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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 第二講 極坐標與參數(shù)方程 理 1．曲線的極坐標方程． (1)極坐標系：一般地，在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系．其中，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸． (2)極坐標(ρ，θ)的含義：設M是平面上任一點，ρ表示OM的長度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．顯然，每一個有序實數(shù)對(ρ，θ)，決定一個點的位置．其中ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角． 極坐標系和直角坐標系的最大區(qū)別在于：在直角坐標系中，平面上的點與有序數(shù)對之間的對應關系是一一對應的，而在極坐標系中，對于給定的有序數(shù)對(ρ，θ)，可以確定平面上的一點，但是平面內的一點的極坐標卻不是唯一的． (3)曲線的極坐標方程：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上的任意一點的極坐標滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程． 2．直線的極坐標方程． (1)過極點且與極軸成φ0角的直線方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下圖所示． (2)與極軸垂直且與極軸交于點(a，0)的直線的極坐標方程是ρcos θ＝a，如下圖所示． (3)與極軸平行且在x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標方程為ρsin θ＝a，如下圖所示． 3．圓的極坐標方程． (1)以極點為圓心，半徑為r的圓的方程為ρ＝r，如圖1所示． (2)圓心在極軸上且過極點，半徑為r的圓的方程為ρ＝2rcos_θ，如圖2所示． (3)圓心在過極點且與極軸成的射線上，過極點且半徑為r的圓的方程為ρ2rsin_θ，如圖3所示． 4．極坐標與直角坐標的互化． 若極點在原點且極軸為x軸的正半軸，則平面內任意一點M的極坐標M(ρ，θ)化為平面直角坐標M(x，y)的公式如下： 或者ρ＝，tan θ＝， 其中要結合點所在的象限確定角θ的值． 1．曲線的參數(shù)方程的定義． 在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程． (1)過定點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線： (t為參數(shù))， 其中參數(shù)t是以定點P(x0，y0)為起點，點M(x，y)為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離． 根據(jù)t的幾何意義，有以下結論： ①設A，B是直線上任意兩點，它們對應的參數(shù)分別為tA和tB，則|AB|＝|tB－tA|＝； ②線段AB的中點所對應的參數(shù)值等于. (2)中心在P(x0，y0)，半徑等于r的圓： (θ為參數(shù)) (3)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的橢圓： (θ為參數(shù)). 中心在點P(x0，y0)，焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (4)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的雙曲線： (θ為參數(shù)). (5)頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上的拋物線： (t為參數(shù)，p>0)． 注：sec θ＝. 3．參數(shù)方程化為普通方程． 由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數(shù)時要注意參數(shù)的取值范圍對x，y的限制． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知點A的極坐標為，則點A的直角坐標是(2，－2)． 2．把點P的直角坐標(，－)化為極坐標，結果為． 3．曲線的極坐標方程ρ＝4sin θ化為直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4． 4．以極坐標系中的點為圓心、1為半徑的圓的極坐標方程是ρ＝2cos． 5．在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(θ為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為3． 解析：由直線l：得y＝x－a.由橢圓C：得＝＝1.所以橢圓C的右頂點為(3，0)．因為直線l過橢圓的右頂點，所以0＝3－a，即a＝3. 一、選擇題 1．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是(C) A. B. C. D. 2．若圓的方程為(θ為參數(shù))，直線的方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關系是(B) A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定 3．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長為(D) A. B．2 C. D．2 解析：由題意可得直線和圓的方程分別為x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圓心C(2，0)，半徑r＝2，圓心(2，0)到直線l的距離d＝，由半徑，圓心距，半弦長構成直角三角形，解得弦長為2. 4．已知動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則直線l與圓O：(θ為參數(shù))的位置關系是(A) A．相交 B．相切 C．相離 D．過圓心 解析：動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2＋y2＝9且22＋12<9，故點(2，1)在圓O內，則直線l與圓O的位置關系是相交． 二、填空題 5．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是(θ是參數(shù))，若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標方程可寫為ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0． 解析：在平面直角坐標系xOy中，(θ是參數(shù))，∴根據(jù)sin2θ＋cos2θ＝1，可得x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲線C的極坐標方程為ρ2＋4ρsin θ＋3＝0. 6．在平面直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的圓心的極坐標為． 三、解答題 7．求極點到直線ρ＝(ρ∈R)的距離． 解析：由ρ＝?ρsin θ＋ρcos θ＝1?x＋y＝1， 故d＝＝. 8．極坐標系中，A為曲線ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的動點，B為直線ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的動點，求|AB|的最小值． 9．(xx大連模擬)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，將曲線C1上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長為原來的倍，得到曲線C2.以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6. (1)求曲線C2和直線l的普通方程； (2)P為曲線C2上任意一點，求點P到直線l的距離的最值． 解析：(1)由題意可得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，即C2：＋＝1， 直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化為直角坐標方程為x－2y－6＝0. (2)設點P(2cos θ，sin θ)，由點到直線的距離公式得點P到直線l的距離為 d＝ ＝ ＝ ＝. 所以≤d≤2，故點P到直線l的距離的最大值為2，最小值為. 10．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過定點P(3，5)，傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標準方程． (2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA||PB|的值． 解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得普通方程為(x－1)2＋(y－2)2＝16，即x2＋y2－2x－4y＝11＝0. 直線l經(jīng)過定點P(3，5)，傾斜角為，直線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))． (2)將直線的參數(shù)方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋3)t－3＝0，設方程的兩根分別為t1，t2，則t1t2＝－3， 因為直線l與曲線C相交于A，B兩點，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝3.