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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 立體幾何（1）（含解析） 1、(xx四川卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　)． 解析：由于俯視圖是兩個圓，所以排除A，B，C，故選D. 2、若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　)． 解析：A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D. 答案：D 3、若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　)． 解析　所給選項中，A，C選項的正視圖、俯視圖不符合，D選項的側視圖不符合，只有選項B符合． 答案　B 4、(xx陜西卷)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　)． [正解]　還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線．故選B. [答案]　B 5、如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側視圖正確的是(　　)． 解析　注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實線，且由已知長度關系確定投影位置，排除A，C選項，觀察B，D選項，側視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D. 答案　D 6．沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為(　　)． 解析　給幾何體的各頂點標上字母，如圖1.A，E在側投影面上的投影重合，C，G在側投影面上的投影重合，幾何體在側投影面上的投影及把側投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項為B(而不是A)． 答案　B 7．已知正三棱錐V－ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示． 求出側視圖的面積． 解析：根據(jù)三視圖間的關系可得BC＝2， ∴側視圖中 VA＝＝2， ∴S△VBC＝22＝6. 8．如圖所示的是一個零件的直觀圖，試畫出這個幾何體的三視圖． 解　這個幾何體的三視圖如圖． 9．如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積； (3)求出該幾何體的體積． 解　(1)正六棱錐． (2)其側視圖如圖：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝a， ∴該平面圖形的面積S＝ aa＝a2. (3)V＝6a2a＝a3. 考點一　空間幾何體的表面積 1、如圖是一個幾何體的正視圖和側視圖，其俯視圖是面積為8的矩形．則該幾何體的表面積是(　　)． A．8 B．20＋8 C．16 　 D．24＋8 解析　由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個三棱柱，根據(jù)三視圖的性質，俯視圖的矩形寬為2，由面積8，得長為4，則該幾何體的表面積為S＝222＋24＋224＝20＋8. 答案　B 2、 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析　如圖所示： 該幾何體為長為4，寬為3，高為1的長方體內部挖去一個底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分． ∴S表＝(41＋34＋31)2＋2π11－2π12＝38. 答案　38 3、如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 (　　)． A. B. C. D. 解析：三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為＝. 答案：A 4、(xx山東卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________． [一般解法] 三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以＝1＝. [優(yōu)美解法] E點移到A點，F(xiàn)點移到C點，則＝＝111＝. [答案]　 5、(xx遼寧卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 (　　)． A. B．2 C. D．3 解析：因為在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側面BCC1B1內，矩形BCC1B1的對角線長即為球的直徑，所以2r＝＝13，即r＝. 答案：C 6、(xx新課標全國Ⅰ卷)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 (　　)． A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 解析　作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，設DE＝x，故AD＝2＋x，因為AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3(cm)，故該球的半徑AD＝5 cm，所以V＝πR3＝(cm3)． 答案　A 7．(xx廣東卷)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是(　　)． A．4 B. C. D．6 解析　由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2的正方形，高為2.由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積V＝(12＋＋22)2＝，故選B. 答案　B 8．(xx新課標全國卷)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)． A.π B．4π C．4π D．6π 解析　 如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半徑為，∴V＝π()3＝4π. 答案　B 9．(xx遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________． 解析　由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為16π－16. 答案　16π－16 10．(xx陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________． 解析　該幾何體為一個半圓錐，故其體積為V＝π1222＝. 答案　 11．(xx江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________. 解析　設三棱柱A1B1C1－ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝Sh＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24. 答案　1∶24 12．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC， BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACDBC＝22＝，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為. 13．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側面積(單位：cm2)為 (　　)． A．48 B．64 C．80 D．120 解析　據(jù)三視圖知，該幾何體是一個正四棱錐(底面邊長為8 cm)，直觀圖如圖，PE為側面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5 cm.∴此幾何體的側面積是S＝4S△PAB＝485＝80 (cm2)． 答案　C 14．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是 (　　)． A．12π B．24π C．32π D．48π 解析　該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐，其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為CC1＝4，該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的直徑為AC1＝4＝2R，所以球的半徑為R＝2，所以球的表面積是4πR2＝4π(2)2＝48π. 答案　D 15．(xx山東卷)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為 (　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，O為底面ABC的中心，連接PO，由題意知PO為直三棱柱的高，∠PAO為PA與平面ABC所成的角，S△ABC＝sin 60＝. ∴＝S△ABCOP＝OP＝，∴OP＝.又OA＝＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝. 答案　B 側面展開問題 1、如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________(其中PA1表示P，A1兩點沿棱柱的表面距離)． 解：由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開與面AA1B1B在一個平面上，如圖所示，連接A1C即可． 則A1、P、C三點共線時，CP＋PA1最小， ∵∠ACB＝90，AC＝4，BC＝C1C＝3， ∴A1B1＝AB＝＝5，∴A1C1＝5＋3＝8， ∴A1C＝＝.故CP＋PA1的最小值為. 答案　(1)　(2)