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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第十一章11.5 數(shù)學歸納法教案 理 北師大版 考綱要求 1．了解數(shù)學歸納法的原理． 2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題． 知識梳理 1．由一系列有限的特殊事例得出______的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為____歸納法和______歸納法． 2．數(shù)學歸納法是證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取______時命題成立． (2)(歸納遞推)假設n＝k(k∈N＋)時命題成立，證明______時命題也成立． 3．應用數(shù)學歸納法時特別注意： (1)數(shù)學歸納法證明的對象是與______有關的命題． (2)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可． 基礎自測 1．用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步應驗證(　　)． A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 2．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的過程中，在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　)． A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝，則數(shù)列的前5項為__________，猜想它的通項公式是__________． 思維拓展 1．數(shù)學歸納法證題的基本原理是什么？ 提示：數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法，它的表述嚴格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可．第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在第二步的證明中一定要運用它，否則就不是數(shù)學歸納法．第二步的關鍵是“一湊假設，二湊結論”． 2．用數(shù)學歸納法證明問題應該注意什么？ 提示：(1)第一步驗證n＝n0時命題成立，這里的n0并不一定是1，它是使命題成立的最小正整數(shù)．(2)第二步證明的關鍵是合理運用歸納假設，特別要弄清由k到k＋1時命題的變化情況．(3)由假設n＝k時命題成立，證明n＝k＋1命題也成立時，要充分利用歸納假設，即要恰當?shù)亍皽悺背瞿繕耍? 一、用數(shù)學歸納法證明恒等式 【例1－1】n∈N＋，求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 【例1－2】已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)． (1)求證：cos A是有理數(shù)； (2)求證：對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)． 方法提煉數(shù)學歸納法證題的關鍵是第二步由n＝k到n＝k＋1的過渡，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，即借助于已經(jīng)學過的公式、定理或運算法則進行恒等變形，把n＝k＋1時的表達式拼湊出歸納假設的形式，再把運用歸納假設后的式子進行變形、證明． 請做[針對訓練]4 二、用數(shù)學歸納法證明不等式 【例2－1】用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)． 【例2－2】用數(shù)學歸納法證明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n. 方法提煉用數(shù)學歸納法證明不等式時常常要用到放縮法，即在歸納假設的基礎上，通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標不等式．事實上，在合理運用歸納假設后，可以使用證明不等式的任何方法證明目標式成立． 請做[針對訓練]3 三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題 【例3－1】用數(shù)學歸納法證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)＝n(n－3)(n≥3)． 【例3－2】平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成(n2＋n＋2)塊． 方法提煉用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何問題的一大技巧． 請做[針對訓練]1 四、歸納—猜想—證明 【例4－1】在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項和)，則S2，S3，S4分別為__________；由此猜想Sn＝__________. 【例4－2】設數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)當a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式； (2)當a1≥3時，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2. 方法提煉“歸納—猜想—證明的模式”，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合運用的解題模式，這種方法在解決探索性、存在性問題時起著重要作用，它的證題模式是先由歸納推理發(fā)現(xiàn)結論，然后用數(shù)學歸納法證明結論的正確性，這種思維方式是推動數(shù)學研究與發(fā)展的重要方式． 請做[針對訓練]2 考情分析 數(shù)學歸納法在高考命題中時隱時現(xiàn)，且較隱蔽，因此在復習中應引起重視．只要與正整數(shù)有關的命題，都可考慮用數(shù)學歸納法去證明．數(shù)學歸納法不僅能證明現(xiàn)成的結論的正確性，而且能證明新發(fā)現(xiàn)的結論的正確性．數(shù)學歸納法的應用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關系，猜想出相關結論，再用數(shù)學歸納法進行證明，初步形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式． 針對訓練 1．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，則這n個圓將平面分成不同的區(qū)域有(　　)． A．2n個 B．2n個 C．n2－n＋2個 D．n2＋n＋1個 2．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論． 3．若不等式＋＋…＋＞對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結論． 4．設數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0.證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝. 參考答案 基礎梳理自測 知識梳理 1．一般結論　完全　不完全 2．(1)第一個值n0(n0∈N＋)　(2)n＝k＋1 3．(1)正整數(shù) 基礎自測 1．C 2．C　解析：左邊是n＋2項的和，當n＝1時，左邊表示3項1＋2＋22的和． 3．，，，，　an＝ 考點探究突破 【例1－1】證明：(1)當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝＝.左邊＝右邊． (2)假設n＝k時等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當n＝k＋1時， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即當n＝k＋1時，等式也成立． 綜合(1)，(2)可知，對一切n∈N＋，等式成立． 【例1－2】證明：(1)由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知cos A＝是有理數(shù)． (2)用數(shù)學歸納法證明cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù)． ①當n＝1時，由(1)知cos A是有理數(shù)，從而有sin Asin A＝1－cos2A也是有理數(shù)． ②假設當n＝k(k∈N＋)時，cos kA和sin Asin kA都是有理數(shù)． 當n＝k＋1時，由cos(k＋1)A＝cos Acos kA－sin Asin kA， sin Asin(k＋1)A＝sin A(sin Acos kA＋cos Asin kA)＝(sin Asin A)cos kA＋(sin Asin kA)cos A， 由①和歸納假設，知cos(k＋1)A和sin Asin (k＋1)A都是有理數(shù)． 即當n＝k＋1時，結論成立． 綜合①，②可知，對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)． 【例2－1】證明：(1)當n＝2時，1＋＝＜2－＝，命題成立． (2)假設n＝k時命題成立，即1＋＋＋…＋＜2－. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋－ ＝2－命題成立． 由(1)，(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時均成立． 【例2－2】證明：設f(n)＝1＋＋＋…＋. (1)當n＝1時，f(1)＝1＋，原不等式成立． (2)設n＝k(k∈N＋)時，原不等式成立． 即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k成立． 當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋ ≥1＋＋＋＋…＋ ＞1＋＋＋＋…＋ ＝1＋＋＝1＋； f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋. ≤＋k＋＋＋…＋＜＋k＋＋＋…＋＝＋(k＋1) ∴n＝k＋1時，命題成立． 由(1)，(2)可知原命題對n∈N＋恒成立． 【例3－1】證明：(1)∵三角形沒有對角線，∴n＝3時，f(3)＝0，命題成立． (2)假設n＝k(k≥3)時，命題成立，即f(k)＝k(k－3)， 則當n＝k＋1時，凸k邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗＋1個頂點，對角線條數(shù)增加k－1條． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1＝(k＋1)[(k＋1)－3]． ∴當n＝k＋1時命題成立，由(1)，(2)可知對任何n∈N且n≥3，命題恒成立． 【例3－2】證明：(1)當n＝1時，1條直線把平面分成2塊，又(12＋1＋2)＝2，故命題成立． (2)假設n＝k(k≥1)時命題成立，即k條滿足題設的直線把平面分成(k2＋k＋2)塊，那么當n＝k＋1時，第k＋1條直線被k條直線分成k＋1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k＋1個平面塊，所以k＋1條直線把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]塊，這說明當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)，(2)知，對一切n∈N＋，命題都成立． 【例4－1】，，　Sn＝ 解析：由Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列， 得2Sn＋1＝Sn＋2S1， ∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2. 令n＝1，則2S2＝S1＋2＝1＋2＝3， ∴S2＝. 同理，分別令n＝2，n＝3， 可求得S3＝，S4＝， 由S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝， S4＝＝，猜想Sn＝. 【例4－2】解：(1)由a1＝2，得a2＝－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝－3a3＋1＝5， 由此猜想an的一個通項公式：an＝n＋1(n≥1)． (2)證明：用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假設當n＝k時不等式成立，即ak≥k＋2， 那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是說，當n＝k＋1時，ak＋1≥(k＋1)＋2. 根據(jù)①和②，對于所有n≥1，都有an≥n＋2. 演練鞏固提升 1．C　解析：n＝2時，分成4部分，可排除D；n＝3時，分成8部分，可排除A；n＝4時，分成14部分，可排除B，故選C. 2．解：由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 下面用數(shù)學歸納法進行證明： ①當n＝1時，由上可得結論成立． ②假設當n＝k(k∈N＋)時，結論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當n＝k＋1時， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2. 所以當n＝k＋1時，結論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)n都成立． 3．解：當n＝1時，＋＋＞， 即＞，所以a＜26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25，下面用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋＞. (1)當n＝1時，已證得不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋)時，不等式成立， 即＋＋…＋＞. 則當n＝k＋1時， 有＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋. 因為＋－＝－＝ ＝＞0， 所以當n＝k＋1時不等式也成立． 由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有＋＋…＋＞，所以a的最大值等于25. 4．證明：先證必要性． 設數(shù)列{an}的公差為d. 若d＝0，則所述等式顯然成立． 若d≠0，則＋＋…＋ ＝ ＝ ＝＝＝. 再證充分性． (數(shù)學歸納法)設所述的等式對一切n∈N＋都成立． 首先，在等式＋＝① 兩端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2， 所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d， 則a2＝a1＋d. 假設ak＝a1＋(k－1)d，當n＝k＋1時， 觀察如下兩個等式 ＋＋…＋＝，② ＋＋…＋＋＝，③ 將②代入③，得＋＝， 在該式兩端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak. 將ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后， 得ak＋1＝a1＋kd. 由數(shù)學歸納法原理知，對一切n∈N＋，都有an＝a1＋(n－1)d. 所以{an}是公差為d的等差數(shù)列．