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2019-2020年高考數學一輪總復習 10.7 空間角及其求法教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求異面直線所成的角 【例1】(xx天津模擬)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，CC1上的點，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值； (2)求證：AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1－ED－F的正弦值. 【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設AB＝1，依題意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0). 易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)， 于是cos〈，〉＝＝－. 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明：易知＝(1,2,1)， ＝(－1，－，4)，＝(－1，，0)， 于是＝0，＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED. (3)設平面EFD的法向量u＝(x，y，z)， 不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，為平面A1ED的一個法向量. 于是cos〈u，〉＝＝，從而sin〈u，〉＝. 所以二面角A1－ED－F的正弦值為. 方法二：(1)設AB＝1，可得AD＝2，AA1＝4，CF＝1，CE＝. 連接B1C，BC1，設B1C與BC1交于點M，易知A1D∥B1C.由＝＝，可知EF∥BC1，故∠BMC是異面直線EF與A1D所成的角. 易知BM＝CM＝B1C＝，所以cos∠BMC＝＝. 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明：連接AC，設AC與DE交于點N，因為＝＝，所以Rt△DCE∽Rt△CBA.從而∠CDE＝∠BCA. 又由于∠CDE＋∠CED＝90，所以∠BCA＋∠CED＝90.故AC⊥DE. 又因為CC1⊥DE且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACF.從而AF⊥DE. 連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF.從而AF⊥B1C，所以AF⊥A1D. 因為DE∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED. (3)連接A1N，FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF?平面ACF，A1N?平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.故∠A1NF為二面角A1－ED－F的平面角. 易知Rt△CNE∽Rt△CBA，所以＝.又AC＝，所以CN＝. 在Rt△CNF中，NF＝＝.在Rt△A1AN中，A1N＝＝. 連接A1C1，A1F，在Rt△A1C1F中，A1F＝＝. 在△A1NF中，cos∠A1NF＝＝. 所以sin∠A1NF＝. 所以二面角A1－ED－F的正弦值為. 【點撥】本題主要考查異面直線所成的角，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查利用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力. 【變式訓練1】已知二面角α－a－β的大小為θ(＜θ＜π)，直線AB?α，CD?β，且AB⊥a，CD⊥a，若AB與CD所成的角為φ，則(　　) A.φ＝0 B.φ＝θ－ C.φ＝θ＋ D.φ＝π－θ 【解析】選D. 題型二　求二面角 【例2】(xx北京模擬)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE； (3)求二面角A－BE－D的大小. 【解析】(1)設AC與BD交于點G，連接EG. 因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF∥EG. 因為EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，，1).所以＝(，，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0,1).所以＝0－1＋1＝0，＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE.所以CF⊥平面BDE. (3)由(2)知，＝(，，1)是平面BDE的一個法向量. 設平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，則n＝0，n＝0. 所以x＝0，且z＝y.令y＝1，則z＝. 所以n＝(0,1，).從而cos〈n，〉＝＝. 因為二面角A－BE－D為銳角，所以二面角A－BE－D的大小為. 【點撥】(1)本小題主要考查直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關系，考查空間想象力推理論證能力，運算求解能力，考查數形結合思想，化歸與轉化的思想. (2)空間的平行與垂直以及空間角是立體幾何中重點考查的內容；利用平面的法向量的夾角求二面角的平面角是向量知識在立體幾何中的應用，是求二面角常用方法. 【變式訓練2】在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為(　　) A. B. C. D. 【解析】選B. 題型三　求直線與平面所成的角 【例3】已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點. (1)求證：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值. 【解析】以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0). 設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 則D(0，m,0)，E(，，0)， 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)， 因為＝－＋0＝0，所以PE⊥BC. (2)由已知條件得m＝－，n＝1， 故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0,0,1). 設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量， 因此可以取n＝(1，，0). 由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝. 所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 【點撥】利用空間向量法求解問題時，適當建立空間坐標系是關鍵，建立坐標系時要抓住三條互相垂直且相交于一點的直線. 【變式訓練3】過正三棱錐S－ABC的側棱SB與底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，則側面與底面所成角的余弦值為(　　) A. B. C.或 D.或 【解析】選C.取AC中點E，分SB＝BE和SE＝BE兩種情況討論. 總結提高 1.求兩異面直線所成的角，一般用平移法；但若需要補形，則用向量法較好. 2.在求空間角的問題上，向量法和幾何法各有所長，應斟酌使用.