2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.2 雙曲線教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.2 雙曲線教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【例1】已知動圓E與圓A:(x+4)2+y2=2外切,與圓B:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,求動圓圓心E的軌跡方程. 【解析】設(shè)動圓E的半徑為r,則由已知|AE|=r+,|BE|=r-, 所以|AE|-|BE|=2,又A(-4,0),B(4,0),所以|AB|=8,2<|AB|. 根據(jù)雙曲線定義知,點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支. 因為a=,c=4,所以b2=c2-a2=14, 故點(diǎn)E的軌跡方程是-=1(x≥). 【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿足的幾何條件,結(jié)合雙曲線定義求解,要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支. 【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線-=1的右支上一點(diǎn),M,N分別是圓(x+5)2+y2=4和 (x-5)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】選D. 題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 【例2】雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0),若C上存在一點(diǎn)P,使=0,求此雙曲線離心率的取值范圍. 【解析】設(shè)P(x,y),則由=0,得AP⊥PQ,則P在以AQ為直徑的圓上, 即 (x-)2+y2=()2,① 又P在雙曲線上,得-=1,② 由①②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0, 即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0, 當(dāng)x=a時,P與A重合,不符合題意,舍去; 當(dāng)x=時,滿足題意的點(diǎn)P存在,需x=>a, 化簡得a2>2b2,即3a2>2c2,<, 所以離心率的取值范圍是(1,). 【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式,是求離心率的取值范圍的常用方法. 【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是( ) A.k2-e2>1 B.k2-e2<1 C.e2-k2>1 D.e2-k2<1 【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義,可知直線的斜率k只需滿足-<k<,即k2<==e2-1,故選C. 題型三 有關(guān)雙曲線的綜合問題 【例3】(xx廣東模擬)已知雙曲線-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn). (1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程; (2)若過點(diǎn)H(0,h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點(diǎn),且l1⊥l2,求h的值. 【解析】(1)由題意知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),則有 直線A1P的方程為y=(x+),① 直線A2Q的方程為y=(x-).② 方法一:聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x=,y=,即x1=,y1=,③ 則x≠0,|x|<. 而點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線-y2=1上,所以-y=1. 將③代入上式,整理得所求軌跡E的方程為+y2=1,x≠0且x≠. 方法二:設(shè)點(diǎn)M(x,y)是A1P與A2Q的交點(diǎn),①②得y2=(x2-2).③ 又點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線上,因此-y=1,即y=-1. 代入③式整理得+y2=1. 因為點(diǎn)P,Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn),所以它們與點(diǎn)A1,A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過點(diǎn)(0,1)及A2(,0)的直線l的方程為x+y-=0. 解方程組得x=,y=0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2. 故軌跡E不過點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過點(diǎn)(0,-1). 綜上分析,軌跡E的方程為+y2=1,x≠0且x≠. (2)設(shè)過點(diǎn)H(0,h)的直線為y=kx+h(h>1), 聯(lián)立+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0, 解得k1=,k2=-. 由于l1⊥l2,則k1k2=-=-1,故h=. 過點(diǎn)A1,A2分別引直線l1,l2通過y軸上的點(diǎn)H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由(-)=-1,得h=. 此時,l1,l2的方程分別為y=x+與y=-x+, 它們與軌跡E分別僅有一個交點(diǎn)(-,)與(,). 所以,符合條件的h的值為或. 【變式訓(xùn)練3】雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2等于( ) A.1+2 B.3+2 C.4-2 D.5-2 【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解. 據(jù)題意設(shè)|AF1|=x,則|AB|=x,|BF1|=x. 由雙曲線定義有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a ?(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(+1)x-x=4a,即x=2a=|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|==. 又由定義可得|AF2|=|AF1|-2a=2a-2a,即=2-2a, 兩邊平方整理得c2=a2(5-2)?=e2=5-2,故選D. 總結(jié)提高 1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),但應(yīng)特別注意不同點(diǎn),如a,b,c的關(guān)系、漸近線等. 2.要深刻理解雙曲線的定義,注意其中的隱含條件.當(dāng)||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|時,P的軌跡是雙曲線;當(dāng)||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|時,P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線;當(dāng) ||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|時,P無軌跡. 3.雙曲線是具有漸近線的曲線,畫雙曲線草圖時,一般先畫出漸近線,要掌握以下兩個問題: (1)已知雙曲線方程,求它的漸近線; (2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y=x,可將雙曲線方程設(shè)為-=λ(λ≠0),再利用其他條件確定λ的值,求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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