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2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 集合教學(xué)案 考綱指要： 考查重點是集合與集合之間的關(guān)系，特別是對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練。 考點掃描： 1．集合的定義及表示法。 2．集合的包含關(guān)系。 3．集合的運算：（1）全集與補集；（2）交集與并集。 考題先知： 例1．設(shè)集合，,求實數(shù)m的取值范圍. 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，即方程至少有一個負根。 解法一： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. 解法三：設(shè)這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于 點評：一元二次方程至少有一個負根，有幾種情形：（1）有兩個負根；（2）有一個負根和一個正根； （3）有一個負根和一個零根；考慮這三種情形未免顯得繁瑣，解法一從反面考慮，即“沒有負根”，再求其補集，不失為妙法。在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。 例2．已知集合若中的元素恰好是一個正八邊形的八個頂點，則正數(shù)的值為_______ 解析： 經(jīng)分類討論得，集合A表示以為頂點的正方形，集合B表示與這兩支雙曲線. x y B 欲使中的元素恰好是一個正八邊形的八個頂點，則由對稱性知，只要滿足與 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，且即可。設(shè)在第一象限內(nèi)，由消去得，則， 所以 (其中)。 又，所以， 則由，解得。 復(fù)習(xí)智略： 例3．對于集合，及它的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集元素，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)，例如：集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6，集合的“交替和”是5，當(dāng)集合N中的n=2時，的所有非空子集為，， ，則它的“交替和”的總和，請你嘗試對于n=3，4的情況，計算它們的S3，S4，根據(jù)結(jié)果猜測的每一個非空子集的“交替和”的總和的表達式，并證之。 分析：認真閱讀題目，理解“交替和”的定義，正確猜想后，常用方法是數(shù)學(xué)歸納法，但也可聯(lián)想組合數(shù)的有關(guān)思想證之。 解析：當(dāng)n=3時，所有非空子集為，，，，，， ，同理可得S4=32。 猜測： 證法一：設(shè)，考察N的所有非空子集的“交替和”的總和中含有的個數(shù)及其符號：集合N中比大的數(shù)共有個，N所有含的子集的個數(shù)即為集合 所有子集的個數(shù)，共有個，這個子集中不比大的元素的子集共有個（即所有子集的個數(shù)），此時在“交替和”的總和中符號為正；只含一個比大的集合共有個，此時在“交替和”的總和中符號為負；只含兩個比大的集合共有個，此時在“交替和”的總和中符號為正；------，所以在總和中的取“一”的項數(shù)共有：++ =，因為含的N的所有非空子集共有，所以N的所有非空子集的“交替和”的總和中符號為正的項數(shù)也有個，所以，總和中的項的和為0，因為n最大 ，總和中含n的項的符號都為正，所以。 證法二（數(shù)學(xué)歸納法）：當(dāng)n=1時，結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立。即當(dāng)?shù)拿恳粋€非空子集的“交替和”的總和; 則當(dāng)n=k+1時，此時N的子集可分為兩類：一類不含k+1，這類集合的“交替和”的總和就是；另一類含k+1，這類子集共有個，包括，這個子集可以有如下方法構(gòu)成：在的每一個子集（包括）中添加元素k+1，設(shè)的一個子集為其中，下面考察的“交替和”T（A）與 的“交替和”T（B）之間的關(guān)系，不妨設(shè)，則T（A）=， T（B）== k+1- T（A），所以，即 ，所以含有k+1的N的所有的個這樣子集的“交替和”的總和為 （k+1）-，故當(dāng)n=k+1時，=（k+1）， 綜上所述：。 推廣：當(dāng)時，其中，記，則其“交替和”的總和為 。 檢測評估： 1．設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 2.如圖，I為全集，M、P、S是I的三個子集，則陰影部分所表示的集合是 （ ） A． B． C． D． 3．設(shè)集合，其中，且，把滿足上述條件的一對整數(shù)對作為一個點的坐標(biāo)，可以得到的不同點的個數(shù)是（ ） A．7 B。8 C。9 D。10 4．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 5. 設(shè)函數(shù)，區(qū)間M=[a，b](a0, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。