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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 圓的方程教案 理 教材分析 圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中幾何課中就已學(xué)過圓的定義及性質(zhì)．這節(jié)主要是用坐標(biāo)的方法畫圓———建立圓的方程．首先是根據(jù)圓的定義，建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而研究圓的一般方程，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用坐標(biāo)法，探討直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．由于圓是一種對稱、和諧的圖形，有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，因此，在運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的同時(shí)，充分利用了圓的幾何性質(zhì)．這節(jié)課的重點(diǎn)是圓的兩種方程的求法及互化，直線與圓位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的判定與求解．難點(diǎn)是對待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等方法的理解及靈活應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解和掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，并會(huì)熟練地進(jìn)行方程的互化，能根據(jù)條件靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ńA的方程． 2. 在直線的方程、圓的方程的基礎(chǔ)上，用代數(shù)、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關(guān)系． 3. 初步學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決與圓有關(guān)的一些簡單問題． 4. 能應(yīng)用圓的方程解決一些簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析、解決實(shí)際問題的能力． 任務(wù)分析 圓是學(xué)生比較熟悉的一種曲線，建立圓的方程也比較容易．學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取方程形式，否則，可能導(dǎo)致解題過程過于煩鎖．在解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題時(shí)，要盡可能挖掘、應(yīng)用關(guān)于圓的隱含條件，要注意數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的應(yīng)用． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 圓是最完美的曲線，它是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．定點(diǎn)是圓心，定長是半徑．在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢？ ［問　題］ 河北省趙縣的趙州橋，是世界著名的古代石拱橋，也是造成后一直使用到現(xiàn)在的最古老的石橋．趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個(gè)圓拱所在的圓的方程． 解析：要求圓的方程，只要確定圓心的位置和半徑的大小． 第一步：以圓拱對的弦所在的直線為ｘ軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)平面幾何知識可知，圓拱所在圓的圓心O必在y軸上，故可設(shè)O1（0，b）． 第二步：設(shè)圓拱所在圓的半徑為r，則圓上任意一點(diǎn)P（x，y）應(yīng)滿足O1P＝r，即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 因此，只須確定b和r的值，就能寫出圓的方程． 第三步：將點(diǎn)B（18.51，0），C（0，7.2）分別代入①， 得 解得 故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2＋（y＋20.19）2＝750.21． 二、建立模型 （1）一般地，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是以C（a，b）為圓心、r為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則CP＝r． 由兩點(diǎn)間的距離公式，得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 即（x－a）2＋（y－b）2＝r2． 反過來，若點(diǎn)P1的坐標(biāo)（x1，y1）是方程①的解， 則（x1－a）2＋（y1－b）2＝r2，即 這說明點(diǎn)P1（x1，y1）在以C（a，b）為圓心、r為半徑的圓上． 結(jié)論：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2叫作以（a，b）為圓心、r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 特別地，當(dāng)圓心為原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，圓的方程為x2＋y2＝r2． 三、解釋應(yīng)用（1） ［例　題］ 1. 已知兩點(diǎn)M（4，9），N（2，6），求以MN為直徑的圓的方程． 分析：先利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑r，然后分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組求出a，b． 2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為1∶2，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？請你根據(jù)這個(gè)關(guān)系，猜想動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． 解：根據(jù)題意，得 即x2－2x＋y2－3＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 變形，得（x－1）2＋y2＝4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 由方程①通過配方化為②，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以（1，0）為圓心、2為半徑的圓． 思考：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示圓呢？ ［練　習(xí)］ 寫出滿足下列條件的圓的方程． （1）圓心在原點(diǎn)，半徑為５． （2）圓心在C（6，－2），經(jīng)過點(diǎn)P（5，1）． 思考：點(diǎn)P（x0，y0）與（x－a）2＋（y－b）2＝r2位置關(guān)系的判斷方法是什么？ 四、建立模型（2） 將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方，得，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可知 （1）當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（－，－）為圓心、以為半徑的圓． （2）當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有一個(gè)解，表示一個(gè)點(diǎn)（－，－）. （3）當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0無實(shí)數(shù)解，不表示任何圖形． 結(jié)論：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0）叫作圓的一般方程． 思考：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的特點(diǎn)． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確地指出了圓心及半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)：x2，y2的系數(shù)相同且不等于0，沒有xy這樣的項(xiàng)，是特殊的二元一次方程． （2）探討一般的二元一次方程：Ax2＋Cy2＋Bxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件． Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件為A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0． 五、解釋應(yīng)用（2） ［例　題］ 1. 求過三點(diǎn)O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)． 分析：確定圓的一般方程，只要確定方程中三個(gè)常數(shù)D，E，F(xiàn)，為此，用待定系數(shù)法． 解：設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因?yàn)镺，M1，M2在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解．把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程，得 于是，得到所求圓的方程：x2＋y2－8x＋6y＝0． 由前面的討論可知，所求的圓的半徑，圓心坐標(biāo)是（4，－3）． 思考：本題能否利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解？有無其他方法？ 2. 已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛．問：一輛寬為2.7m、高為3m的貨運(yùn)車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？ 解：以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖25.2，那么半圓的方程為x2＋y2＝16，（y≥0）． 將x＝2.7代入，得 即離中心線2.7m處，隧道的高度低于貨車的高度． 因此，貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道． 思考：假設(shè)貨車的最大寬度為am，那么貨車要駛?cè)朐撍淼?，限高至少為多少米? ［練　習(xí)］ 1. 求經(jīng)過三點(diǎn)A（－1，5），B（5，5），C（6，2）的圓的方程． 2. 求過兩點(diǎn)A（3，1），B（－1，3）且圓心在直線3x－y－2＝0上的圓的方程． 六、拓展延伸 1. 自點(diǎn)A（－1，4）作圓（x－2）2＋（y－3）2＝1的切線，求切線l的方程． 思考：（1）當(dāng)點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為（2，2）或（1，1）時(shí)，討論該切線l與圓的位置關(guān)系分別有什么變化？ （2）如何判定直線與圓的位置關(guān)系的判定方法． 直線與圓的位置關(guān)系的判定常用兩種方法： 幾何法和代數(shù)法．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓C的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2． ①幾何法 設(shè)圓心（a，b）到直線l的距離為d，則 d＞ｒl與c相離； d＝rl與c相切； d＜rl與c相交． ②代數(shù)法 Δ＞0方程有兩個(gè)不同解方程組有兩個(gè)不同解l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn)相交；Δ＝0相切；Δ＜０相離． 2. 若圓x2＋y2＝m與圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點(diǎn)，求ｍ的取值范圍． 思考：如何判定圓與圓的位置關(guān)系． 圓與圓的位置關(guān)系的判定主要就是幾何法． 已知 ，則 d＞r1＋r2C1與C2外離； d＝r1＋r2C1與C2相外切； d＝｜r1－r2｜C1與C2相內(nèi)切； ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2C1與C2相交； d＜｜r1－r2｜C1與C2內(nèi)含． 3. 畫出方程：｜x｜－1＝表示的曲線． 4. 已知圓C：x2＋y2＝r2，直線l：ax＋by＝r2．當(dāng)點(diǎn)P（a，b）在圓C上、圓C內(nèi)和圓C外時(shí)，分別研究直線l與C具有怎樣的位置關(guān)系． 5. 已知：圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y＝0的距離為．求該圓的方程． 點(diǎn)　評 這節(jié)課重點(diǎn)研究了圓方程的兩種表示形式，突出了利用待定系數(shù)法、幾何法來確定圓的方程，及利用圓的方程解決簡單的實(shí)際問題，對圓與直線、圓與圓位置關(guān)系稍作涉列．由于初中幾何中研究這些知識較多，所以對這些內(nèi)容的探究放手于學(xué)生，對學(xué)生能力的培養(yǎng)與鍛煉大有好處．此外，例題和練習(xí)的選取配置較好，突出了與實(shí)際問題的聯(lián)系，易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．這篇案例在繼承中國傳統(tǒng)的“雙基”同時(shí)，著眼于在體現(xiàn)課程新理念上（尤其是體現(xiàn)新的探究、自主學(xué)習(xí)理念）有所突破．