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2019-2020年高中數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用舉例 【知識(shí)與技能】 平面向量的應(yīng)用舉例,包括幾何中的應(yīng)用和物理中的應(yīng)用兩部分內(nèi)容.本節(jié)的重點(diǎn)是向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”,難點(diǎn)是如何將實(shí)際問(wèn)題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系. 【過(guò)程與方法】 教材通過(guò)兩個(gè)例題介紹了向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.例1中用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對(duì)角線與兩鄰邊之間的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運(yùn)算,因此它在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)具有優(yōu)越性,它把一個(gè)思辨過(guò)程變成了一個(gè)算法過(guò)程,只要按程序進(jìn)行運(yùn)算操作,即可思考問(wèn)題的難度，通過(guò)例1的學(xué)習(xí)要明確用向量解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”.例2通過(guò)向量之間的關(guān)系判斷線段之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的向量方法.應(yīng)結(jié)合不用向量方法如何證明“思考”,對(duì)不同解題方法進(jìn)行比較,從中體會(huì)向量方法的優(yōu)越性所在.向量在物理中的應(yīng)用,實(shí)際上是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,然后再通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象. 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用 【知識(shí)與技能】 本節(jié)的重點(diǎn)是掌握用向量解決實(shí)際問(wèn)題的方法以及向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”,難點(diǎn)是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生把物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型的能力. 【過(guò)程與方法】 教材通過(guò)兩個(gè)例題介紹了向量方法在物理中的應(yīng)用.向量在物理中的應(yīng)用,實(shí)際上是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,然后再通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.例3是生活經(jīng)常遇到的問(wèn)題,首先將實(shí)際現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)模型,得到模型后發(fā)現(xiàn)是一個(gè)簡(jiǎn)單的向量問(wèn)題.例4的關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋,即分析中給出的船必須垂直于河岸行駛,這時(shí)船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸. 【補(bǔ)充例題】 1．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問(wèn)題 例1已知向量滿足條件，，求證：是正三角形 解：令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè) 由，即 ② ① 兩式平方和為，，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說(shuō)明三點(diǎn)均勻分部在一個(gè)單位圓上，所以為等腰三角形. 例2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角 的度數(shù) 解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， 從而可求： , =. . 2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題 例3已知，AD為中線，求證 證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則 ， . =， 從而，. 3．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量 例4 已知點(diǎn)是 且試用 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2，，所以，易求，設(shè) . 例5 如圖， 用表示 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， . 4．利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問(wèn)題 例6 求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn) [分析]如圖，已知中，由， 要證明利用向量法證明，只要證得即可；證明中，要充分利用好，這兩個(gè)條件. 證明：在上，而 ，，即 ① 又，即 ② ①-②得： ， 即 從而，， . 5．利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問(wèn)題，距離問(wèn)題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離. 例7 求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 [分析]已知點(diǎn)求兩點(diǎn)間的距離這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量，那么而， 根據(jù)向量模的公式得，從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為. 解：設(shè)點(diǎn) ， ,而 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為： 6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問(wèn)題. 例8 證明: 分析：如圖，單位圓上任取兩點(diǎn),以為始邊，為終邊的角分別為，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到的坐標(biāo)，則為向量的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證. 證明：在單位圓上任取兩點(diǎn)，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為； 則向量，它們的夾角為， ,由向量夾角公式得： ,從而得證. 注：用同樣的方法可證明 7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問(wèn)題. 例9 證明柯西不等式 證明：令 （1） 當(dāng)或時(shí)，，結(jié)論顯然成立； （2） 當(dāng)且時(shí)，令為的夾角，則 . 又 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） .（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） 例10求的最值 解：原函數(shù)可變?yōu)椋灾豁毲蟮淖钪导纯?，?gòu)造，那么 . 故.