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2019-2020年高中數學第一輪總復習 第八章 8.5 軌跡問題教案 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.曲線與方程的關系 曲線C 方程f(x,y)=0. 2.求軌跡方程的基本方法 ①直接求；②代入(相關點)法；③參數法；④定義法；⑤待定系數法. 二、點擊雙基 1.動點P到直線x=1的距離與它到點A(4，0)的距離之比為2，則P點的軌跡是 …( ) A.中心在原點的橢圓 B.中心在(5，0)的橢圓 C.中心在原點的雙曲線 D.中心在(5，0)的雙曲線 答案：B 2.若動圓與圓(x+2)2+y2=4外切，且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是( ) A.y2+8x=0 B.y2-8x=0 C.y2-12x+12=0 D.y2+12x-12=0 解析：定義法.動圓圓心到定圓圓心(-2,0)與到直線x=4的距離相等(都是動圓的半徑)，∴p=6. ∴y2=12(x-1),即選C. 答案：C 3.平面直角坐標系中，O為坐標原點，兩點A(3,1)、B(-1,3)，若點C滿足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 解析：直接代入法.設C(x,y), ∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3). ∴利用α+β=1,消去α、β得x+2y=5. 答案：D 4.F1、F2為橢圓+=1的左、右焦點，A為橢圓上任一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________________________________. 解析：延長F1D與F2A交于B，連結DO，可知DO=F2B=2，∴動點D的軌跡方程為x2+y2=4. 答案：x2+y2=4 5.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是（ ） A.y2-=1（y≤-1） B.y2-=1 C.y2-=-1 D.x2-=1 解析：由題意｜AC｜=13，｜BC｜=15，|AB|=14， 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴｜AF｜-｜BF｜=｜BC｜-｜AC｜=2. 故F點的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線下支. 又c=7,a=1,b2=48, 所以軌跡方程為y2-=1(y≤-1). 答案：A 誘思實例點撥 【例1】 求過點(0，2)的直線被橢圓x2+2y2=2所截弦的中點的軌跡方程. 解：設直線方程為y=kx+2, 把它代入x2+2y2=2, 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 要使直線和橢圓有兩個不同交點，則Δ＞0，即k＜-或k＞. 設直線與橢圓兩個交點為A(x1，y1)、B（x2，y2），中點坐標為C(x,y)，則 x==-,y=-=. 從參數方程(k＜-或k＞),消去k得x2+2（y-1）2=2, 且｜x｜＜，0＜y＜． 【例2】 在△PMN中，tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,且△PMN的面積為1，建立適當的坐標系，求以M、N為焦點，且過點P的橢圓的方程. 剖析：如下圖，以直線MN為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數，但a2、b2與已知條件沒有直接聯系，因此應尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或改造已知條件. 解法一：如下圖，過P作PQ⊥MN，垂足為Q， 令|PQ|=m,于是可得 |MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m, |QN|=|PQ|cot∠PNQ=m. ∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m. 于是S△PMN=|MN||PQ|=mm=1. 因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=. |MP|= = =, |NP|= = =. 以MN的中點為原點，MN所在直線為x軸建立直角坐標系，設橢圓方程為+=1(a＞b＞0). 則2a=|MP|+|NP|=, 2c=|MN|=, 故所求橢圓方程為+=1. 解法二：設M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y＞0, 則 解之，得x=,y=,c=. 設橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2,則 解之，得a2=,b2=3. （以下略） 講評：解法一選擇了與a較接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知條件，以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現方程思想方法的、學生易于理解和接受的是這兩種解法. 鏈接拓展 若把△PMN的面積為1改為=,求橢圓方程. 提示：由tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,易得sin∠MPN=,cos∠MPN=. 由=,得||||=. 易求得|PM|=,|PN|=. 進而求得橢圓方程為+=1. 【例3】 （xx江蘇高考）如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點)，使得PM=2PN，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程. 剖析：此題是以O1O2所在直線為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，把PM、PN的關系轉化為PO1與PO2的關系，這樣就把P、M、N三個動點問題轉化為關于一個動點P的問題. 解：作直線O1O2，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，連結O1M、O2N，設P點坐標為(x,y). ∵PM、PN分別為⊙O1、⊙O2的切線， ∴O1M⊥PM,O2N⊥PN. ∴△PO1M，△PO2N為直角三角形. ∴PO12=PM2+O1M2=PM2+1, PO22=PN2+O2N2=PN2+1. ∵PM=PN, ∴PM2=2PN2. ∴PO12=2PN2+1, ① 2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2. ② 由②-①得2PO22-PO12=1. ∵PO22=(x-2)2+y2,PO12=(x+2)2+y2, ∴2［(x-2)2+y2］-［(x+2)2+y2］=1. ∴2x2-8x+8+2y2-x2-4x-4-y2-1=0. ∴x2-12x+y2+3=0. ∴(x-6)2+y2=33. 講評：正確建系是解好本題的首要任務,用PM、PN來表示PO1、PO2是本題的核心，這樣就把三個動點問題轉化為只關于一個動點P的問題.體現出轉化思想的重要性，轉化時用到了消去變量PM、PN的方法.