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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇平面向量第3講 平面向量的數(shù)量積教案 理 【xx年高考會這樣考】 1．考查平面向量數(shù)量積的運算． 2．考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模． 3．考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)緊扣平面向量數(shù)量積的定義，理解其運算法則和性質(zhì)，重點解決平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運算，利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、模，以及兩向量的垂直關(guān)系． 基礎(chǔ)梳理 1．兩個向量的夾角 已知兩個非零向量a和b(如圖)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤180)叫做向量a與b的夾角，當θ＝0時，a與b同向；當θ＝180時，a與b反向；如果a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作a⊥b. 2．兩個向量的數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0. 3．向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的數(shù)量積． 4．向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則 (1)ea＝ae＝|a|cos θ； (2)a⊥b?ab＝0； (3)當a與b同向時，ab＝|a||b|；當a與b反向時，ab＝－|a||b|，特別的，aa＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|ab|≤|a||b|. 5．向量數(shù)量積的運算律 (1)ab＝ba； (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 6．平面向量數(shù)量積的坐標運算 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則 (1)ab＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，則|a|＝(平面內(nèi)兩點間的距離公式)． 一個條件 兩個向量垂直的充要條件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 兩個探究 (1)若ab＞0，能否說明a和b的夾角為銳角？ (2)若ab＜0，能否說明a和b的夾角為鈍角？ 三個防范 (1)若a，b，c是實數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足ab＝ac(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量． (2)數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即(ab)c≠a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等． (3)向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120，而不是60. 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知|a|＝3，|b|＝2，若ab＝－3，則a與b的夾角為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　C 2．若a，b，c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是(　　)． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)c＝ac＋bc C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(ab)c＝a(bc) 答案　D 3．(xx廣東)若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0. 答案　D 4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x等于(　　)． A．9 B．4 C．0 D．－4 解析　a－b＝(1－x,4)． 由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0. ∴x＝9. 答案　A 5．(xx江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，則a與b的夾角為________． 解析　由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2， 得ab＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝. 答案　　　 考向一　求兩平面向量的數(shù)量積 【例1】?(xx合肥模擬)在△ABC中，M是BC的中點，||＝1，＝2，則(＋)＝________. [審題視點] 由M是BC的中點，得＋＝2. 解析　如圖，因為M是BC的中點，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以(＋) ＝2＝－4||2＝－||2＝－，故填－. 答案?。? 當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據(jù)向量加減法運算的幾何法則進行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識． 【訓(xùn)練1】 如圖， 在菱形ABCD中，若AC＝4，則＝________. 解析?。剑?，故＝(＋)＝＋.而＝－，⊥.所以＝－CA2＝－8. 答案?。? 考向二　利用平面向量數(shù)量積求夾角與模 【例2】?已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. [審題視點] 由平面向量數(shù)量積的運算法則得ab的值，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角． 解　(1)(2a－3b)(2a＋b)＝61，解得ab＝－6. ∴cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝13， ∴|a＋b|＝. |a－b|2＝a2－2ab＋b2＝37. ∴|a－b|＝. 在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，是求距離常用的公式． 【訓(xùn)練2】 已知a與b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角． 解　設(shè)a與a＋b的夾角為θ，由|a|＝|b|得|a|2＝|b|2. 又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2ab＋|b|2. ∴ab＝|a|2， 而|a＋b|2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝3|a|2， ∴|a＋b|＝|a|. ∴cos θ＝＝＝. ∵0≤θ≤180，∴θ＝30，即a與a＋b的夾角為30. 考向三　平面向量的數(shù)量積與垂直問題 【例3】?已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. [審題視點] 利用a⊥b?x1x2＋y1y2＝0及a∥b?x1y2－x2y1＝0，求解． 解　(1)若a⊥b， 則ab＝(1，x)(2x＋3，－x)＝1(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則有1(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當x＝0時，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)， ∴|a－b|＝＝2. 當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝2. 綜上，可知|a－b|＝2或2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值．在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進行整體計算，把這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算． 【訓(xùn)練3】 已知平面內(nèi)A，B，C三點在同一條直線上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實數(shù)m，n的值． 解　由于A，B，C三點在同一條直線上， 則∥，＝－＝(7，－1－m)， ＝－＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， 即mn＋n－5m＋9＝0，① 又∵⊥， ∴－2n＋m＝0.② 聯(lián)立①②，解得或　　 規(guī)范解答10——如何解決平面向量與解三角形的綜合問題 【問題研究】 平面向量與三角的綜合性問題大多是以三角題型為背景的一種向量描述．它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角的相關(guān)知識來解答，三角知識是考查的主體．考查的要求并不高，解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題． 【解決方案】 解決這類問題時，首先要考慮向量工具性的作用，如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題，然后注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表達形式，最后用三角知識規(guī)范解答． 【示例】? (本題滿分12分)(xx安徽)△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cos A＝. (1)求； (2)若c－b＝1，求a的值． 先求sin A，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決． [解答示范] 由cos A＝，得sin A＝ ＝.(2分) 又bcsin A＝30， ∴bc＝156.(4分) (1)＝bccos A＝156＝144(8分) (2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A) ＝1＋2156＝25，又a＞0(10分) ∴a＝5.(12分) 三角形的三邊可與三個向量對應(yīng)，這樣就可以利用向量的知識來解三角形了，解決此類問題要注意內(nèi)角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別，還要注意向量的數(shù)量積與三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用． 【試一試】 已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且＝6，設(shè)與的夾角為θ. (1)求θ的取值范圍； (2)求函數(shù)f(θ)＝sin2θ＋2sin θcos θ＋3cos2θ的最小值． [嘗試解答]　(1)∵＝6，∴||||cos θ＝6.∴||||＝. 又∵S＝||||sin(π－θ)＝3tan θ， ∴≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴≤θ≤. (2)f(θ)＝1＋2cos2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2 ＝sin＋2， 由θ∈，得2θ∈，∴2θ＋∈. ∴當2θ＋＝π即θ＝時，f(θ)min＝3.