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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 《歸納-猜想-論證》教案 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法．歸納法分為不完全歸納法與完全歸納法．對(duì)于無(wú)窮盡的事例，用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，這就是“歸納—猜想—論證”的思維方法．教材在介紹歸納法的基礎(chǔ)上，通過(guò)例題，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和學(xué)習(xí)這種科學(xué)研究的思維方法．論證時(shí)采用的數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)命題的一種重要方法，是演繹推理．本節(jié)內(nèi)容將歸納推理和演繹推理緊密結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生對(duì)歸納與演繹這一重要的數(shù)學(xué)思想有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)． 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．了解數(shù)學(xué)推理的常用方法：歸納法與演繹法，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的適用情況和證明步驟． 2．通過(guò)實(shí)例，理解利用歸納的方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的思想方法，獲得對(duì)于“歸納—猜想—論證”過(guò)程的體驗(yàn)，初步形成在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想和發(fā)現(xiàn)的能力． 3．體驗(yàn)概念形成過(guò)程，引起對(duì)“歸納—猜想—論證”思維方法的興趣，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：“歸納—猜想—論證”思維方法的滲透和學(xué)習(xí)． 難點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的進(jìn)一步理解和應(yīng)用． 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 例1，體驗(yàn)方法 復(fù)習(xí)回顧 實(shí)例引入 例2，認(rèn)識(shí)方法 運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)、課后習(xí)題) 五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1．引入 問(wèn)題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 選題目的：回顧并熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的過(guò)程與 基本步驟，為新課的引入做好鋪墊． 2．歸納猜想 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明一些等式，但是這些等式又 是如何得到的呢？ [說(shuō)明] 引起學(xué)生思考，探求結(jié)論獲得的可能方法：一是直接計(jì)算獲得結(jié)論，二是歸納猜想． 問(wèn)題2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算的值，你 可以得到什么結(jié)論？ 問(wèn)題3．費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解 析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)． 費(fèi)馬認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1， 2，3，4作了驗(yàn)證后得到的． 18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了=4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)． 問(wèn)題4．設(shè)，則當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ ，，，，，，， ，，，，，． 但是是合數(shù)． 找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來(lái)！ 3．歸納猜想論證 在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考慮一些特例， 進(jìn)行歸納，形成猜想，這是歸納與猜想．但猜測(cè)的結(jié)論一定正確嗎？不一定！通過(guò)歸納猜測(cè)的結(jié)論可能錯(cuò)誤也可能正確，然后一定要去證明這些猜想的正確與否．證明一個(gè)命題為假命題只需要舉出一個(gè)反例．證明一個(gè)命題為真命題需要邏輯推理． 例1．依次計(jì)算數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項(xiàng)值，由此猜測(cè)的有限項(xiàng)表達(dá)式，并加以證明． 選題目的：（1）引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的思考過(guò)程，形成歸納猜想的意識(shí)． （2）這里去掉了原題中“并用數(shù)學(xué)歸納法證明”的證明方法的要求，以期證明方法的開(kāi)放性，引起學(xué)生更開(kāi)闊的思考．如： （3）要證明對(duì)一切正整數(shù)都成立，一個(gè)一個(gè)驗(yàn)證是不可能的．一些與正整數(shù)有關(guān)的命題可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 例2．已知數(shù)列，，，…，，…，設(shè)為該數(shù)列前n項(xiàng)和，計(jì)算的值．根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)關(guān)于n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 選題目的：經(jīng)歷和體驗(yàn)“歸納—猜想—論證”的完整過(guò)程，理解掌握這一重要的思維方法． 4．練習(xí) P36—1，2，3 5．小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)用“歸納—猜想—論證”的方法分析和解決問(wèn)題． 歸納—猜想—論證是我們分析和解決問(wèn)題的常用方法，它經(jīng)歷三個(gè)過(guò)程：嘗試，觀察特例；體驗(yàn)，歸納猜測(cè)一般規(guī)律；理性，證明猜想．這也告訴我們?cè)诜治龊徒鉀Q問(wèn)題時(shí)要“大膽假設(shè)，小心求證”．大膽假設(shè)，也就是大膽猜測(cè)，這是探索發(fā)現(xiàn)真理的重要手段，是創(chuàng)造的源泉；但對(duì)猜想要小心求證，這是思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn)． 在證明過(guò)程中，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了如何用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行演繹推理證明． 6．作業(yè) P15—2，3 P16—4 六、教學(xué)建議與說(shuō)明 1．以問(wèn)題為中心．通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的分析與解決，追根溯源，提出疑惑．通過(guò)對(duì)問(wèn)題2，3，4的感受體驗(yàn)，思維沖擊，大膽質(zhì)疑．通過(guò)分析解決例題1，形成方法． 2．以思維方法為主線(xiàn)．應(yīng)切實(shí)讓學(xué)生感受“歸納—猜想—論證”這一重要數(shù)學(xué)思維方法的發(fā)展過(guò)程和理性認(rèn)識(shí)，將歸納推理和演繹推理緊密結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生對(duì)歸納與演繹這一重要的數(shù)學(xué)思想有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)．