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1、 求 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)對 應 的 曲 邊 梯 形 面 積 的 方 法 (2)取 近 似 求 和 :任 取 xixi-1, xi， 第 i個 小 曲 邊 梯 形 的 面 積 用高 為 f(xi)而 寬 為 Dx的 小 矩 形 面 積f(xi)Dx近 似 之 。 (3)取 極 限 :， 所 求 曲 邊 梯 形 的面 積 S為 取 n個 小 矩 形 面 積 的 和 作 為 曲 邊 梯形 面 積 S的 近 似 值 ： xi y=f(x) x yO ba xi+1xixD1lim ( )n in iS f xx = D 1 ( )n iiS f xx= D (1)分 割 :在 區(qū) 間 0

2、,1上 等 間 隔 地 插 入 n-1個 點 ,將 它 等 分 成n個 小 區(qū) 間 : 每 個 小 區(qū) 間 寬 度 x b an-= 1 1 2 1 1, , , , , , , , ,i i na x x x x x x b- - 一 、 定 積 分 的 定 義 1 1( ) ( )n ni ii i b af x f nx x= = -D = 小 矩 形 面 積 和 S=如 果 當 n時 ， S 的 無 限 接 近 某 個 常 數(shù) ，這 個 常 數(shù) 為 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 a, b上 的 定 積 分 ，記 作 ba f (x)dx， 即 baf (x)dx = = ni 10lim

3、f (x i)Dxi。 從 求 曲 邊 梯 形 面 積 S的 過 程 中 可 以 看 出 ,通 過 “ 四 步曲 ” :分 割 -近 似 代 替 -求 和 -取 極 限 得 到 解 決 . 1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即 定 積 分 的 定 義 ： 定 積 分 的 相 關 名 稱 ： 叫 做 積 分 號 ， f(x) 叫 做 被 積 函 數(shù) ， f(x)dx 叫 做 被 積 表 達 式 ， x 叫 做 積 分 變 量 ， a 叫 做 積 分 下 限 ， b 叫 做 積 分 上 限 ， a, b 叫 做 積 分 區(qū) 間 。 1( ) lim

4、( )n in i b af x dx fn x = -= ba即 O a b xy )(xfy = S=ba f (x)dx； 按 定 積 分 的 定 義 ， 有 (1) 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x) (f(x)0) ， 直 線 x=a、 x=b及 x軸所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 為 (2) 設 物 體 運 動 的 速 度 v=v(t)， 則 此 物 體 在 時 間 區(qū) 間a, b內 運 動 的 距 離 s為 s=ba v(t)dt。 O a b ( )v v t= tv定 積 分 的 定 義 ： 1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -

5、= ba即 1 1 20 0 1( ) 3S f x dx x dx= = = 根 據 定 積 分 的 定 義 右 邊 圖 形 的 面 積 為 1 x yO f(x)=x2 13S =1SD 2SD 2( ) 2v t t= - + Ov t12 ggg g gg3SD jSD nSD1n 2n 3n jn 1n n-4SD 1 1 20 0 5() ( 2) 3S v t dt t dt= = - = 根 據 定 積 分 的 定 義 左 邊 圖 形 的 面 積 為 1. dxxf )( 與 ba dxxf )( 的 差 別3 定 積 分 的 值 與 積 分 變 量 用 什 么 字 母 表 示

6、 無 關 ， 即 有 = ba baba duufdttfdxxf )()()(4 規(guī) 定 ： -= abba dxxfdxxf )()( 0)( =aa dxxf dxxf )( 是 )(xf 的 全 體 原 函 數(shù) 是 函 數(shù)ba dxxf )( 是 一 個 和 式 的 極 限 是 一 個 確 定 的 常 數(shù) 注 ：2 .當 xf ini D= )(1 x 的 極 限 存 在 時 ， 其 極 限 值 僅 與 被 積 函 數(shù)及 積 分 區(qū) 間 有 關 ， 而 與 區(qū) 間 ba, 的 分 法 及 xi點 的 取 法 無 關 。f(x) a,b (2)定 積 分 的 幾 何 意 義 ：O x y

7、 a b y=f (x) baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 x=a、 x=b與 x軸 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 。 當 f(x)0時 ， 積 分 dxxf ba )( 在 幾 何 上 表 示 由 y=f (x)、 特 別 地 ， 當 a=b 時 ， 有 baf (x)dx=0。 當 f(x)0時 ， 由 y=f (x)、 x=a、 x=b 與 x 軸 所 圍 成 的 曲邊 梯 形 位 于 x 軸 的 下 方 ， x yOdxxfS ba )(-=- ，dxxfba )( a b y=f (x) y=-f (x)dxxfS ba )(-=b af

8、 (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-S上 述 曲 邊 梯 形 面 積 的 負 值 。 定 積 分 的 幾 何 意 義 ： 積 分 ba f (x)dx 在 幾 何 上 表 示 baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-S a b y=f (x)O x y ( )y g x=探 究 :根 據 定 積 分 的 幾 何 意 義 ,如 何 用 定 積 分 表 示 圖 中陰 影 部 分 的 面 積 ?a 1 )baS f d x= 1 2 ( ) ( )b ba aS S S f xdx g xdx= - = - 2 ( )baS g x dx=

9、三 : 定 積 分 的 基 本 性 質 性 質 1. dx)x(g)x(f ba = ba ba dx)x(gdx)x(f性 質 2. ba dx)x(kf = ba dx)x(fk 三 : 定 積 分 的 基 本 性 質 定 積 分 關 于 積 分 區(qū) 間 具 有 可 加 性 = bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性 質 3. = 21 21 cc bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f O x ya b y=f (x) 性 質 3 不 論 a， b， c的 相 對 位 置 如 何 都 有a b y=f(x) baf (x)dx = caf (x)d

10、x bcf (x)dx。 ba f (x)dx =caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f (x)dx =ca f (x)dxbc f (x)dx。 cO x y baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 例 1： 利 用 定 積 分 的 定 義 ,計 算 的 值 . 1 30 x d x 例 2.用 定 積 分 表 示 圖 中 四 個 陰 影 部 分 面 積 積 為義 ， 可 得 陰 影 部 分 的 面根 據 定 積 分 的 幾 何 意上 連 續(xù) ， 且 ，在） 在 圖 中 ， 被 積 函 數(shù)（ ,0)( 0)(1 2 =xf axxf解 ： dxxA a

11、20=0 0 0 0ay x y x y x y xf(x)=x2 f(x)=x2-1 2 f(x)=1a b -1 2f(x)=(x-1) 2-1 積 為義 ， 可 得 陰 影 部 分 的 面根 據 定 積 分 的 幾 何 意上 連 續(xù) ， 且 ，在） 在 圖 中 ， 被 積 函 數(shù)（ ,0)( 21)(2 2 -=xf xxf解 ： dxxA 221-=0 0 0 0a y x y x y x y x-1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 積 為義 ， 可 得 陰 影 部 分 的 面根 據 定 積 分 的 幾 何 意上 連 續(xù)

12、， 且 ，在） 在 圖 中 ， 被 積 函 數(shù)（ ,0)( 1)(3 =xf baxf解 ： dxA ba=0 0 0 0a y x y x y x y x-1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 可 得 陰 影 部 分 的 面 積 為根 據 定 積 分 的 幾 何 意 義 ，上，在上，上 連 續(xù) ， 且 在 ，在） 在 圖 中 ， 被 積 函 數(shù)（ 0)(20,0)(01 211)1()(4 2 - -= xfxf xxf解 ： dxxdxxA -= - 1)1(1)1( 2202010 0 0 0ay x y x y x y x-

13、1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 成 立 。 說 明 等 式利 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 0sin22 =- xdx例 3：解 ： 所 以 并 有上，在 上，上 連 續(xù) ， 且 在，在在 右 圖 中 ， 被 積 函 數(shù), ,0sin20,0sin 0222 sin)( 21 AA xx xxf= - = 0)( 1222 =-=- AAdxxf 2- 22A1A x y f(x)=sinx1-1 利 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 ， 判 斷 下 列 定 積 分 值 的 正 、 負 號 。20 sin xdx -21 2dxx利 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 ， 說 明 下 列 各 式 。 成 立 ： 0sin2 0 = xdx = 200 sin2sin xdxxdx1） 2） .1） 2） . 練 習 ： 試 用 定 積 分 表 示 下 列 各 圖 中 影 陰 部 分 的 面 積 。 0 yxy=x21 2 0 xy=f(x)y=g(x)a by 例 4 dxx -10 21計算積分義知，該積分值等于解：由定積分的幾何意的面積（見下圖）所圍及軸，曲線10,1 2 =-= xxxxy x1y面積值為圓的面積的4141 10 2 =- dxx所以