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2019-2020年高中數(shù)學 第二章《概率》全部教案 北師大版選修2 一、教學目標： 1、知識目標：⑴理解隨機變量的意義；⑵學會區(qū)分離散型與非離散型隨機變量，并能舉出離散性隨機變量的例子；⑶理解隨機變量所表示試驗結果的含義，并恰當?shù)囟x隨機變量。 2、能力目標：發(fā)展抽象、概括能力，提高實際解決問題的能力。 3、情感目標：學會合作探討，體驗成功，提高學習數(shù)學的興趣. 二、教學重點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義 教學難點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義 三、教學方法：討論交流，探析歸納 四、內(nèi)容分析： 本章是在初中“統(tǒng)計初步”和高中必修課“概率”的基礎上，學習隨機變量和統(tǒng)計的一些知識．學習這些知識后，我們將能解決類似引言中的一些實際問題 五、教學過程 （一）、復習引入： 1．隨機事件及其概率：在每次試驗的結果中，如果某事件一定發(fā)生，則稱為必然事件，記為U；相反，如果某事件一定不發(fā)生，則稱為不可能事件,記為φ. 隨機試驗：為了研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們把各種科學實驗和對事物的觀測統(tǒng)稱為試驗．如果試驗具有下述特點：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）每次試驗的所有可能結果都是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗之前不能預知將會出現(xiàn)哪一個結果，則稱這種試驗為隨機試驗簡稱試驗。 2．樣本空間: 樣本點：在相同的條件下重復地進行試驗,雖然每次試驗的結果中所有可能發(fā)生的事件是可以明確知道的,并且其中必有且僅有一個事件發(fā)生,但是在試驗之前卻無法預知究意哪一個事件將在試驗的結果中發(fā)生.試驗的結果中每一個可能發(fā)生的事件叫做試驗的樣本點,通常用字母ω表示. 樣本空間: 試驗的所有樣本點ω1，ω2，ω3，…構成的集合叫做樣本空間,通常用字母Ω表示,于是,我們有 Ω={ω1，ω2，ω3，… } 3.古典概型的特征： 古典概型的隨機試驗具有下面兩個特征：（１） 有限性.只有有限多個不同的基本事件;（２） 等可能性.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 概率的古典定義 在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)為n，事件Ａ所包含的基本事件個數(shù)為ｒ（ ），則定義事件Ａ的概率 為 .即 (二)、探析新課： 1、隨機變量的概念：隨機變量是概率論的重要概念，把隨機試驗的結果數(shù)量化可使我們對隨機試驗有更清晰的了解，還可借助更多的數(shù)學知識對其進行深入研究． 　　有的試驗結果本身已具數(shù)值意義，如產(chǎn)品抽樣檢查時的廢品數(shù)，而有些雖本無數(shù)值意義但可用某種方式與數(shù)值聯(lián)系，如拋硬幣時規(guī)定出現(xiàn)徽花時用1表示，出現(xiàn)字時用0表示．這些數(shù)值因試驗結果的不確定而帶有隨機性，因此也就稱為隨機變量． 2、隨機變量的定義：如果對于試驗的樣本空間 中的每一個樣本點 ，變量 都有一個確定的實數(shù)值與之對應，則變量 是樣本點 的實函數(shù)，記作 ．我們稱這樣的變量 為隨機變量． 3、若隨機變量 只能取有限個數(shù)值 或可列無窮多個數(shù)值 則稱 為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量 取有限個數(shù)值的情形 （三）、例題探析 例1、（課本例1）已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品?，F(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，這是一個隨機現(xiàn)象。（1）寫出該隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結果；（2）試用隨機變量來描述上述結果。 解析：（1）從10件產(chǎn)品中任取3件，所有可能出現(xiàn)的結果是：“不含不合格品”、“恰有1件不合格品”、 “恰有2件不合格品”. （2）令X表示取出的3件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)。則X所有可能的取值為0,1,2，對應著任取3件產(chǎn)品所有可能出現(xiàn)的結果。即“X=0”表示“不含不合格品”； “X=1”表示“恰有1件不合格品”； “X=2”表示“恰有2件不合格品”. 例2、（課本例2）連續(xù)投擲一枚均勻得硬幣兩次，用X表示這兩次投擲中正面朝上的次數(shù)，則X是一個隨機變量。分別說明下列集合所代表的隨機事件：（1）；（2）；（3）；（4）。學生閱讀課本解答，教師設問，準對問題講評。 例3、寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果 (1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；(2)某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η 解：(1) ξ可取3，4，5 ξ=3，表示取出的3個球的編號為1，2，3； ξ=4，表示取出的3個球的編號為1，2，4或1，3，4或2，3，4； ξ=5，表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5 （2）η可取0，1，…,n，…η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,… 例4、拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ，試問：“ξ> 4”表示的試驗結果是什么？ 答：因為一枚骰子的點數(shù)可以是1，2，3，4，5，6六種結果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是說“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚為6點，第二枚為1點 例5、某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標準收租車費若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足1km的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量，他收旅客的租車費可也是一個隨機變量 (Ⅰ)求租車費η關于行車路程ξ的關系式；(Ⅱ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘? 解：(Ⅰ)依題意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5（18-15）=15． 所以，出租車在途中因故停車累計最多15分鐘． （四）、課堂小結：本課學習了離散型隨機變量。⑴理解隨機變量的意義；⑵學會區(qū)分離散型與非離散型隨機變量，并能舉出離散性隨機變量的例子；⑶理解隨機變量所表示試驗結果的含義，并恰當?shù)囟x隨機變量。 （五）、課堂練習：課本第34頁練習中1、2 （六）、課后作業(yè)：課本第37頁習題2-1中1、2 六、教學反思： 第二課時 離散型隨機變量的分布列 一、教學目標 1、知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機變量的概率分布。 2、過程與方法：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。 3、情感、態(tài)度與價值觀：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。 二、教學重點：離散型隨機變量的分布列的概念 教學難點：求簡單的離散型隨機變量的分布列 三、教學方法：討論交流，探析歸納 四、教學過程 (一)、復習引入： 1、隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示 2、離散型隨機變量: 隨機變量 只能取有限個數(shù)值 或可列無窮多個數(shù)值 則稱 為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量 取有限個數(shù)值的情形. （二）、探析新課： 1. 分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 2. 分布列的兩個性質：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． X 1 0 P p q 對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 3.二點分布：如果隨機變量X的分布列為： （三）、例題探析 例1、一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列． 分析：欲寫出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值時的概率． 解：設黃球的個數(shù)為n，由題意知綠球個數(shù)為2n，紅球個數(shù)為4n，盒中的總數(shù)為7n． 　∴　，，． 所以從該盒中隨機取出一球所得分數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 0 －1 P 說明：1、在寫出ξ的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為1． 2、求隨機變量的分布列的步驟：（1）確定的可能取值； （2）求出相應的概率； （3）列成表格的形式。 例2、某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率． 　分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率． 解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列，有P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28， P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22. 所求的概率為 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88． 例3、（課本例4）用X表示投擲一枚均勻的骰子所得的點數(shù)，利用X的分布列求出下列事件發(fā)生的概率：（1）擲出的點數(shù)是偶數(shù)；（2）擲出的點數(shù)大于3而不大于5；（3）擲出的點數(shù)超過1. 解析：容易得到X的分布列為根據(jù)上式，可得： （1）擲出的點數(shù)是偶數(shù)是指,因此擲出的點數(shù)是偶數(shù)的概率為 . （2）擲出的點數(shù)大于3而不大于5是指擲得4點或5點，它發(fā)生的概率為 . （3）擲出的點數(shù)超過1的對立事件是擲得1點，因此擲出的點數(shù)超過1的概率為 . （四）、課堂小結：1．隨機變量的概念及0-1分布，隨機變量性質的應用；2．求隨機變量的分布列的步驟。 （五）、課堂練習：練習冊第41頁練習題2、3、5 （六）、課后作業(yè)：練習冊第42頁5、6、7 六、教學反思： 第三課時 離散型隨機變量的分布列 一、教學目標：1、知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機變量的概率分布。2、過程與方法：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。3、情感、態(tài)度與價值觀：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。 二、教學重點：離散型隨機變量的分布列的概念。教學難點：求簡單的離散型隨機變量的分布列。 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、問題情境 1．復習回顧：（1）隨機變量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步驟． 2．練習：（1）寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果． ①一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5．現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)為；②盒中有6支白粉筆和8支紅粉筆，從中任意取3支，其中所含白粉筆的支數(shù)；③從4張已編號（1號～4號）的卡片中任意取出2張，被取出的卡片編號數(shù)之和． 解：①可取3，4，5．＝3，表示取出的3個球的編號為1，2，3；＝4，表示取出的3個球的編號為1，2，4或1，3，4或2，3，4；＝5，表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5． ②可取0，1，2，3，＝表示取出支白粉筆，支紅粉筆，其中0，1，2，3． ③可取3，4，5，6，7．＝3表示取出分別標有1，2的兩張卡片；＝4表示取出分別標有1，3的兩張卡片；＝5表示取出分別標有1，4或2，3的兩張卡片；＝6表示取出分別標有2，4的兩張卡片；＝7表示取出分別標有3，4的兩張卡片． （2）袋內(nèi)有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記．求的分布列． 解：顯然服從兩點分布，，則． 0 1 所以的分布列是 （二）、知識與方法運用 1、例題探析： 例1、同時擲兩顆質地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)．求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)的概率分布，并求大于2小于5的概率． 解：依題意易知，擲兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而的可能取值為1，2，3，4，5，6，詳見下表． 的值 出現(xiàn)的點 情況數(shù) 1 （1，1） 1 2 （2，2），（2，1），（1，2） 3 3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5 4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7 5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），（2，5），（1，5） 9 6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），（4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11 由古典概型可知的概率分布如表2-1-6所示． 1 2 3 4 5 6 從而． 思考：在例3中，求兩顆骰子出現(xiàn)最小點數(shù)的概率分布． 分析 類似與例1，通過列表可知：，，，，，． 例2、從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元，而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以表示贏得的錢數(shù)，隨機變量可以取哪些值呢？求的分布列． 解析：從箱中取出兩個球的情形有以下六種：{2白}，{1白1黃}，{1白1黑}，{2黃}，{1黑1黃}，{2黑}．當取到2白時，結果輸2元，隨機變量＝－2；當取到1白1黃時，輸1元，隨機變量＝－1；當取到1白1黑時，隨機變量＝1；當取到2黃時，＝0；當取到1黑1黃時，＝2；當取到2黑時，＝4．則的可能取值為－2，－1，0，1，2，4． ??；　??； －2 －1 0 1 2 4 ?。弧。?，． 從而得到的分布列如下： 例3、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．（1）求袋中原有白球的個數(shù)；（2）求隨機變量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率． 解：（1）設袋中原有個白球，由題意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3個白球．（2）由題意，的可能取值為1，2，3，4，5． ；；； ，． 所以，取球次數(shù)的分布列為： 1 2 3 4 5 （3）因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為，則（，或，或）．因為事件、、兩兩互斥，所以． 2、練習：某一射手射擊所得環(huán)數(shù)分布列為 4 5 6 7 8 9 10 P 0．02 0．04 0．06 0．09 0．28 0．29 0．22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率。 解：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有： P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88。 （三）、回顧小結：1．隨機變量及其分布列的意義；2．隨機變量概率分布的求解；3.求離散型隨機變量的概率分布的步驟:（1）確定隨機變量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi（3）畫出表格。 （四）、作業(yè)布置：1、若隨機變量的分布列為：試求出常數(shù)． ０ １ 解： 由隨機變量分布列的性質可知：，解得。 2、設隨機變量的分布列為，求實數(shù)的值。（） 3、　某班有學生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，現(xiàn)抽1人，其血型為隨機變量，求的分布列。 解：設、、、四種血型分別編號為1，2，3，4，則的可能取值為1，2，3，4。 則，，，。 故其分布表為 1 2 3 4 六、教學反思： 2 超幾何分布 第四課時 超幾何分布 一、教學目標： 1、通過實例，理解超幾何分布及其特點；2、掌握超幾何分布列及其導出過程； 3、通過對實例的分析，會進行簡單的應用。 二、教學重難點：重點：超幾何分布的理解；分布列的推導。難點：具體應用。 三、教學方法：討論交流，探析歸納 四、教學過程 （一）、復習引入： 1、隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機變量: 隨機變量 只能取有限個數(shù)值 或可列無窮多個數(shù)值 則稱 為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量 取有限個數(shù)值的情形. 3. 分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 4. 分布列的兩個性質：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 X 1 0 P p 1-p （二）、探析新課： 1、二點分布：如果隨機變量X的分布列為： 2、超幾何分布 在產(chǎn)品質量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，抽檢件時所得次品數(shù)X=m 則.此時我們稱隨機變量X服從超幾何分布1）超幾何分布的模型是不放回抽樣2）超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n （三）、知識方法應用 例1．在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？ 解：由題意可見此問題歸結為超幾何分布模型由上述公式得 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.現(xiàn)在從中任取10件進行檢查，求取道次品件數(shù)的分布列. 解：由題意 X 0 1 2 3 4 5 P 0．58375 0.33939 0.07022 0.00638 0.00025 0.00001 例3、4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量表示所選三人中女生人數(shù).（1）求得分布列；（2）求所選三人中女生人數(shù)的概率. 解：（1） 0 1 2 （2） 例4、交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標有1元錢，2個標有5元錢，摸獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列. 2 6 10 例4、由180只集成電路組成的一批產(chǎn)品中，有8只是次品，現(xiàn)從中任抽4只，用表示其中的次品數(shù)，試求：（1）抽取的4只中恰好有只次品的概率；（2）抽取的4只產(chǎn)品中次品超過1只的概率. 練習： 1、從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機抽取2個球，則其中有一個紅球的概率是 C A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.2 2、一批產(chǎn)品共50件，次品率為4%，從中任取10件，則抽的1件次品的概率是 A A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.078 3、從分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9張卡片中任取2張，則兩數(shù)之和是奇數(shù)的概率是________________.【】 0 1 2 0.1 0.6 0.3 4、從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機 取出2個球，設其中有個紅球，則得分 布列是___________________________________. （四）、小結：超幾何分布：在產(chǎn)品質量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，抽檢件時所得次品數(shù)X=m則.此時我們稱隨機變量X服從超幾何分布1）超幾何分布的模型是不放回抽樣2）超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n。 （五）、作業(yè)布置：課本P42頁習題2-2中1、3、4 五、教學反思： 3條件概率與獨立事件 第五課時 條件概率 一、教學目標：1、知識與技能：通過對具體情景的分析，了解條件概率的定義。2、過程與方法：掌握一些簡單的條件概率的計算。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。 二、教學重點：條件概率定義的理解。 教學難點：概率計算公式的應用。 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 (一)、復習引入： 1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機變量: 隨機變量 只能取有限個數(shù)值 或可列無窮多個數(shù)值 則稱 為離散隨機變量，在高中階段我們只研究隨機變量 取有限個數(shù)值的情形. 3. 分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 4. 分布列的兩個性質：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． X 1 0 P p q 對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 5.二點分布：如果隨機變量X的分布列為： 6．超幾何分布：在產(chǎn)品質量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，抽檢件時所得次品數(shù)X=m，則.此時我們稱隨機變量X服從超幾何分布。 (二)、探析新課： 問題提出：100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的重量合格，85件產(chǎn)品的長度、重量都合格?，F(xiàn)在，任取一件產(chǎn)品，若已知它的重量合格，那么它的長度合格的概率是多少？ 分析理解：如果令A={產(chǎn)品的長度合格},B={產(chǎn)品的重量合格},那么{產(chǎn)品的長度、重量都合格}?，F(xiàn)在，任取一件產(chǎn)品，已知它的重量合格（即B發(fā)生），則它的長度合格（即A發(fā)生）的概率為。那么此概率（）與事件A及B發(fā)生的概率有什么關系呢？ 由題目可知：,因此在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率為。 抽象概括：1、條件概率定義：已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率稱為事件關于事件的條件概率，記作. 當時，有(其中，也可以記成AB)類似地當時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為 2、條件概率 的性質：（1）非負性：對任意的Af. ；（2）規(guī)范性：P（|B）=1；（3）可列可加性：如果是兩個互斥事件,則.更一般地,對任意的一列兩兩部相容的事件（I=1,2…），有P =. 例1、盒中有球如表. 任取一球，記={取得藍球}，={取得玻璃球}， 顯然這是古典概型. 包含的樣本點總數(shù)為16，包含的樣本點總數(shù)為11，故. 玻璃 木質 總計 紅 藍 2 3 4 7 5 11 總計 6 10 16 如果已知取得為玻璃球，這就是發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率，記作. 在發(fā)生的條件下可能取得的樣本點總數(shù)應為“玻璃球的總數(shù)”，也即把樣本空間壓縮到玻璃球全體. 而在發(fā)生條件下包含的樣本點數(shù)為藍玻璃球數(shù)，故. 一般說來，在古典概型下，都可以這樣做.但若回到原來的樣本空間，則當，有 . 這式子對幾何概率也成立. 例2、甲乙兩市位于長江下游，根據(jù)一百多年的記錄知道，一年中雨天的比例，甲為20%，乙為18%，兩市同時下雨的天數(shù)占12%. 求：① 乙市下雨時甲市也下雨的概率；② 甲乙兩市至少一市下雨的概率。 解 分別用，記事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按題意有，，，. ① 所求為 . ② 所求為 . （三）、課堂小結：本節(jié)課1、學習了條件概率的定義條件概率的定義；2、條件概率的性質3、條件概率的計算方法。 （四）、課堂練習：課本第45頁練習 （五）、課后作業(yè)：課本第47頁習題2-3中1、2 五、教學反思： 第六課時 條件概率 一、教學目標：1、知識與技能：通過對具體情景的分析，了解條件概率的定義。2、過程與方法：掌握一些簡單的條件概率的計算。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。 二、教學重點：條件概率定義的理解。 教學難點：概率計算公式的應用。 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習引入： 1. 已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率稱為事件關于事件的條件概率，記作. 2. 對任意事件和，若，則“在事件發(fā)生的條件下的條件概率”，記作P(A | B)，定義為 （二）、探析新課： 1、條件概率條件概率：對任意事件和，若，則“在事件發(fā)生的條件下的條件概率”，記作P(A | B)，條件概率為 反過來可以用條件概率表示、的乘積概率，即有乘法公式 若，則, (2) 同樣有 若，則. 從上面定義可見，條件概率有著與一般概率相同的性質，即非負性，規(guī)范性和可列可加性. 由此它也可與一般概率同樣運算，只要每次都加上“在某事件發(fā)生的條件下”即成. 兩個事件的乘法公式還可推廣到個事件，即 (3) 具體解題時，條件概率可以依照定義計算，也可能如例1直接按照條件概率的意義在壓縮的樣本空間中計算；同樣，乘積事件的概率可依照公式(2) 或計算，也可按照乘積的意義直接計算，均視問題的具體性質而定. 2. 條件概率的性質： （1）非負性：對任意的Af. ； （2）規(guī)范性：P（|B）=1； （3）可列可加性：如果是兩個互斥事件,則 . 更一般地,對任意的一列兩兩部相容的事件（I=1,2…），有 P =. 例1、張彩票中有一個中獎票.① 已知前面?zhèn)€人沒摸到中獎票，求第個人摸到的概率； ② 求第個人摸到的概率. 解 問題 ① 是在條件“前面?zhèn)€人沒摸到”下的條件概率. ② 是無條件概率. 記={第個人摸到}，則 ① 的條件是. 在壓縮樣本空間中由古典概型直接可得 ① P()=； ② 所求為，但對本題，, 由(3)式及古典概率計算公式有 ＝()＝ .這說明每人摸到獎券的概率與摸的先后次序無關. 例2.在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2 道題，求： (l）第1次抽到理科題的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3）在第 1 次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率． 解：設第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB. (1）從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n（）==20. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n (A）==12 ．于是 . (2）因為 n (AB)＝=6 ，所以. (3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科題的條件下，第 2 次抽到理科題的概 . 解法2 因為 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以. 例3.一張儲蓄卡的密碼共位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求： (1）任意按最后一位數(shù)字，不超過 2 次就按對的概率； (2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率． 解：設第i次按對密碼為事件(i=1,2) ，則表示不超過2次就按對密碼． (1）因為事件與事件互斥，由概率的加法公式得 . (2）用B 表示最后一位按偶數(shù)的事件，則. （三）、課堂小結：本課學習了條件概率簡單應用 （四）課堂練習：練習冊49頁練習2、3、6 （五）、課后作業(yè)：練習冊49頁練習1、4、5、7 五、教學反思： 第七課時 事件的獨立性 一、教學目標：1、知識與技能：理解兩個事件相互獨立的概念。2、過程與方法：能進行一些與事件獨立有關的概率的計算。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。 二、教學重點，難點：理解事件的獨立性，會求一些簡單問題的概率． 三、教學方法：討論交流，探析歸納 四、教學過程 （一）、問題情境1．情境：拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次．在第一次出現(xiàn)正面向上的條件下，第二次出現(xiàn)正面向上的概率是多少？ 2．問題：第一次出現(xiàn)正面向上的條件，對第二次出現(xiàn)正面向上的概率是否產(chǎn)生影響． （二）、學生活動 設表示事件“第一次正面向上”， 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知 ，，，所以． 即，這說明事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率． （三）、新課探析 1．兩個事件的獨立性 一般地，若事件，滿足，則稱事件，獨立． 當，獨立時，若，因為， 所以 ，反過來， 即，也獨立．這說明與獨立是相互的，此時事件和同時發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之積，即．（*） 若我們認為任何事件與必然事件相獨立，任何事件與不可能事件相獨立，那么兩個事件，相互獨立的充要條件是．今后我們將遵循此約定． 事實上，若，則，同時就有，此時不論是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都與獨立．同理任何事件也與必然事件獨立. 2． 兩個事件的獨立性可以推廣到個事件的獨立性，且若事件相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率． 3． 立與互斥 回顧：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；如果兩個互斥事件有一個發(fā) 時另一個必不發(fā)生，這樣的兩個互斥事件叫對立事件. 區(qū)別：互斥事件和相互獨立事件是兩個不同概念：兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生； 兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響． 事實上，當，時，若互斥，則，從而，但，因而等式不成立，即互斥未必獨立．若獨立，則，從而不互斥（否則，，導致矛盾）． 例如從一副撲克牌（５２張）中任抽一張，設“抽得老Ｋ”“抽的紅牌”，“抽到Ｊ”，判斷下列事件是否相互獨立？是否互斥，是否對立？①與； ②與 4．討論研究 概率 意義 、同時發(fā)生的概率 不發(fā)生發(fā)生的概率 發(fā)生不發(fā)生的概率 、都不發(fā)生的概率 、中恰有一個發(fā)生的概率 、中至少有一個發(fā)生的概率 、中至多有一個發(fā)生的概率 （四）、知識方法運用 1、例題探析： 例1、求證：若事件與相互獨立，則事件與也相互獨立． 證：因為 所以． 因為，相互獨立，所以， 于是． 因此，事件與相互獨立．結論：若事件與獨立則與，與，與 都獨立． 圖2-3-2 例2、如圖，用三類不同的元 件連接成系統(tǒng)．當元件都正常工作 時，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率依次為，，，求系統(tǒng)正常工作的概率． 解：若將元件正常工作分別記為事件，則系統(tǒng)正常工作為事件． 根據(jù)題意，有，，． 因為事件是相互獨立的，所以系統(tǒng)正常工作的概率 ，即系統(tǒng)正常工作的概率為． 例3、加工某一零件共需兩道工序，若第一、二道工序的不合格品率分別為3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影響的，問：加工出來的零件是不合格品的概率是多少？ 分析：解決問題的過程可用流程圖表示：（圖） 圖2-3-4 解法1 設表示事件“加工出來的零件是不合格品”，分別表示事件“第一道工序出現(xiàn)不合格品”和“第二道工序出現(xiàn)不合格品”．因為依常理，第一道工序為不合格品，則該產(chǎn)品為不合格品，所以， 因為各道工序互不影響，所以 ． 解法2 因為，所以 ，． 答：加工出來的零件是不合格品的概率是﹪． 思考：如果和是兩個相互獨立的事件，那么表示什么？ 2、練習：課本P45頁練習 （五）．回顧小結：1、當，獨立時，,也是獨立的，即與獨立是相互的。 2、當，獨立；；或 或事件的發(fā)生不影響事件的發(fā)生概率。 五、教學反思： 第八課時 事件的獨立性 一、教學目標：1、知識與技能：理解兩個事件相互獨立的概念。2、過程與方法：能進行一些與事件獨立有關的概率的計算。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。 二、教學重點：獨立事件同時發(fā)生的概率 教學難點：有關獨立事件發(fā)生的概率計算 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程： （一）、復習引入： 1．相互獨立事件的定義：設A, B為兩個事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨立（mutually independent ) .事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立 2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：這就是說，兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 ． 3．對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關系： （二）、例題探析： 例 1、某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定號碼； (2)恰有一次抽到某一指定號碼；(3)至少有一次抽到某一指定號碼． 解： (1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A, “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B ，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB．由于兩次抽獎結果互不影響，因此A與B相互獨立．于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 050.05 = 0.0025. (2 ) “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用（A）U（B）表示．由于事件A與B互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B ) = 0. 05(1-0.05 ) + (1-0.05 ) 0.05 = 0. 095. ( 3 ) “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件 AB , A和B 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例2、甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求： （1）人都射中目標的概率；（2）人中恰有人射中目標的概率；（3）人至少有人射中目標的概率；（4）人至多有人射中目標的概率？ 解：記“甲射擊次，擊中目標”為事件，“乙射擊次，擊中目標”為事件，則與，與，與，與為相互獨立事件，（1）人都射中的概率為：，∴人都射中目標的概率是． （2）“人各射擊次，恰有人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事件發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事件發(fā)生）根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為： ∴人中恰有人射中目標的概率是． （3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為． （法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事件， 2個都未擊中目標的概率是， ∴“兩人至少有1人擊中目標”的概率為． （4）（法1）：“至多有1人擊中目標”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”， 故所求概率為： ． （法2）：“至多有1人擊中目標”的對立事件是“2人都擊中目標”， 故所求概率為 例 3、在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時間內(nèi)每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 解：分別記這段時間內(nèi)開關，，能夠閉合為事件，，． 由題意，這段時間內(nèi)3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，這段時間內(nèi)3個開關都不能閉合的概率是 ∴這段時間內(nèi)至少有1個開關能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是 ． 答：在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是． 變式題1：如圖添加第四個開關與其它三個開關串聯(lián)，在某段時間內(nèi)此開關能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 （） 變式題2：如圖兩個開關串聯(lián)再與第三個開關并聯(lián)，在某段時間內(nèi)每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 方法一： 方法二：分析要使這段時間內(nèi)線路正常工作只要排除開且與至少有1個開的情況 點評：上面例1和例2的解法，都是解應用題的逆向思考方法采用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便 (三)、課堂練習： 1．在一段時間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內(nèi)至少有1人去此地的概率是( ) 2．從甲口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，從兩個口袋內(nèi)各摸出1個球，那么等于（ ） 2個球都是白球的概率 2個球都不是白球的概率 2個球不都是白球的概率 2個球中恰好有1個是白球的概率 3．電燈泡使用時間在1000小時以上概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是（ ） 0.128 0.096 0.104 0.384【答案：1. C 2. C 3. B】 （四）、課堂小結 ：兩個事件相互獨立，是指它們其中一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響一般地，兩個事件不可能即互斥又相互獨立，因為互斥事件是不可能同時發(fā)生的，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的。 （五）、課后作業(yè)：補充題: 1、一個工人負責看管4臺機床，如果在1小時內(nèi)這些機床不需要人去照顧的概率第1臺是0.79，第2臺是0.79，第3臺是0.80，第4臺是0.81，且各臺機床是否需要照顧相互之間沒有影響，計算在這個小時內(nèi)這4臺機床都不需要人去照顧的概率. 2、制造一種零件，甲機床的廢品率是0.04，乙機床的廢品率是0.05．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，其中恰有1件廢品的概率是多少？ 3、甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？ 【答案：1、 P= 2、 P= 3、 。 4、已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為0.2． （1）假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率； （2）要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？ 分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率 解:（1）設敵機被第k門高炮擊中的事件為(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機的事件為．∵事件，，，，相互獨立，∴敵機未被擊中的概率為 = ∴敵機未被擊中的概率為． （2）至少需要布置門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：敵機被擊中的概率為1-∴令，∴兩邊取常用對數(shù)，得 ∵，∴∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機 五、教學反思： 4 二項分布 第九課時 獨立重復試驗與二項分布 一、教學目標：1、知識與技能：理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題。2、過程與方法：能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算。3、情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文價值。 二、教學重點：理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題。 教學難點：能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算。 三、教學方法：討論交流，探析歸納 四、教學過程 （一）、復習引入： 1. 已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率稱為事件關于事件的條件概率，記作. 2. 對任意事件和，若，則“在事件發(fā)生的條件下的條件概率”，記作P(A | B)，定義為 3. 事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，即.稱與獨立 （二）、探析新課： 1