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2019-2020年高中數(shù)學《集合的含義及其表示》教案4 北師大必修1 教學目標：通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系、知道常用數(shù)集的記法和集合中元素的特性, 了解有限集、無限集、空集概念 教學重點：集合概念、性質(zhì)；“”，“”的使用 教學難點：集合概念的理解 課 型：新授課 教學手段： 教學過程： 一、引入課題 軍訓前學校通知：8月15日8點，高一年級在體育館集合進行軍訓動員；試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？ 在這里，集合是我們常用的一個詞語，我們感興趣的是問題中某些特定（是高一而不是高二）對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一個新的概念——集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體。 研究集合的數(shù)學理論在現(xiàn)代數(shù)學中稱為集合論，它不僅是數(shù)學的一個基本分支，在數(shù)學中占據(jù)一個極其獨特的地位，如果把數(shù)學比作一座宏偉大廈，那么集合論就是這座宏偉大廈的基石。集合理論創(chuàng)始者是由德國數(shù)學家康托爾，他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學分支的基礎(chǔ)。（參看閱教材中讀材料P17）。 下面幾節(jié)課中，我們共同學習有關(guān)集合的一些基礎(chǔ)知識，為以后數(shù)學的學習打下基礎(chǔ)。 二、新課教學 “物以類聚,人以群分”，數(shù)學中也有類似的分類。 如：自然數(shù)的集合 0，1，2，3，……。 如：，即，所有大于2的實數(shù)組成的集合稱為這個不等式的解集。 如：幾何中，圓是到定點的距離等于定長的點的集合。 1、一般地，指定的某些對象的全體稱為集合，標記： 集合中的每個對象叫做這個集合的元素，標記： 2、元素與集合的關(guān)系 在集合中， 就說屬于集合， 記作 不在集合中，就說不屬于集合，記作 思考1：列舉一些集合例子和不能構(gòu)成集合的例子，對學生的例子予以討論、點評，進而講解下面的問題。 例1、判斷下列一組對象是否屬于一個集合？ （1）小于10的質(zhì)數(shù) （2）著名數(shù)學家 （3）中國的直轄市 （4）maths中的字母 （5）book中的字母 （6）所有的偶數(shù) （7）所有直角三角形 （8）滿足的全體實數(shù) （9）方程的實數(shù)解 評注：判斷集合要注意有三點：范圍是否確定；元素是否明確；能不能指出它的屬性。 3、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性：對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。 2.元素的互異性：任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。比如：book中的字母構(gòu)成的集合 3.元素的無序性：集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。 4、數(shù)的集簡稱數(shù)集，下面是一些常用數(shù)集及其記法： 自然數(shù)集 記作： 有理數(shù)集 記作： 正整數(shù)集 記作： 實數(shù)集 記作： 整數(shù)集 記作： 注：實數(shù)的分類 5、集合的分類原則：集合中所含元素的多少 ①有限集 含有限個元素，如集合 ②無限集 含無限個元素，如整數(shù)的集合 ③空 集 不含有任何元素，如集合 記作： 三、課堂練習 1、用符號“”或“”填空：課本P5練習1 2、判斷下面說法是否正確、正確的填“√”，錯誤的填“” (1)所有在中的元素都在中（ ） (2)所有在中的元素都在中( ) (3)所有不在中的數(shù)都不在中（ ） (4)所有不在中的實數(shù)都在中（ ） (5)由既在中又在中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0（ ） (6)不在中的數(shù)不能使方程成立（ ） 四、回顧反思 1、集合的概念 2、集合元素的三個特征 其中“集合中的元素必須是確定的”應(yīng)理解為：對于一個給定的集合，它的元素的意義是明確的. “集合中的元素必須是互異的”應(yīng)理解為：對于給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的. 3、常見數(shù)集的專用符號. 五、作業(yè)布置 1、下列各組對象能確定一個集合嗎？ （1）所有很大的實數(shù)。 （2）好心的人。 （3）1，2，2，3，4，5。 2、設(shè)是非零實數(shù)，那么可能取的值組成集合的元素是 。 3、由實數(shù)所組成的集合，最多含（ ）個元素 A、2個 B、3個 C、4個 D、5個 4、下列結(jié)論中，不正確的是( ) A、 B、 C、 D、 5、下列結(jié)論中，不正確的是( ) A、若，則 B、若，則 C、若，則 D、若，則 6、求數(shù)集中的元素應(yīng)滿足的條件。 板書設(shè)計（略） 1 集合的概念及其表示（二） 教學目標：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用 教學重點：集合的表示方法 教學難點：正確表示一些簡單集合 課 型：新授課 教學手段：講授 教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境 復習提問： 集合元素的特征有哪些？怎樣理解，試舉例說明，集合與元素關(guān)系是什么？如何用數(shù)學符號表示？ 那么給定一個具體的集合，我們?nèi)绾伪硎舅?？這就是今天我們學習的內(nèi)容—集合的表示 (板書課題) 我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合 二、新課講解 1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。 例:“中國的直轄市”構(gòu)成的集合，寫成{北京,天津,上海,重慶} 由“maths中的字母”構(gòu)成的集合，寫成{m,a,t,h,s} 由“book中的字母” 構(gòu)成的集合，寫成{b,o,k} 注： （1）有些集合亦可如下表示： 從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…} （2）與不同：表示一個元素，表示一個集合，該集合只有一個元素。 比如：與 不同， （3）集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。 例1（P4） 2、描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。 格式： 含義：在集合中滿足條件的的集合。 例:不等式的解集可以表示為：或 “中國的直轄市”構(gòu)成的集合，寫成{為中國的直轄市}； “平面直角坐標系中第二象限的點” “方程的實數(shù)解” 注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。如：{直角三角形}； {大于104的實數(shù)} （2）錯誤表示法：{實數(shù)集}；{全體實數(shù)} 例2（P5） 3、圖示法： 文氏圖(Venn圖)：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法。 三、例題講解 例1、解不等式，并把結(jié)果用集合表示. 解：由不等式，知 所以原不等式解集是 例2 、求方程的解集 解：因為沒有實數(shù)解 所以 例3、用描述法分別表示： （1）拋物線上的點 （2）拋物線上點的橫坐標 （3）拋物線上點的縱坐標 四、課堂練習 練習：P5 2、3. 五、回顧反思 1．描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素 與不同，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：{整數(shù)}，即代表整數(shù)集。注意：這里的已包含“所有”的意思，所以不必寫{全體整數(shù)}。寫法{實數(shù)集}，{R}是錯誤的。 2、列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般無限集，不宜采用列舉法。 3、本節(jié)課在教學時主要教會學生學習集合的表示方法，在認識集合時，應(yīng)從兩方面入手： （1）元素是什么？ （2）確定集合的表示方法是什么？表示集合時，與采用字母名稱無關(guān)。 六、作業(yè)布置 作業(yè)：P6 A組題：1,2,3,4,5 思考：P6 B組題 2 集合的基本關(guān)系 教學目的：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；理解子集、真子集的概念；能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系 教學重點：子集與真子集的概念；用Venn圖表達集合間的關(guān)系 教學難點：弄清元素與集合 、屬于與包含之間的區(qū)別 課 型：新授課 教學過程： 一、引入課題 1、 復習元素與集合的關(guān)系------屬于與不屬于的關(guān)系，填以下空白： （1）0 ； （2） ； （3） 2、 類比實數(shù)的大小關(guān)系，如，，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？（宣布課題） 二、新課教學 1、 集合與集合之間的“包含”關(guān)系 ， 集合是集合的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合包含集合 如果集合中的任何一個元素都是集合的元素，即若，則，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合是集合的子集。記作： 讀作：集合包含于集合，或集合包含集合 當集合不包含于集合時，或集合不包含集合時，記作 （或 ） B A 用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系 2、集合與集合之間的“相等”關(guān)系 若，則 A(B) 即 練習 3、結(jié)論：任何一個集合是它本身的子集 4、真子集的概念 對于兩個集合與，如果，并且，則稱集合是集合的真子集。 記作： （或） 舉例（由學生舉例，共同辨析） 5、規(guī)定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 6、結(jié)論：，且，則 三、例題講解 例1、化簡集合，并表示的關(guān)系； 例2、寫出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 結(jié)論：集合中元素的個數(shù)記為，則它的子集的個數(shù)為：，真子集的個數(shù)：，非空真子集個數(shù)：（在后繼學習中會對此結(jié)論加以證明） 四、課堂練習：P9練習題 五、歸納小結(jié)，強化思想 兩個集合之間的基本關(guān)系只有“包含”與“相等”兩種，可類比兩個實數(shù)間的大小關(guān)系，同時還要注意區(qū)別“屬于”與“包含”兩種關(guān)系及其表示方法； 六、作業(yè)布置 1、書面作業(yè)：習題1-2 5個小題 2、提高作業(yè)： ①已知集合，，且滿足，求實數(shù)的取值范圍。 ②設(shè)集合，，試用Venn圖表示它們之間的關(guān)系。 ③P10 B組題 板書設(shè)計（略） 3.1 交集與并集 教學目標：（1）理解兩個集合的并集與交集的的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； （2）能用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 教學重點：集合的交集與并集的概念 教學難點：集合的交集與并集 課 型：新授課 教學過程： 一、引入課題 兩個實數(shù)除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數(shù)的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？引入新課。 二、新課教學 1、交集 一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素所組成的集合，叫做集合與的交集。記作： 讀作：“交” 即： 交集的Venn圖表示 說明：兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。 例題1、求集合A與B的交集 ① ② 拓展：求下列各圖中集合A與B的并集與交集(用彩筆圖出) A B A(B) A B B A B A 說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集 2、并集 一般地，由屬于集合或?qū)儆诩系乃性厮M成的集合，叫作集合與的并集 A∪B A B A ？ 記作： 讀作：“并” 即： Venn圖表示： 說明：兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合與的所有元素組成的集合（重復元素只看成一個元素）。 例題2、求集合A與B的并集 ③ ④ （過度）問題：在上圖中我們除了研究集合與的并集外，它們的公共部分（即問號 部分）還應(yīng)是我們所關(guān)心的，我們稱其為集合與的交集。 3、例題講解 例3（P12例1)：理解所給集合的含義，可借助venn圖分析 例4（P12例2）：先“化簡”所給集合，搞清楚各自所含元素后，再進行運算。 4、集合基本運算的一些結(jié)論： 若，則，反之也成立 若，則，反之也成立 若，則且 若，則或 三、課堂練習（P13練習） 四、歸納小結(jié) 五、作業(yè)布置 1、 書面作業(yè)：P15習題1-3，第1-3題 補充： （1）設(shè)A={奇數(shù)}、B={偶數(shù)}，則A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B= （2）設(shè)A={奇數(shù)}、B={偶數(shù)}，則A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z 2、 提高內(nèi)容： （1）已知，且，試求、。 （2）集合,若，求、。 （3），且，求。 3.2 全集與補集 教學目標：了解全集的意義，理解補集的概念，能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系；滲透相對的觀點 教學重點：補集的概念. 教學難點：補集的有關(guān)運算 課 型：新授課 教學手段：發(fā)現(xiàn)式教學法，通過引入實例，進而對實例的分析，發(fā)現(xiàn)尋找其一般結(jié)果，歸納其普遍規(guī)律. 教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境 1．復習引入：復習集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；兩集合的交集，并集. 2．相對某個集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也應(yīng)構(gòu)成一個集合，這兩個集合對于U構(gòu)成了相對的關(guān)系，這就驗證了“事物都是對立和統(tǒng)一的關(guān)系”。集合中的部分元素與集合之間關(guān)系就是部分與整體的關(guān)系.這就是本節(jié)課研究的話題 ——全集和補集。 二、新課講解 請同學們舉出類似的例子 如：U＝{全班同學} A＝{班上男同學} B＝{班上女同學} 特征：集合B就是集合U中除去集合A之后余下來的集合，可以用Venn圖表示。 我們稱B是A對于全集U的補集。 1、 全集 在研究某些集合的時候，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫作全集 通常用字母U表示。 2、補集（余集） A U 設(shè)U是全集，A是U的一個子集（即AU），則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作“U中子集A的補集”，簡稱集合A的補集，記作，即 補集的Venn圖表示： 說明：補集的概念必須要有全集的限制 練習：，則。 3、基本性質(zhì) ①，， ② ③， 注：借助venn圖的直觀性加以說明 三、例題講解 例1、(P13例3) 例2、(P13例4) ①注重借助數(shù)軸對集合進行運算②利用結(jié)果驗證基本性質(zhì) 四、課堂練習 1．舉例，請?zhí)畛洌▍⒖迹? (1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，則SA＝____________. (2)若S＝{三角形}，B＝{銳角三角形}，則SB＝___________. (3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，則SA＝_______. (4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，UA＝{5}，則a＝_______ (5)已知A＝{0，2，4}，UA＝{－1，1}，UB＝{－1，0，2}，求B＝_______ (6)設(shè)全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，UA＝{5}，求m. (7)設(shè)全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求UA、m. 師生共同完成上述題目，解題的依據(jù)是定義 例(1)解：SA＝{2} 評述：主要是比較A及S的區(qū)別. 例(2)解：SB＝{直角三角形或鈍角三角形} 評述：注意三角形分類. 例(3)解：SA＝3 評述：空集的定義運用. 例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1 評述：利用集合元素的特征. 例(5)解：利用文恩圖由A及UA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}. 例(6)解：由題m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2 例(7)解：將x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6 當m＝4時，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4} 又當m＝6時，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3} 故滿足題條件：UA＝{1，4}，m＝4；UB＝{2，3}，m＝6. 評述：此題解決過程中滲透分類討論思想. 2．P14練習題1、2、3、4、5 五、回顧反思 本節(jié)主要介紹全集與補集，是在子集概念的基礎(chǔ)上講述補集的概念，并介紹了全集的概念 1.全集是一個相對的概念，它含有與研究的問題有關(guān)的各個集合的全部元素，通常用“U”表示全集.在研究不同問題時，全集也不一定相同. 2.補集也是一個相對的概念，若集合A是集合U的子集，則U中所有不屬于A的元素組成的集合稱為U中子集A的補集（余集），記作，即={x|}. 當U不同時，集合A的補集也不同. 六、作業(yè)布置 1、 P15習題4，5 2、 用集合A，B，C的交集、并集、補集表示下圖有色部分所代表的集合 3、思考：p16 B組題1，2