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Kalman濾波器和Wiener濾波器的仿真與實(shí)現(xiàn),Wiener濾波,所謂濾波就是從混合在一起的諸多信號(hào)中提取所要的信號(hào)。 根據(jù)濾波器的輸出是否為輸入的線性函數(shù)，可將它分為線性濾波器和非線性濾波器兩種。濾波器研究的一個(gè)基本課題就是：如何設(shè)計(jì)和制造最佳的或最優(yōu)的濾波器。所謂最佳濾波器是指能夠根據(jù)某一最佳準(zhǔn)則進(jìn)行濾波的濾波器。,設(shè)維納濾波器的輸入為含噪聲的隨機(jī)信號(hào)。期望輸出與實(shí)際輸出之間的差值為誤差，對(duì)該誤差求均方，即為均方誤差。因此均方誤差越小，噪聲濾除效果就越好。如果能夠滿足維納－霍夫方程，就可使維納濾波器達(dá)到最佳。根據(jù)維納－霍夫方程，最佳維納濾波器的沖激響應(yīng)，完全由輸入自相關(guān)函數(shù)以及輸入與期望輸出的互相關(guān)函數(shù) 所決定。,在一定的約束條件下，其輸出與一給定函數(shù)（通常稱為期望輸出）的差的平方達(dá)到最小，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算最終可變?yōu)橐粋€(gè)托布利茲方程的求解問(wèn)題。維納濾波器又被稱為最小二乘濾波器或最小平方濾波器，目前是基本的濾波方法之一。,,從理論上說(shuō)，維納濾波的最大缺點(diǎn)是必須用到無(wú)限過(guò)去的數(shù)據(jù)，不適用于實(shí)時(shí)處理。為了克服這一缺點(diǎn)， 60 年代 Kalman 把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)出了一套遞推估計(jì)算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論。,卡爾曼濾波,卡爾曼濾波從被提取信號(hào)有關(guān)的量測(cè)量中通過(guò)算法估計(jì)出所需信號(hào)。其中被估計(jì)信號(hào)是由白噪聲激勵(lì)引起的隨機(jī)響應(yīng)，激勵(lì)源與響應(yīng)之間的傳遞結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)方程）已知，量測(cè)量與被估計(jì)量之間的函數(shù)關(guān)系（量測(cè)方程）也已知。 卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來(lái)尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻地估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。它適合于實(shí)時(shí)處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算。,,卡爾曼濾波特點(diǎn)： （1） 卡爾曼濾波處理的對(duì)象是隨機(jī)信號(hào)； （2） 被處理信號(hào)無(wú)有用和干擾之分，濾波的目的是要估計(jì)出所有被處理信號(hào)； （3） 系統(tǒng)的白噪聲激勵(lì)和量測(cè)噪聲并不是需要濾除的對(duì)象，它們的統(tǒng)計(jì)特性正是估計(jì)過(guò)程中需要利用的信息。 （4） 所以確切的說(shuō)，卡爾曼濾波應(yīng)稱作最優(yōu)估計(jì)理論，此處稱謂的濾波與常規(guī)濾波具有完全不同的概念和含義。,,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。,,卡爾曼的五個(gè)核心方程： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……………………… (1) P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ………………………… (2) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3) Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4) P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ………………………… (5),計(jì)算濾波估計(jì)的流程圖,,我們看以看出，濾波過(guò)程是以不斷地“預(yù)測(cè)—修正”的遞推方式進(jìn)行計(jì)算，先進(jìn)行預(yù)測(cè)值計(jì)算，再根據(jù)觀測(cè)值得到的新信息和kalman 增益（加權(quán)項(xiàng)），對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。由濾波值可以得到預(yù)測(cè)，又由預(yù)測(cè)可以得到濾波，其濾波和預(yù)測(cè)相互作用，并不要求存儲(chǔ)任何觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。,仿真實(shí)例,設(shè)有一個(gè)隨機(jī)信號(hào) 服從AR(4)過(guò)程，它是一個(gè)寬帶過(guò)程，參數(shù)如下： 通過(guò)觀測(cè)方程 來(lái)測(cè)量信號(hào)， 是方差為1的高斯白噪聲，利用Kalman濾波器通過(guò)測(cè)量信號(hào)估計(jì) 的波形。,,建立模型,將隨機(jī)信號(hào)X(n)看成是由典型白噪聲序列源W(n)激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)產(chǎn)生，用一個(gè)差分方程來(lái)描述：,,,,,觀測(cè)方程是Y(n)=X(n)+V(n),V(n)是方差為１的高斯白噪聲，產(chǎn)生進(jìn)入Wiener濾波器的信號(hào)。 將濾波器的階數(shù)設(shè)為101，根據(jù)維納－霍夫方程： 其中rx1是觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)， 是觀測(cè)信號(hào)和期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。定義維納濾波的模型，最后帶入filter。,,穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器方程如下： 測(cè)量值修正計(jì)算： 我們可以通過(guò)kalman函數(shù)設(shè)計(jì)上述穩(wěn)態(tài)濾波器。 首先定義帶噪聲的系統(tǒng)模型：,Kalman濾波器模型圖,謝謝！,