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2019-2020年九年級數(shù)學（上）（華東師大版）第24章 解直角三角形 檢測題 一、選擇題（每小題2分，共24分） 1.計算： A. B. C. D. 2.如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=5，BC=3，則cos A的值是（　　） A. B. C. D. 3. (xx廣東中考)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(4，3)，那么cos α的值是( ) A. B. C. D. 4.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，則tan B=( ) A.2 B.2 C. D. 第5題圖 5.（xx安徽中考）如圖，Rt△ABC中，90，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（ ） A. B. C.4 D.5 6.在△ABC中，若三邊BC，CA，AB滿足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cos B=（ ） A. B. C. D. 7.（xx杭州中考）已知，，點,F分別在射線AD，射線BC上，若點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，與相交于點，則（ ） A. B. C. D. 第8題圖 第7題圖 第9題圖 8.(xx廣西南寧中考)如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B＝36，則中柱AD(D為底邊中點)的長是( ) A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米 9.如圖，一個小球由地面沿著坡度的坡面向上前進了10 m，此時小球距離地面的高度為( ) A.5 m B.2 m C.4 m D. m 10.如圖，在菱形中，，，，則的值是( ) A． B．2 C． D． A B C 第12題圖 11.已知直角三角形兩直角邊長之和為7，面積為6，則斜邊長為（ ） A. 5 B. C. 7 D. 12.如圖，已知：45＜∠A＜90，則下列各式成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空題（每小題3分，共18分） 13. (xx浙江杭州4分)tan 60= . 14. (xx上海中考)如圖，在矩形ABCD中，BC=2,將矩形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90，點A、C分別落在點A′、C′處，如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為 . 第14題圖 15.（xx浙江寧波中考)如圖，在數(shù)學活動課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，站在教學樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45，測得旗桿頂端A的仰角為30，若旗桿與教學樓的距離為9 m，則旗桿AB的高度是 m．(結(jié)果保留根號) ① A B C ② A B C 第17題圖 第15題圖 16.已知等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于________ ． 17.圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是__________. 18.在△ABC中，∠90，AB=2BC，現(xiàn)給出下列結(jié)論： ①sin A=；②cos B=；③tan A=；④tan B=， 其中正確的結(jié)論是 .（只需填上正確結(jié)論的序號） 三、解答題（共78分） 19.（8分）計算下列各題： (1)； （2）. 20.(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10，sin A=，求BC的長和tan B的值. 第20題圖 第21題圖 21.（10分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60的方向，從B測得小船在北偏東45的方向. （1）求點P到海岸線l的距離； （2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到達點C處，此時，從B測得小船在北偏西15的方向.求點C與點B之間的距離.（上述2小題的結(jié)果都保留根號） 22.（8分）如圖，在梯形中，，，． （1）求的值；（2）若長度為，求梯形的面積． 23.（10分）（xx成都中考）如圖，在一次數(shù)學課外實踐活動中，小文在點C處測得樹的頂端A的仰角為37，BC=20 m，求樹的高度AB. （參考數(shù)據(jù)：，，） 第23題圖 24.（10分）(xx河南中考)如圖，小東在教學樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37,旗桿底部B點的俯角為45.升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.25米處.若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？ (參考數(shù)據(jù)：sin 37≈0.60,cos 37≈0.80,tan 37≈0.75) 第24題圖 25.（10分）（xx湖北黃岡中考）如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60方向前進實施攔截.紅方行駛 1 000米到達C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方. 求攔截點D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）. 第25題圖 26.（14分）（xx福州中考）如圖（1），點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒. （1）當t=秒時，則OP= ，S△ABP= ； （2）當△ABP是直角三角形時，求t的值； （3）如圖（2），當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQBP=3. 第26題圖 第24章 解直角三角形檢測題參考答案 1.C 解析： 2.D 解析：在中，∠C＝90，由勾股定理，得，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，得. 3.D 解析：如圖，因為點A的坐標是(4,3)，所以OB=4，AB=3，所以由勾股定理可得OA=5，所以cos α=. 第3題答圖 4.B 解析：如圖，過點D作DE∥AB交BC于點E，則四邊形ABED是平行四邊形， ∴ BE=AD=6. 第4題答圖 ∵ AB⊥AC，∴ DE⊥AC.∵ CA是∠BCD的平分線，∴ CD=CE. ∵ AD∥BC，∴ ∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴ CD=AD=6. ∴ BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12. ∴ AC===8.∴ tan B===2. 5.C 解析：設BN的長為x，則AN=9x，由題意得DN=AN=9x.因為D為BC的中點，所以.在Rt△BND中，∠B=90，由勾股定理得，即，解得. 6.C 解析：設，則，，所以， 所以△是直角三角形，且∠． 所以在△ABC中，． 7.A 解析：設.由題意知，，∴ . 在中，，又， ∴ . 根據(jù)條件還可以得出，，. A.在中，， ∴ ，故選項A正確. B.，故選項B錯誤. C.，故選項C錯誤. D.∵ ，∴ ，故選項D錯誤. 8.C 解析：由AB=AC，BD=CD，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AD⊥BC. 在Rt△ABD中，tan 36=，所以AD=BDtan 36=5tan 36(米). 點撥：在直角三角形中，由已知的邊、角求出未知的邊和角的過程叫做解直角三角形.解直角三角形的關(guān)鍵是選用合適的三角函數(shù)關(guān)系建立等式求解. 9.B 解析：設小球距離地面的高度為則小球水平移動的距離為 所以解得 10.B 解析：設又因為在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以2 11.A 解析：設直角三角形的兩直角邊長分別為則 所以斜邊長 12.B 解析：在銳角三角函數(shù)中僅當∠45時，，所以選項錯誤； 因為45＜∠A＜90，所以∠B＜45，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即，所以選項正確，選項錯誤； ＞1，＜1，所以選項錯誤. 13. 解析：tan 60=. 方法：此題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵. 14. 解析：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A=∠A′DC′=90，∴ AB∥A′D. ∴ ∠ABA′=∠C′A′D. 當點A′、C′、B在同一條直線上時，△ABC′∽△DA′C′， ∴ =. 第14題答圖 設AB=CD=C′D=x，則=，∴ +2x=4. 解得=-1，=--1(舍去). ∴ tan∠ABA′=tan∠C′A′D==. 點撥：(1)旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等形，所以能得到相等線段和相等的角. (2)有公共邊(相等邊)的兩個三角形相似時，公共邊(相等邊)常常作為突破口，利用它建立邊之間的等量關(guān)系. 15. (9+3 解析：在Rt△ACD中，∵ tan∠ACD=, ∴ AD=DCtan∠ACD=9tan 30=9=3． 在Rt△BCD中，∵ tan∠BCD=, ∴ BD=DCtan∠BCD=9tan 45=91=9． ∴ AB=AD+BD=（9+3）m． 16.15或75 解析：如圖，. 在圖①中，，所以∠∠； 在圖②中，，所以∠∠. 第16題答圖 B C D ② A A B C D ① A B C D 第17題答圖 17.76 解析：如圖，因為，所以CD=12， 由勾股定理得所以這個風車的外圍周長為 18.②③④ 解析：因為∠C=90，AB=2BC，所以∠A=30，∠B=60，所以②③④正確. 19.解：（1） （2）. 20.分析：由sin A==求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，利用tan B=求出tan B的值. 解：∵ sin A==，AB=10，∴ BC=4. 又∵ AC==2，∴ tan B==. 21.分析:（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D，設PD= km，根據(jù)AD+BD=2 km列方程求解. （2）過點B作BF⊥CA于點F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解. 解：（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D， 第21題答圖 設PD= km，由題意可知∠PBD=45，∠PAD=30， ∴ 在Rt△BDP中，BD=PD= km,在Rt△PDA中，AD=PD= km. ∵ AB=2 km，∴ =2.∴ ==1. ∴ 點P到海岸線l的距離為（）km. （2）如圖，過點B作BF⊥CA于點F. 在Rt△ABF中，BF=ABsin 30=2=1（km）. 在△ABC中，∠C=180∠BAC∠ABC=45. 在Rt△BFC中，BC=BF=1=（km）. ∴ 點C與點B之間的距離為 km. 點撥：此題是解直角三角形在現(xiàn)實生活中的應用，通過構(gòu)造直角三角形求解.當利用勾股定理或銳角三角函數(shù)不能直接求解時，常采用作垂線、引入未知數(shù)（一般為待定的數(shù)）構(gòu)造方程求解. 22.解：(1)∵ ，∴ ∠∠. ∵ ∥，∴ ∠∠∠. 在梯形中，∵ ， ∴ ∠∠∠∠ ∵ ，∴ 3∠ ， ∴ ∠30，∴ （2）如圖，過點作于點. 在Rt△中，? ∠， ? ∠，∴ 在Rt△中，， ∴ 梯形的面積為 23.分析：利用解直角三角形求線段長，首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義選取恰當?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式，然后把已知的數(shù)據(jù)代入計算.本題根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得tan 37＝，把，BC=20 m代入tan 37＝中求出樹的高度AB. 解:因為tan 37＝≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.7520＝15（m）. 24. 分析：過點C作CD⊥AB于點D，構(gòu)造Rt△CBD與Rt△ACD，通過解直角三角形求得 AB的近似值，最后根據(jù)“速度=”求國旗上升的速度. 解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則DB=9. 在Rt△CBD中，∠BCD=45, ∴ CD==9. 在Rt△ACD中，∠ACD=37, ∴ AD=CDtan 37≈90.75=6.75. ∴ AB=AD+DB≈6.75+9=15.75. (15.75－2.25)45＝0.3(米/秒). ∴ 國旗應以約0.3米/秒的速度勻速上升 第24題答圖 方法：利用三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形時，通常添加高構(gòu)造直角三角形使問題得以解決，選用適當?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 25.分析：過點C作AB，AD的垂線，可將問題轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形和一個矩形，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)值解答即可. 解：如圖，過點C分別作CE⊥AB于點E，作CF⊥AD于點F. 第25題答圖 在Rt△BCE中，BC=1 000，∠ CBE=30， ∴ CE=BC=500. ∴ AF=500. 在Rt△CDF中，CD=1 000，∠DCF=45. ∴ DF=CDsin∠DCF=1 000=500. ∴ AD=AF+DF=500+500. ∴ 攔截點D處到公路的距離為（500+500）米. 26.（1）解：1，； （2）解：①∵ ∠A＜∠BOC=60，∴ ∠A不可能是直角. ②當∠ABP=90時，如圖所示（第26題答圖（1））， ∵ ∠BOC=60，∴ ∠OPB=30. ∴ OP=2OB，即2t=2.∴ t=1. 第26題答圖（1） ③當∠APB=90時，如圖所示（第26題答圖（2）），作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP=∠PDB=90. 在Rt△POD中，∵ ∠POD=60，∴ ∠OPD=30. ∵ OP=2t， ∴ OD=t，PD=t，AD=2+t，BD=1-t（△BOP是銳角三角形）. 第26題答圖（2） 方法一：BP2=BD2+PD2=（1-t）2+3t2，AP2=AD2+PD2=(2+t)2+3t2. ∵ BP2+AP2=AB2，∴ (1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9，即4t2+t-2=0. 解得t1=，t2=（舍去）. 方法二：∵ ∠APD+∠BPD=90，∠B+∠BPD=90， ∴ ∠APD=∠B.∴ △APD∽△PBD. ∴ ∴ PD2=ADBD. 于是(t)2=(2+t)(1-t)，即4t2+t-2=0. 解得t1=，t2=（舍去）. 綜上，當△ABP為直角三角形時，t=1或. （3）證法一：∵ AP=AB，∴ ∠APB=∠B. 如圖所示（第26題答圖（3）），作OE∥AP，交BP于點E， ∴ ∠OEB=∠APB=∠B. ∵ AQ∥BP，∴ ∠QAB+∠B=180. 又∵ ∠3+∠OEB=180，∴ ∠3=∠QAB. 又∵ ∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP， ∴ ∠1=∠2. 在△QAO和△OEP中，∵ ∠3=∠QAO，∠1=∠2， ∴ △QAO∽△OEP. ∴ ，即AQEP=EOAO. ∵ OE∥AP，∴ △OBE∽△ABP. ∴ .∴ OE=AP=1，BP=EP. ∴ AQBP=AQEP =AQEP=AOEO=21=3. 第26題答圖（3） 證法二：如圖所示（第26題答圖（4）），連接PQ，設AP與OQ相交于點F. ∵ AQ∥BP，∴ ∠QAP=∠APB. ∵ AP=AB，∴ ∠APB=∠B.∴ ∠QAP=∠B. 又∵ ∠QOP=∠B，∴ ∠QAP=∠QOP. 在△QFA和△PFO中，∵ ∠QAF=∠FOP，∠QFA=∠PFO， ∴ △QFA∽△PFO.∴ ，即. 又∵ ∠PFQ=∠OFA，∴ △PFQ∽△OFA.∴ ∠3=∠1. ∵ ∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP， ∴ ∠1=∠2.∴ ∠2=∠3. ∴ △APQ∽△BPO.∴ .∴ AQBP=APBO=31=3. 第26題答圖（4）