． (2)分析法 ①定義：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法． ②框圖表示：→→→…→ . 2．間接證明 一般地，由證明p?q轉向證明：綈q?r?…?t. t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 一個關系 綜合法與分析法的關系 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用． 兩個防范 (1)利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的． (2)用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)p＝＋，q＝(m、n、a、b、c、d均為正數)，則p、q的大小為(　　)． A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不確定 解析　q＝ ≥ ＝＋＝p，當且僅當＝時取等號． 答案　B 2．設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關系為(　　)． A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b 解析　a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當x＜0時，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案　A 3．否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為(　　)． A．a，b，c都是奇數 B．a，b，c都是偶數 C．a，b，c中至少有兩個偶數 D．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 解析　∵a，b，c恰有一個偶數，即a，b，c中只有一個偶數，其反面是有兩個或兩個以上偶數或沒有一個偶數即全都是奇數，故只有D正確． 答案　D 4．(xx廣州調研)設a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是(　　)． A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析　∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0. 答案　D 5．在用反證法證明數學命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確． 例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內一點，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時應分：假設________和________兩類． 答案　∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP　　 考向一　綜合法的應用 【例1】?設a，b，c＞0，證明：＋＋≥a＋b＋c. [審題視點] 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式． 證明　∵a，b，c＞0，根據均值不等式， 有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 當且僅當a＝b＝c時取等號． 即＋＋≥a＋b＋c. 綜合法是一種由因導果的證明方法，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因導果法．其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結論的正確性． 【訓練1】 設a，b為互不相等的正數，且a＋b＝1，證明：＋＞4. 證明?。?a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4. 又a與b不相等．故＋＞4. 考向二　分析法的應用 【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. [審題視點] 先去分母，合并同類項，化成積式． 證明　∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要證原不等式成立， 只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立， 故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵． 【訓練2】 已知a，b，m都是正數，且a＜b. 求證：＞. 證明　要證明＞，由于a，b，m都是正數， 只需證a(b＋m)＜b(a＋m)， 只需證am＜bm， 由于m＞0，所以，只需證a＜b. 已知a＜b，所以原不等式成立． (說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法) 考向三　反證法的應用 【例3】?已知函數f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． (2)用反證法證明f(x)＝0沒有負根． [審題視點] 第(1)問用單調增函數的定義證明；第(2)問假設存在x0＜0后，應推導出x0的范圍與x0＜0矛盾即可． 證明　(1)法一　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0. 所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因為x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以－＝＝＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0， 故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． 法二　f′(x)＝axln a＋＞0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． (2)假設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－，又0＜ax0＜1，所以0＜－＜1，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設矛盾．故f(x0)＝0沒有負根． 當一個命題的結論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器． 【訓練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明　假設向量a＋b與a－b平行， 即存在實數λ使a＋b＝λ(a－b)成立， 則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行， ∴得 所以方程組無解，故假設不成立，故原命題成立．　　 規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問題 【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設結論，導出矛盾，當問題從正面證明無法入手時，就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行. 【解決方案】 首先反設，且反設必須恰當，然后再推理、得出矛盾，最后肯定. 【示例】?(本題滿分12分)(xx安徽)設直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數k1，k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上． 第(1)問采用反證法，第(2)問解l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證． [解答示范] 證明　(1)假設l1與l2不相交， 則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.(4分) 這與k1為實數的事實相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分) (2)由方程組 解得交點P的坐標(x，y)為(9分) 從而2x2＋y2＝22＋2 ＝＝＝1， 此即表明交點P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分) 用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)必須從否定結論進行推理， 即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的． 【試一試】 已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數列{an}的通項公式； (2)求證數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列． [嘗試解答]　(1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an， 所以{an}是首項為1，公比為的等比數列，所以an＝. (2)反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)， 則2＝＋，所以22r－q＝2r－p＋1.① 又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*. 所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證．