《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 14.3 數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 14.3 數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版.doc（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 14.3 數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)明理由. 【解析】 假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立. 當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1； 當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6； 當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19. 解方程組解得 證明如下： 當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； 假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2＋ (k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)； 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 ＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]. 因此存在a＝，b＝2，c＝1，使等式對(duì)一切n∈N*都成立. 【點(diǎn)撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時(shí)要弄清等式兩邊的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律：由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化. 【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n∈N*時(shí)，＋＋…＋＝. 【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝， 左邊＝右邊，所以等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＝＋ ＝＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立. 由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立. 題型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題 【例2】 已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，是否存在自然數(shù)m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝(2k＋7)3k＋9能被36整除. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝(2k＋9)3k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由假設(shè)知3[(2k＋7)3k＋9]能被36 整除，又3k－1－1是偶數(shù)， 故18(3k－1－1)也能被36 整除.即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立. 故由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除. 由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值. 【點(diǎn)撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問(wèn)題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明n＝k＋1結(jié)論也成立時(shí)，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條件. 【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 【證明】方法一：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除. 由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， 所以n＝k＋1時(shí)命題也成立. 根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立. 方法二：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得 f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1時(shí)命題也成立. 根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立. 題型三　數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運(yùn)用 【例3】(xx山東模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上. (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求證：對(duì)任意的n∈N*，不等式 …＞成立. 【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上， 所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)). 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝b＋r；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1. 又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，故r＝－1且公比為b. (2)當(dāng)b＝2時(shí)，an＝2n－1， 所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)， 所以＝， 于是要證明的不等式為…＞對(duì)任意的n∈N*成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n＝1時(shí)，＞顯然成立. 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即…＞. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，…＞＝＝ ＝＝＝＞， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立，所以原不等式對(duì)任意n∈N*成立. 【點(diǎn)撥】 運(yùn)用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)必須要利用歸納假設(shè)的條件，并且靈活運(yùn)用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋(a∈R). (1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，且函數(shù)g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零點(diǎn)，求b的最大值； (2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)在(1)的條件下，數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求|an＋1－an|的最小值. 【解析】(1)f′(x)＝ex－1－，又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值， 所以f′(1)＝0，即a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. g′(x)＝ex－1－，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，g′(x)＝0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù). 所以g(x)在x＝1時(shí)取得極小值g(1)＝2＋b，依題意g(1)≤0，所以b≤－2， 所以b的最大值為－2. (2)f′(x)＝ex－1－， 當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時(shí)，ex－1－≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1， 令h(x)＝x2，則h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增， 所以h(x)在[1,2]上的最小值為h(1)＝1，所以a≤1； 當(dāng)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減時(shí)，同理a≥x2ex－1， h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值為h(2)＝4e，所以a≥4e. 綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e. (3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝＋，因此an＋1＝＋，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a3＝，a4＝，結(jié)論成立； ②設(shè)n＝k，k∈N*時(shí)結(jié)論成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2， 則n＝k＋1時(shí)，a2k＋3＝＋＜＋＝1， 所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝＋＞1＋1＝2. 所以n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立， 根據(jù)①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立， 所以|an＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an＋1－an|的最小值為1. 總結(jié)提高 數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)： 設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)： ①1∈M； ②若k∈M，則k＋1∈M，那么必有M＝N*成立. 數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過(guò)對(duì)兩個(gè)命題的證明替代了無(wú)限多次的驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)一. 從近幾年的高考試題來(lái)看，比較注重于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”是一種常見(jiàn)的命題形式.而涉及的知識(shí)內(nèi)容也是很廣泛的，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、整除性命題等.其難點(diǎn)往往在第二步，關(guān)鍵是“湊形”以便運(yùn)用歸納假設(shè)的條件.