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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.3 拋物線教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　拋物線定義的運(yùn)用 【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)拋物線過點(diǎn)P(2，－4)； (2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5. 【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny. 將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y. (2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)， 由定義得5＝|AF|＝|m＋|，又(－3)2＝2pm，所以p＝1或9， 所求方程為y2＝2x或y2＝18x. 【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0) (a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值. 【解析】設(shè)P(x0，y0) (x0≥0)，則y＝2x0， 所以d＝|PA|＝＝＝. 因?yàn)閍＞0，x0≥0， 所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)有x0＝0，dmin＝＝a； 當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)有x0＝a－1，dmin＝. 題型二　直線與拋物線位置討論 【例2】(xx湖北模擬)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足： －x＝1(x＞0). 化簡(jiǎn)得y2＝4x(x＞0). (2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2). 設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2). ＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.② 又x＝，于是不等式②等價(jià)于 ＋y1y2－(＋)＋1＜0 ?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③ 由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1＜4t2.④ 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2. 由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2). 【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則＋＝　　　. 【解析】?y2－4my＋8m＝0， 所以＋＝＝. 題型三　有關(guān)拋物線的綜合問題 【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由. 【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x)，B(x2,2x)， 把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0， 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1， 所以xN＝xM＝＝，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，). 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－＝m(x－)， 將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0， 因?yàn)橹本€l與拋物線C相切， 所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0， 所以m＝k，即l∥AB. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB， 又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|＝|AB|. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2. 因?yàn)镸N⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 又|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝. 所以＝，解得k＝2. 即存在k＝2，使＝0. 【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長(zhǎng)公式. 【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為M、N，則|MN|的最小值是　　　　. 【解析】. 總結(jié)提高 1.在拋物線定義中，焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線. 2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)長(zhǎng)為2p. 3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法. 4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等.