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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺和球課堂探究 新人教B版必修2 探究一 概念辨析題 (1)對于旋轉(zhuǎn)體，必須清楚直角梯形必須繞其垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)才能形成圓臺；直角三角形必須繞直角邊旋轉(zhuǎn)才能形成圓錐；圓柱是由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體，類比棱臺的定義，圓臺也可以看作是一個圓錐被一個平行于底面的平面所截得的． (2)對于組合體我們要弄清楚它是由哪幾個簡單的幾何體組合而成的，尤其對于旋轉(zhuǎn)體先要看清所選取的旋轉(zhuǎn)軸，再結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺和球的定義加以判斷． 【典型例題1】 (1)下列說法中正確的是(　　) A．圓臺是直角梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的 B．圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的 C．圓柱不是旋轉(zhuǎn)體 D．圓臺可以看作是由平行于底面的平面截一個圓錐而得到的 解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義及圓錐與圓臺的內(nèi)在聯(lián)系易知D正確． 答案：D (2)如圖，由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180后形成一個幾何體，下面說法不正確的是(　　) A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體 B．該組合體仍然關(guān)于軸l對稱 C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點 D．該組合體中的球和半球只有一個公共點 解析：旋轉(zhuǎn)180后形成的組合體是由一個圓錐、一個球體、一個半球、一個圓柱和一個圓臺組合而成，故選項A不正確． 答案：A 探究二 簡單旋轉(zhuǎn)體的計算問題 (1)對于圓柱的性質(zhì)，要注意以下兩點：一是軸線垂直于圓柱的底面；二是三類截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓，軸截面是一個由上、下底面圓的直徑和母線組成的矩形、平行于軸線的截面是一個由上、下底面圓的弦和母線組成的矩形． (2)對于圓錐的性質(zhì)，要注意以下兩點：一是兩類截面——平行于底面的截面是與底面相似的圓，過圓錐的頂點且與底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形；二是圓錐的母線l、高h(yuǎn)和底面圓的半徑R組成一個直角三角形．有關(guān)圓錐的計算，一般歸結(jié)為解這個直角三角形，往往會用到關(guān)系式l2＝h2＋R2． (3)對于圓臺的性質(zhì)，要注意以下兩點：一是圓臺的母線共點，所以由任意兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是與上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圓臺的母線l、高h(yuǎn)和上底面圓的半徑r、下底面圓的半徑R組成一個直角梯形，且有l(wèi)2＝h2＋(R－r)2成立，有關(guān)圓臺的計算問題，常歸結(jié)為解這個直角梯形． 【典型例題2】 軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱的軸截面面積為16 cm2，求其底面周長和高． 思路分析：作出圓柱的軸截面，建立軸截面邊長和圓柱底面半徑、高之間的關(guān)系，進(jìn)而求解問題． 解：如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD， 由題意知，四邊形ABCD為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r cm，則AB＝AD＝2r． 其面積S＝ABAD＝2r2r＝4r2＝16，解得r＝2． 所以其底面周長C＝2πr＝2π2＝4π(cm)，高2r＝4(cm)． 點評解決圓柱基本量的計算問題，要抓住它的基本量：底面半徑、高(母線)與軸截面矩形之間的關(guān)系，注意在軸截面矩形中的一邊長為圓柱的高，另一邊長為圓柱的底面直徑． 【典型例題3】 用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺的上、下底面半徑的比是1∶λ，截去圓錐的母線長是l0，求圓臺的母線長． 解：作原圓錐的截面圖如圖所示，設(shè)圓臺的母線長為l，截得圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是x，λx，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得： ＝＝，所以l＝l0(λ－1)． 點評圓錐平行于底面的截面是一個圓面，過圓錐的頂點作的截面是一個等腰三角形，利用相似三角形的理論來求解圓臺母線的長，體現(xiàn)了將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的基本思想． 探究三 組合體問題 組合體問題中常見的主要是切接問題，解決此類問題關(guān)鍵要畫出組合體的核心截面，并保證截面圖能搭建起兩個或多個幾何體的內(nèi)在聯(lián)系，能反映出各個幾何體的核心元素，這樣就將立體幾何問題的計算歸結(jié)為平面幾何問題的計算． 【典型例題4】 若圓錐的軸截面是一個面積為cm2的正三角形，那么其內(nèi)切球的半徑為(　　) A．4πcm B．6cm C．cm D． πcm 解析：軸截面如圖所示，設(shè)正三角形SAB的邊長為a cm，圓O′的半徑為R cm，則 a＝＝， 所以a＝6． 又S△SO′B＋S△SO′A＋S△AO′B＝， 所以36R＝．所以R＝．故選C． 答案：C 【典型例題5】 一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱． (1)用x表示圓柱的軸截面面積S． (2)當(dāng)x為何值時，S最大？ 思路分析：考慮應(yīng)用軸截面中的平行關(guān)系列比例式解決． 解：(1)根據(jù)題意作截面圖如圖所示，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面圓半徑為r， 由已知得＝， 所以r＝． 所以S＝2x＝－x2＋4x，其中0＜x＜6． (2)當(dāng)x＝－＝3時，S最大． 點評 涉及立體幾何中的最值問題，一般是設(shè)出變元，利用函數(shù)思想來解決． 探究四 球中的計算問題 解決有關(guān)球的問題時常用到如下性質(zhì)： (1)用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直． (2)如果分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑，用d表示球心到截面的距離，則R2＝r2＋d2．球的有關(guān)計算問題，常歸結(jié)為解這個直角三角形問題． 【典型例題6】 已知A，B，C是球O上的三點，AB＝10，AC＝6，BC＝8，球O的半徑等于13，則球心O到△ABC所在小圓的距離為__________． 思路分析：本題考查了球的性質(zhì)及截面的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了學(xué)生識圖能力和運算能力．解答本題的關(guān)鍵是AB為小圓的直徑． 解析：因為AB＝10，AC＝6，BC＝8， 所以△ABC為Rt△且AB為點A，B，C所在小圓的直徑． 所以r＝5． 軸截面圖如圖，所以d2＝R2－r2＝132－52＝122， 所以d＝12． 答案：12 探究五 易錯辨析 易錯點：不理解球面距離的含義而致誤 【典型例題7】 設(shè)地球半徑為R，在北緯45圈上有A，B兩地，它們的緯線圈上的劣弧長等于R，求A，B兩地間的球面距離． 錯解：如圖所示，A，B是北緯45圈上兩點，O′為此緯線圈的圓心，易知∠AO′B所對的劣弧的長為所求球面距離． 故A，B兩地間的球面距離為R． 錯因分析：沒有理解A，B兩地間的球面距離是過A，B兩點的大圓在A，B間的劣弧長度． 正解：如圖所示，A，B是北緯45圈上的兩點，AO′為此緯線圈的半徑， 所以O(shè)O′⊥AO′，OO′⊥BO′． 因為∠OAO′＝∠OBO′＝45， 所以AO′＝BO′＝OAcos 45＝R． 設(shè)∠AO′B為α， 則AO′＝R＝R，所以α＝90． 連接AB，則 AB＝＝＝R． 在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R， 則△AOB為正三角形， 所以∠AOB＝60． 所以A，B兩地間的球面距離為＝R．