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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.6 直線與圓的位置關(guān)系教案 ●知識(shí)梳理 直線和圓 1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系. ①Δ＞0，直線和圓相交. ②Δ=0，直線和圓相切. ③Δ＜0，直線和圓相離. 方法二是幾何的觀點(diǎn)，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較. ①d＜R，直線和圓相交. ②d=R，直線和圓相切. ③d＞R，直線和圓相離. 2.直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況. 3.直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點(diǎn)問題. ●點(diǎn)擊雙基 1.（xx年北京海淀區(qū)期末練習(xí)題）設(shè)m>0，則直線（x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為 A.相切 B.相交 C.相切或相離 D.相交或相切 解析：圓心到直線的距離為d=，圓半徑為. ∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0， ∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離. 答案：C 2.圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于 A. B. C.1 D.5 解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長為2=. 答案：A 3.（xx年全國卷Ⅲ，4）圓x2+y2－4x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為 A.x+y－2=0 B.x+y－4=0 C.x－y+4=0 D.x－y+2=0 解法一： x2+y2－4x=0 y=kx－k+x2－4x+（kx－k+）2=0. 該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即Δ=0，解得k=. ∴y－=（x－1），即x－y+2=0. 解法二：∵點(diǎn)（1，）在圓x2+y2－4x=0上， ∴點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直. 又∵圓心為（2，0），∴k=－1. 解得k=，∴切線方程為x－y+2=0. 答案：D 4.（xx年上海，理8）圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，－4）、B（0，－2），則圓C的方程為____________. 解析：∵圓C與y軸交于A（0，－4），B（0，－2）， ∴由垂徑定理得圓心在y=－3這條直線上. 又已知圓心在直線2x－y－7=0上， 解得x=2， ∴聯(lián)立 y=－3， 2x－y－7=0. ∴圓心為（2，－3），半徑r=|AC|==. ∴所求圓C的方程為（x－2）2+（y+3）2=5. 答案：（x－2）2+（y+3）2=5 5.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是___________. 解析：利用數(shù)形結(jié)合. 答案：－1＜k≤1或k=－ ●典例剖析 【例1】 已知圓x2+y2+x－6y+m=0和直線x+2y－3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑. 剖析：由于OP⊥OQ，所以kOPkOQ=－1，問題可解. 解：將x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0. 設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2=. ∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3－2y1，x2=3－2y2，∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2. ∴m=3，此時(shí)Δ＞0，圓心坐標(biāo)為（－，3），半徑r=. 評(píng)述：在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮. 【例2】 求經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程. 剖析：根據(jù)已知，可通過解方程組 得圓上兩點(diǎn)， （x+3）2+y2=13， x2+（y+3）2=37 由圓心在直線x－y－4=0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程； 也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程. 解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)， 所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0. 展開、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+. 圓心為（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7. 故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2= . 評(píng)述：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓. 特別提示 在過兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若λ=－1，可得兩圓公共弦所在的直線方程. 【例3】 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)； （2）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程. 剖析：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得. （1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 得 ∵m∈R，∴ 2x+y－7=0， x=3， x+y－4=0， y=1，即l恒過定點(diǎn)A（3，1）. ∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑）， ∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn). （2）解：弦長最小時(shí)，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l(xiāng)的方程為2x－y－5=0. 評(píng)述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？ 思考討論 求直線過定點(diǎn)，你還有別的辦法嗎？ ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是 A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］ 解析：數(shù)形結(jié)合法解. 答案：A 2.（xx年春季北京）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c(diǎn)｜的三角形 A.是銳角三角形 B.是直角三角形 C.是鈍角三角形 D.不存在 解析：由題意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c(diǎn)｜構(gòu)成的三角形為直角三角形. 答案：B 3.（xx年春季北京，11）若圓x2+y2+mx－=0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側(cè)，則m的值為____________. 解析：圓方程配方得（x+）2+y2=，圓心為（－，0）. 由條件知－<0，即m>0. 又圓與直線y=－1相切，則0－（－1）=，即m2=3，∴m=. 答案： 4.（xx年福建，13）直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________. 解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25. 知圓心為（3，1），r=5. 由點(diǎn)（3，1）到直線x+2y=0的距離d==.可得弦長為2，弦長為4. 答案：4 5.自點(diǎn)A（－3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程. 解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關(guān)于x軸的對(duì)稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1. 設(shè)l方程為y－3＝k（x＋3），由于對(duì)稱圓心（2，－2）到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關(guān)系? 分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小. 解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=. ∵P（x0，y0）在圓內(nèi)，∴r，故直線和圓相離. 培養(yǎng)能力 7.方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圓，求a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程. 解：（1）∵a≠0時(shí)，方程為［x－］2+（y+）2=， 由于a2－2a+2＞0恒成立， ∴a≠0且a∈R時(shí)方程表示圓. （2）r2=4=4［2(－)2+］， ∴a=2時(shí)，rmin2=2. 此時(shí)圓的方程為（x－1）2+（y－1）2=2. 8.（文）求經(jīng)過點(diǎn)A（－2，－4），且與直線l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圓的方程. 解：設(shè)圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0，依題意有方程組 3D－E=－36， 2D+4E－F=20， 8D+6E+F=－100. ∴ D=－11， E=3， F=－30. ∴圓的方程為x2+y2－11x+3y－30=0. （理）已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）. （1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)∠POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程. 解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x－4，2y），代入圓的方程得（x－2）2+y2=1. （2）設(shè)R（x，y），由==， 設(shè)P（m，n），則有 m=， n=， 代入x2+y2=4中，得（x－）2+y2=（y≠0）. 探究創(chuàng)新 9.已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程. 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由題設(shè)有=，即=， 整理得x2+y2－6x+1=0. ① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MN|=2，所以∠PMN=30，直線PM的斜率為. 直線PM的方程為y=（x+1）. ② 將②代入①整理得x2－4x+1=0.解得x1=2+，x2=2－. 代入②得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，1+）或（2－，－1+）；（2+，－1－）或（2－，1－）. 直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1. ●思悟小結(jié) 1.直線和圓的位置關(guān)系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個(gè)：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大?。淮鷶?shù)法，看直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的個(gè)數(shù). 2.解決直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡(jiǎn)化. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定. 2.當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時(shí)，弦長的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形. 3.有關(guān)圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用. 4.在確定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握，靈活運(yùn)用. 拓展題例 【例1】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點(diǎn)為A（1，2），要使過定點(diǎn)A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍. 解：將圓的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圓心C的坐標(biāo)為（－，－1），半徑r=， 條件是4－3a2＞0，過點(diǎn)A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點(diǎn)A必在圓外，即 ＞.化簡(jiǎn)得a2+a+9＞0. 由 4－3a2＞0， a2+a+9＞0， 解之得 －＜a＜， a∈R. ∴－＜a＜. 故a的取值范圍是（－，）. 【例2】 已知⊙O方程為x2+y2=4，定點(diǎn)A（4，0），求過點(diǎn)A且和⊙O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡. 剖析：兩圓外切，連心線長等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長等于兩圓半徑之差，由此可得到動(dòng)圓圓心在運(yùn)動(dòng)中所應(yīng)滿足的幾何條件，然后將這個(gè)幾何條件坐標(biāo)化，即得到它的軌跡方程. 解法一：設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)A，所以|PA|即動(dòng)圓半徑. 當(dāng)動(dòng)圓P與⊙O外切時(shí)，|PO|=|PA|+2； 當(dāng)動(dòng)圓P與⊙O內(nèi)切時(shí)，|PO|=|PA|－2. 綜合這兩種情況，得||PO|－|PA||=2. 將此關(guān)系式坐標(biāo)化，得|－|=2. 化簡(jiǎn)可得（x－2）2－=1. 解法二：由解法一可得動(dòng)點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系 ||OP|－|PA||=2， 即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)O、A的距離差的絕對(duì)值為定值2，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的雙曲線，中心在OA中點(diǎn)（2，0），實(shí)半軸長a=1，半焦距c=2，虛半軸長b==，所以軌跡方程為（x－2）2－=1.