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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升練69 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 理 新人教版 一、選擇題 1．在△ABC中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短邊為12，則它的最長邊的長度為(　　) A．16　　　B．18　　　C．27　　　D．24 【解析】　因?yàn)椤鰽BC∽△A′B′C′，AC＝6，BC＝4，BA＝9，所以△A′B′C′的最短邊是B′C′，最長邊是A′B′，＝，即＝，所以A′B′＝27. 【答案】　C 2．如圖15所示，已知AB∶BD＝2∶3，且BC∥DE，則S△ABC∶S梯形BDEC等于(　　) A．4∶21 B．4∶25 C．2∶5 D．2∶3 圖15 【解析】　∵AB∶BD＝2∶3且BC∥DE，∴AB∶AD＝2∶5， ∴＝， ∴＝. 【答案】　A 3．一個直角三角形兩條直角邊的比為1∶，則它們在斜邊上的射影比為(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶ D．1∶5 【解析】　如圖，在Rt△ABC中，BC∶AC＝1∶， 作CD⊥AB于D. ∴BC2＝ABBD，AC2＝ABAD， ∴＝，∴＝. 因此它們在斜邊上的射影比為1∶5. 【答案】　D 4．如圖16所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，則BF等于(　　) A．4 B．5 C．2 D．3 圖16 【解析】　由DE∥BC得＝＝，因?yàn)镈E＝6，所以BC＝10. 又因?yàn)镈F∥AC，所以四邊形DFCE為平行四邊形， 所以CF＝DE＝6，即BF＝10－6＝4.故選A. 【答案】　A 5．Rt△ABC中，∠C＝90，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝3∶2，則△ACD與△CBD的相似比為(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D.∶3 【解析】　如圖Rt△ABC中，由CD⊥AB及射影定理知， CD2＝ADBD，即＝， 又∵∠ADC＝∠BDC＝90， ∴△ACD∽△CBD. ∵BD∶AD＝3∶2 ∴令BD＝3t，AD＝2t， 即CD2＝6t2，即CD＝t，∴＝＝. 故△ACD與△CBD的相似比為∶3. 【答案】　D 6．如圖17，ED∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面積分為相等的三部分，若BC＝15，則FG的長為(　　) A．5 B．10 C．4 D．7.5 圖17 【解析】　∵DE、FG把△ABC的面積分為相等的三部分 ∴＝. ∵DE∥FG∥BC，∴△AFG∽△ABC. ∴＝＝. ∴＝，又BC＝15，∴FG＝5. 【答案】　A 二、填空題 7．(xx廣東高考)如圖18，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則＝________. 圖18 【解析】　根據(jù)EB＝2AE求出兩個相似三角形的對應(yīng)邊所成的比例，再利用相似三角形的性質(zhì)求解． 在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镋B＝2AE，所以＝＝，故＝3.因?yàn)锳E∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝2＝9. 【答案】　9 8．(xx陜西高考)如圖19，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝________. 圖19 【解析】　因?yàn)镻E∥BC，所以∠C＝∠PED.又因?yàn)椤螩＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，則＝，即PE2＝PDPA＝23＝6，故PE＝. 【答案】　 9．如圖20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD＝4，sin∠ACD＝，則CD＝________，BC＝________. 圖20 【解析】　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，CD＝＝3， 又由射影定理AC2＝ADAB，得AB＝＝. ∴BD＝AB－AD＝－4＝， 由射影定理BC2＝BDAB＝，∴BC＝. 【答案】　3　 三、解答題 10．如圖21所示，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：AFAD＝AGBF. 圖21 【證明】　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以AB∥DC，AD∥BC， 又AB∥CG，所以△GCF∽△ABF. 因?yàn)锳D∥CF，所以△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA， 所以＝，即AFAD＝AGBF. 11．如圖22，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C. (1)求證：△ABF∽△EAD. (2)若∠BAE＝30，AD＝3，求BF的長． 圖22 【解】　(1)證明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C， ∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD. (2)∵∠BAE＝30，∴∠AEB＝60，∴＝sin 60， 由(1)知＝，∴BF＝AD＝. 12．如圖23所示，AD與BE是△ABC的兩條高，DF⊥AB于F，直線FD交BE于點(diǎn)G，交AC的延長線于H，求證：DF2＝GFHF. 圖23 【證明】　在△AFH與△GFB中， 因?yàn)椤螲＋∠BAC＝90， ∠GBF＋∠BAC＝90， 所以∠H＝∠GBF. 因?yàn)椤螦FH＝∠GFB＝90， 所以△AFH∽△GFB， 所以＝，故AFBF＝GFHF. 因?yàn)樵赗t△ABD中，F(xiàn)D⊥AB， 由射影定理，得DF2＝AFBF， 故DF2＝GFHF.