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1、
《二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象》典型例題
例1 已知二次函數(shù),當(dāng)x=4時(shí)有最小值-3,且它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求此二次函數(shù)解析式。
例2 如果以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖13-25所示,那么代數(shù)式b+c-a與零的關(guān)系是( )
A.b+c-a=0; B.b+c-a>0;
C.b+c-a<0; D.不能確定。
例3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是( )
例4 如果拋物線y=-x2+2(m-1)x+m+1與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A點(diǎn)
2、在x軸的正半軸上,B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,OA的長(zhǎng)是a,OB的長(zhǎng)是b。
(1)求m的取值范圍;
(2)若a∶b=3∶1,求m的值,并寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)是M,問(wèn):拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
例5 已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn),頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是-3.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)的圖像與x的軸相交于,且經(jīng)過(guò)此二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)B,當(dāng)時(shí),
(?。┣蟮娜≈捣秶?
(ⅱ)求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值與最大值.
例6
3、 求函數(shù)解析式的題目
(1) 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
(2) 已知拋物線的頂點(diǎn)為,與軸交點(diǎn)為,求此拋物線的解析式.
(3) 已知拋物線與軸交于,,并經(jīng)過(guò)點(diǎn),求拋物線的解析式.
參考答案
例1 分析:因?yàn)槎魏瘮?shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值-3,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3),對(duì)稱(chēng)軸為x=4,拋物線開(kāi)口向上.圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,即拋物線過(guò)(1,0)點(diǎn).又根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,圖象與x軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0)有下面的草圖:
解:此題可用以下四種方法求出解析式。
方法一:因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸是x=4,拋物線與x軸的一個(gè)
4、交點(diǎn)為(1,0),由對(duì)稱(chēng)性可知另一點(diǎn)為(7,0),同例1,拋物線y=ax2+bx+c通過(guò)(4,-3)、(1,0)、(7,0)三點(diǎn),由此列出一個(gè)含a、b、c的三元一次方程組,可解出a、b、c來(lái)。
方法二:由于二次函數(shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值-3,又拋物線通過(guò)(1,0)點(diǎn),所以
由上面的方程組解出a、b、c。
方法三:由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)已知,可以設(shè)二次函數(shù)式為y=a(x+h)2+k,其中h=-4,k=-3即有y=a(x-4)2-3,式中只有一個(gè)待定系數(shù)a,再利用拋物線通過(guò)(1,0)或通過(guò)(7,0)求出a來(lái). 即得出. 所求二次函數(shù)解析式為
方法四:由于拋物線與x軸的兩個(gè)
5、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=1,x2=7.可以采用雙根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2),其中x1=1,x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系數(shù)a,再把頂點(diǎn)(4,-3)代入上式得:所求二次函數(shù)解析式為.
例2 解: 從圖13-25上看出拋物線開(kāi)口向下,所以a<0.當(dāng)x=0時(shí),y的值為正,所以c>0.又因?yàn)閽佄锞€以y軸為對(duì)稱(chēng)軸,所以b=0。
綜上分析知b+c-a>0,應(yīng)選B。
注意:這個(gè)題考察了二次函數(shù)中三個(gè)系數(shù)a、b、c的含義,二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線開(kāi)口方向,c為拋物線在y軸上的截距即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為,要根據(jù)圖象具體分析才能得出正確結(jié)論。
例3
6、 解:圖象大致是D。
分析: 這一類(lèi)題是考察數(shù)學(xué)邏輯推理能力.題目中a,b,c均是變量,字母多不知從何下手考慮.考慮問(wèn)題應(yīng)該是有層次的,首先抓住兩個(gè)函數(shù)共性的東西,如兩個(gè)圖象的交點(diǎn)中有一個(gè)是(0,c),也就是說(shuō)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)中有一個(gè)應(yīng)在y軸上,從而否定了A.和B.,且c>0.其次考慮完字母c后,再考慮a的取值.若a>0,則直線y=ax+c與x軸交點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)左邊,這樣否定了C.;再檢驗(yàn)D.,從二次函數(shù)圖象知a<0,且c>0,直線y=ax+c與x軸交點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)右邊,所以D.是正確的.考慮變量的取值范圍要先考慮第一個(gè)再考慮第二個(gè)、第三個(gè)有次序地進(jìn)行,切忌無(wú)頭緒地亂猜,思維混亂。
例4 解:(1
7、)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0).因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè),所以x1x2<0,即-(m+1)<0。
當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0,所以m的取值范圍是m>-1。
(2)因?yàn)閍∶b=3∶1,設(shè)a=3k,b=k(k>0),則x1=3k,x2=-k,所以
所以m=2。
所以拋物線的解析式是y=-x2+2x+3。
(3)易求拋物線y=-x2+2x+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,0),B(-1,0);拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C(0,3);頂點(diǎn)坐標(biāo)是M(1,4).設(shè)直線BM的解析式為
y=px+q,
所以直線BM的解析式是y=2x+2.設(shè)直線BM與y軸交于N,
8、則N點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2).所以
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),因?yàn)镾△ABP=8S△BCM.所以
所以|y|=4,由此得y=4。
當(dāng)y=4時(shí),P點(diǎn)與M點(diǎn)重合,即P(1,4);
所以滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)存在。
注意:這一類(lèi)題是探索性的,需要獨(dú)立思考,前兩問(wèn)是為第三問(wèn)作鋪墊的,都是常規(guī)的思路不太難.第三問(wèn)是假設(shè)條件成立可導(dǎo)出什么結(jié)果,在求△BCM的面積時(shí)要用分割法,因?yàn)椤鰾CM是任意三角形,它的面積不好求,而△BCN和△CMN的面積都好求,底都為CN=1,高都是1.S△BCM=S△BCN+S△CMN這樣就化難為易了.方程-x2+2x+3=4有解則P點(diǎn)存在,如果方程無(wú)解則P點(diǎn)不存在,探索
9、性題的思路都是這樣的。
例5 分析:(1)由已知條件可知,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,-3),所以可設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式,再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式,即可求得。(2)因?yàn)楫?dāng)取最小值時(shí),也取最小值;當(dāng)取最大值時(shí),也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直線的解析式,即可求出的取值范圍。
解:(1)∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)A(6,0),∴它的對(duì)稱(chēng)軸是.
∴它的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,-3).
設(shè)此二次函數(shù)為,把(6,0)代入解析式得,∴,故所求二次函數(shù)的解析式為 .
(2)(?。┝畹弥本€的解析式為,把(3,-3)代入得,故直線的解析式為.
令,得.
令得直線的解析式為,把
10、(3,-3)代入得,故直線的解析式為,令,則得.
故的取值范圍是.
(ⅱ)∵的OD邊上的高(即B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值)為定值3,故OD最小,則面積最小,OD最大,則面積最大.
∵OD最小為1,最大為2,
故的面積最小是,最大為3.
例6 (1)解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為………①
將(-1,-6)、(1,-2)和(2,3)分別代入①,得
解得
所以二次函數(shù)的解析式為
(2)解:因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為,
設(shè)其解析式為……①
將代入①得,,
所求拋物線的解析式為
即
(3)解:因?yàn)辄c(diǎn),是拋物線與軸的交點(diǎn),
所以設(shè)拋物線的解析式為………①
將代入①,得,
所求拋物線解析式為
即
說(shuō)明:此三題考查用待定系數(shù)法求拋物線的解析式,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇正確解析式的三種形式,將給我們做題帶來(lái)很大的方便.(1)中給出拋物線上任意三點(diǎn),所以選擇一般式;(2)中給出頂點(diǎn),所以選擇頂點(diǎn)式;(3) 中給出與軸的兩個(gè)交點(diǎn),所以選擇兩根式.
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