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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1《綜合法和分析法》第1課時(shí)教案 新人教A版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo)： （一）知識與技能： 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 （二）過程與方法: 培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力； （三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 二、教學(xué)重點(diǎn)： 了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) 三、教學(xué)難點(diǎn)： 分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) 四、教學(xué)過程: （一）導(dǎo)入新課： 合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。 （二）推進(jìn)新課： 1. 綜合法 在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論。例如： 已知a,b>0,求證 教師活動：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。 學(xué)生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義 證明:因?yàn)椋? 所以。 因?yàn)椋? 所以。 因此 。 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫做綜合法。 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法可表示為： 綜合法的特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 例1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形. 分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B =A + C; A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來是A + B + C =； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是．此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明． 證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ① 因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以 A + B + C=． ② 由①② ，得 B=． ③ 由a, b，c成等比數(shù)列，有 ． ④ 由余弦定理及③，可得 ． 再由④，得 ． 即 ， 因此 ． 從而 A=C． 由②③⑤，得 A=B=C=． 所以△ABC為等邊三角形． 注：解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來． 例2、已知求證 分析：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè) ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。 注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。 2. 分析法 證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3，…… 直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。 例如：基本不等式 （a>0，b>0）的證明就用了上述方法。 要證 ， 只需證 ， 只需證 ， 只需證 由于顯然成立，因此原不等式成立。 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種方法叫做分析法。 分析法可表示為： 分析法的特點(diǎn)是：執(zhí)果索因 例3、求證。 分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件。 證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以為了證明 ， 只需明 ， 展開得 ， 只需證 ， 因?yàn)槌闪?，所? 成立。 在本例中，如果我們從“21〈25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。 事實(shí)上，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個(gè)例子． 例4 、已知，且 ① ② 求證：。 分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去。觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系，于是，由 ①2一2② 得．把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為,再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的． 證明：因?yàn)椋詫?① ② 代入，可得 . ③ 另一方面，要證 ， 即證 ， 即證 ， 即證 ， 即證 。 由于上式與③相同，于是問題得證。 （三）課堂練習(xí)： 1、課本P89頁 練習(xí)1、2、3 2、補(bǔ)充練習(xí)： （四）課堂小結(jié)： 綜合法和分析法的特點(diǎn)。 （五）布置作業(yè)： 課本P91頁 1、2、3。