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2019-2020年高考數學一輪總復習 8.3 圓的方程教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求圓的方程 【例1】求經過兩點A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程. 【解析】方法一：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為(－，－)， 由已知得即 解得 D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圓的方程為x2＋y2－2y－9＝0. 方法二：經過A(－1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上， AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 令x＝0，y＝1，圓心為(0,1)，r＝＝ ， 圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 【點撥】圓的標準方程或一般方程都有三個參數，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個獨立條件. 【變式訓練1】已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程. 【解析】設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 將P、Q兩點的坐標分別代入①得 令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的兩根. 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤ 解②、③、⑤組成的方程組，得 D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4， 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 題型二　與圓有關的最值問題 【例2】若實數x，y滿足(x－2)2＋y2＝3.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值. 【解析】(1)＝，即連接圓上一點與坐標原點的直線的斜率，因此的最值為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率，設＝k，y＝kx，kx－y＝0. 由＝，得k＝，所以的最大值為，的最小值為－. (2)令x－2＝cos α，y＝sin α，α∈[0,2π). 所以y－x＝sin α－cos α－2＝sin(α－)－2， 當sin(α－)＝－1時，y－x的最小值為－－2. (3)(x－4)2＋(y－3)2是圓上點與點(4,3)的距離的平方，因為圓心為A(2,0)，B(4,3)， 連接AB交圓于C，延長BA交圓于D. |AB|＝＝，則|BC|＝－，|BD|＝＋， 所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值為(＋)2，最小值為(－)2. 【點撥】涉及與圓有關的最值問題，可借助圖形性質，利用數形結合求解，一般地：①形如U＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為圓心已定的動圓半徑的最值問題. 【變式訓練2】已知實數x，y滿足x2＋y2＝3(y≥0).試求m＝及b＝2x＋y的取值范圍. 【解析】如圖，m可看作半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點與定點A(－3，－1)連線的斜率，b可以看作過半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點且斜率為－2的直線的縱截距. 由圖易得≤m≤，－2≤b≤. 題型三　圓的方程的應用 【例3】在平面直角坐標系xOy中，二次函數f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標軸有三個交點，經過三個交點的圓記為C. (1)求實數b的取值范圍； (2)求圓C的方程； (3)問圓C是否經過定點(其坐標與b無關)？請證明你的結論. 【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點是(0，b)， 由題意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0. (2)設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝－b－1. 所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圓C必過定點，證明如下： 假設圓C過定點(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點的坐標代入圓C的方程， 并變形為x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*) 為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0， 結合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0， 解得或 經檢驗知，點(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此圓C過定點. 【點撥】本題(2)的解答用到了代數法求過三點的圓的方程，體現了設而不求的思想.(3)的解答同樣運用了代數的恒等思想，同時問題體現了較強的探究性. 【變式訓練3】(xx安徽)動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周.已知時間t＝0時，點A的坐標是(，)，則當0≤t≤12時，動點A的縱坐標y關于t(單位：秒)的函數的單調遞增區(qū)間是(　　) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12] 【解析】選D.由題意知角速度為＝，故可得y＝sin(t＋),0≤t≤12， ≤t＋≤或π≤t＋≤π，所以0≤t≤1或7≤t≤12. 所以單調遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12]. 總結提高 1.確定圓的方程需要三個獨立條件，“選標準，定參數”是解題的基本方法.一般來講，條件涉及圓上的多個點，可選擇一般方程；條件涉及圓心和半徑，可選圓的標準方程. 2.解決與圓有關的問題，應充分運用圓的幾何性質幫助解題.解決與圓有關的最值問題時，可根據代數式子的幾何意義，借助于平面幾何知識，數形結合解決.也可以利用圓的參數方程解決最值問題.