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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第27課時 相似圖形 內(nèi)容標準： （1）了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。 （2）通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。 （3）掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。 （4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的證明。 （5）了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。 （6）了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。 （7）會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。 （8）在直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點、有一條邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的。 數(shù)學思想、方法 在研究相似圖形性質(zhì)、判定的過程中，進一步發(fā)展空間觀念；經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。 十大核心概念在本節(jié)課中突出培養(yǎng)的是幾何直觀、空間觀念、符號意識、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識。 一、基礎(chǔ)知識梳理（課前完成） 1．比例線段 對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即___________，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段． 2.比例的性質(zhì) ⑴基本性質(zhì)：如果a:b=c:d(),那么___________；如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么___________． ⑵合比性質(zhì)：如果,那么___________． ⑶等比性質(zhì)：如果（b+d++n≠0），那么___________． 3．黃金分割 在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC），如果__________，那么線段AB被點C黃金分割。點C叫做線段的黃金分割點，AC與BC的比叫做黃金比，即___________≈___________． 4. 相似多邊形 ⑴定義：各角對應(yīng)__________、各邊對應(yīng)__________的兩個多邊形叫做相似多邊形（定義也是判別）．相似多邊形__________叫做相似比． ⑵性質(zhì)：①對應(yīng)角__________，對應(yīng)邊__________； ②周長比等于__________；面積比等于__________． 5. 相似三角形 ⑴性質(zhì)：①對應(yīng)角__________，對應(yīng)邊__________； ②相似三角形___________的比、對應(yīng)角平分線的比和___________的比都等于___________的比；周長比等于___________；面積比等于___________． ⑵判別：①兩角對應(yīng)__________的兩個三角形相似； ②兩邊對應(yīng)__________且夾角__________的兩個三角形相似； ③三邊對應(yīng)__________的兩個三角形相似． 注意：(1)全等是特殊的相似，即相似比為1：1 （2）相似三角形分類： ① A型 斜A型 A B C D E A B C D E A B （DE∥BC） （DE不平行于BC） ② X型 斜X型 A B C D E A B C D O （AB∥CD） （AB不平行于CD） （3）當條件中出現(xiàn)“某三角形與某三角形相似”往往要進行分類討論；當出現(xiàn)“某三角形～某三角形”時是唯一確定的． 6.位似圖形 ⑴定義：如果兩個圖形不僅是__________，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過__________，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．這個點叫做__________，這時的相似比又稱為__________． ⑵性質(zhì)：①位似圖形上任意一對對應(yīng)點到__________的距離之比等于__________． ②對應(yīng)線段的比等于__________； ③周長比等于__________；面積比等于__________． 注意：⑴相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ⑵位似圖形的放大或縮小要考慮兩種情況：同方向和反方向各做一個． 7.相似三角形的應(yīng)用 相似三角形的知識在實際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，這一應(yīng)用建立在數(shù)學建模和數(shù)形結(jié)合的思想的基礎(chǔ)上，把實際問題轉(zhuǎn)化為__________問題，通過求解數(shù)學問題達到解決__________問題的目的． 注意：⑴黃金分割的應(yīng)用：如舞臺主持人的位置、媽媽穿高跟鞋的高度等問題； ⑵利用相似測量物體的高度：如旗桿的高度、物體的影長等問題． 二、基礎(chǔ)診斷題 1．（xx?牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（　?。? 　 A． ﹣5 B． ﹣ C． D． 5 2．(xx年山東省濱州市)如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分 面積相等，則=　　． 3．（xx?宜昌）如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（　?。? 　 A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2） 4.如圖，∠DAB=∠CAE，請補充一個條件： ， 使△ABC∽△ADE． 5. （xx?天津）如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD 于點F，則EF：FC等于（　?。? 　 A． 3：2 B． 3：1 C． 1：1 D． 1：2 【精典例題】 例1. （xx?貴陽）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點均在格點上，要使△ABC∽△EPD，則點P所在的格點為（　?。? 　 A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 例2. （xx?隨州）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O， 則S△DOE：S△COB=（　　） 　 A． 1：4 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：2 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 例3（xx?菏澤）如圖，Rt△ABO中，∠AOB=90，點A在第一象限、點B在第四象限，且AO：BO=1： ，若點A（x0，y0）的坐標x0，y0滿足y0= ，則點B（x，y）的坐標x，y所滿足的關(guān)系式為　y= ． 變式：如圖△ABC是等邊三角形,P為BC上一點,D為AC上一點,若 ∠APD=60. （1）求證:△APB∽△PCD （2）若BP=1，CD= ，求△ABC的邊長 例4（xx?武漢）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ． （1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值； （2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； 【自測訓練】 A組—基礎(chǔ)訓練 一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.） 1．如圖，在直角三角形ABC中（∠C=90），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，則x的值為（　?。? A．5 B．6 C．7 D．12 2．在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=BC．圖中相似三角形共有（　?。〢．1對B．2對C．3對D．4對 3．（xx年江蘇南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（　　） 　 A．1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1 4．（xx山東省聊城）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，下列結(jié)論不正確的是（ ） A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC C. D. 5．（xx沈陽）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2AD， DE∥BC交AC于點E，若線段DE=5，則線段BC的長為（ ） A.7.5 B.10 C.15 D.20 二、填空題 1．（xx?本溪）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于_______。 　 2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，若AD=1，BC=3，△AOD的面積為3，則△BOC的面積為___________． 3. （xx安順）在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2， 則BF：BE= ． 4. 在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值是_____ 5.（xx湖北隨州）如圖，點D,E分別在AB、AC上，且 ∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為______________。 三、解答題 1．（xx?南寧）如圖10，AB∥FC，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，分別延長FD和CB交于點G. (1) 求證：△ADE≌△CFE； (2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的長. 2.（xx?徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上） （1）若△CEF與△ABC相似． ①當AC=BC=2時，AD的長為　?。? ②當AC=3，BC=4時，AD的長為　??； （2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由． 3、（xx?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON=1． （1）求BD的長； （2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積． 4. (xx年山東省濱州市)如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，OP交AC于點Q． （1）求證：△APQ∽△CDQ； （2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒． ①當t為何值時，DP⊥AC？ ②設(shè)S△APQ+S△DCQ=y，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒 B組—提升訓練 一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.） 1. （xx?萊蕪，第10題3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=（　　） 　 A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24 2. （xx年江蘇南京，第6題，2分）如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（　?。? （第2題圖） A．（，3）、（﹣，4） B． （，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 3.下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( ) A C B A B C D F E A． B． C． D． 4.在菱形ABCD中，E是BC邊上的點， 連接AE交BD于點F, 若EC=2BE,則的值是（ ） A. B. C. D. 5. （xx?湖北黃岡,第8題3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC邊上的高h=5，點E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊于點F．點D為BC上一點，連接DE、DF．設(shè)點E到BC的距離為x，則△DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（　?。? 　 A． B． C． D． 二、填空題 1. （xx?泰州，第15題，3分）如圖，A、B、C、D依次為一直線上4個點，BC=2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A、D、E3點，且∠AOD=120．設(shè)AB=x，CD=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為　y=（x＞0）?。? 2.如圖，□ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，CD=2DE.若△DEF的面積為a，則□ABCD中的面積為 .(用a的代數(shù)式表示) 3. （xx?遵義17．（4分））“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)E⊥AD，EG=15里，HG經(jīng)過A點，則FH=　1.05　里． 4. (xx年湖北咸寧16．（3分）)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=．下列結(jié)論： ①△ADE∽△ACD； ②當BD=6時，△ABD與△DCE全等； ③△DCE為直角三角形時，BD為8或； ④0＜CE≤6.4． 其中正確的結(jié)論是?、佗冖邰堋。ò涯阏J為正確結(jié)論的序號都填上） 5（xx?黔東南州）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　 ． 三、解答題 1、（（xx年山東泰安，第28題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB． （1）求證：=； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形． 2、（xx?四川自貢，第23題12分）閱讀理解： 如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題： （1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； （2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點； （3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系． 3、（xx?包頭）如圖，已知∠MON=90，A是∠MON內(nèi)部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）． （1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由； （2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？ （3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S△AEF=S四邊形ABOF？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由． 課后反饋 1.(本小題滿分9分)已知：△ABC是任意三角形． ⑴如圖1所示，點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點．求證：∠MPN=∠A． ⑵如圖2所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2是邊BC的三等分點，你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確？請說明你的理由． A B C N M P A M N P1 C P2 B A C M N P1 P2 Pxx …… …… B 第23題圖2 第23題圖1 第23題圖3 ⑶如圖3所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2、……、Pxx是邊BC的xx等分點，則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MPxxN=____________．（請直接將該小問的答案寫在橫線上．） 2.(2011)28．(9分)如圖，點C為線段AB上任意一點(不與點A、B重合)，分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD與∠BCE都是銳角，且∠ACD＝∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP． (1)求證：△ACE≌△DCB； (2)請你判斷△ACM與△DPM的形狀有何關(guān)系并說明理由； D E A M N C B (3)求證：∠APC＝∠BPC． C O A B D x y 第27題圖 3.(本小題滿分9分)如圖,已知雙曲線y＝經(jīng)過點D(6,1),點C是雙曲線第三象限分支上的動點,過C作CA⊥x軸,過D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連結(jié)AB,BC． (1)求k的值； (2)若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式； (3)判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由. 4. (本小題滿分9分) 如圖1,拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸相交于點A(－3,0),B(－1,0),與y軸相交于點C．⊙O1為△ABC的外接圓,交拋物線于另一點D． (1)求拋物線的解析式； (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑； (3)如圖2,拋物線的頂點為P,連結(jié)BP,CP,BD,M為弦BD的中點.若點N在坐標平面內(nèi),滿足△BMN∽△BPC,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標. 第28題圖2 O B A C D P M O1 x y 第28題圖1 O B A C D O1 x y 5、已知直線，相鄰的兩條平行直線間的距離均為，矩形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB=4，BC=6，則的值等于 （A） （B） （C） （D） 6、如圖1，拋物線平移后過點A（8，,0）和原點，頂點為B，對稱軸與軸相交于點C，與原拋物線相交于點D． （1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積； A Ｂ Ｃ Ｄ ｘ y O 第6題圖1 P A B C M N x y O 第28題圖2 （2）如圖2，直線AB與軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，為直角，邊MN與AP相交于點N，設(shè)，試探求： ①為何值時為等腰三角形； ②為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少．