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2019-2020年高考數(shù)學滾動檢測05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測B卷理 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 【xx廣西柳州兩校聯(lián)考】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖（等腰直角三角形）和俯視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P﹣ABCD，如圖所示， 該幾何體的俯視圖為C．故選：C． 2. 等比數(shù)列的前項和為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：. 考點：等比數(shù)列. 3. 【xx江西新余一中四?！咳鐖D，已知，若點滿足， ，（ ），則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 若對于任意的,關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)，根據(jù)已知條件知：，該不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，所以，所以該方程表示以原點為圓心，半徑為的圓，原點到直線的距離為，所以該圓的半徑，解得，故選A. 考點：簡單的線性規(guī)劃求最值. 5. 設(shè)是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（ ） A．存在唯一直線，使得，且 B．存在唯一直線，使得，且 C．存在唯一平面，使得，且 D．存在唯一平面，使得，且 【答案】C 【解析】 考點：空間點線面位置關(guān)系. 6. 在三棱錐中，側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直，且，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的外接球的體積為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直知兩兩相互垂直，不妨設(shè)，，，則．三棱錐的外接球的直徑，所以，所以，故選A． 考點：1、三棱錐的外接球；2、三棱錐與球的體積． 7. 【xx遼寧沈陽四校聯(lián)考】正三角形邊長為2，將它沿高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體外接球表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 外接球的表面積為：4πr2=7π 故選：A． 點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 8. 平行四邊形中，, 點在邊上，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 考點：平面向量的數(shù)量積的運算. 【方法點睛】本題主要考查的是平面向量的數(shù)量積的運算，建模思想，二次函數(shù)求最值，數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題，先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求出，再建立坐標系，得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，問題得以解決，因此正確建立直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵. 9. 設(shè)成等比數(shù)列，其公比為3，則的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析： 考點：等比數(shù)列通項公式 10. 【xx江西新余一中四模】已知數(shù)列滿足，且（），則的整數(shù)部分是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】（）， ， 則的整數(shù)部分為 故選 點睛：本題考查數(shù)列的綜合運用，需根據(jù)條件利用裂項法構(gòu)造新的數(shù)列，運用裂項求和得出和的結(jié)果，然后推導(dǎo)出其整數(shù)部分，注意條件的運用及轉(zhuǎn)化 11. 如圖，在正四棱錐（底面為正方形，頂點在底面的射影為底面的中心）S﹣ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結(jié)論中恒成立的個數(shù)為（ ） （1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【解析】 考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 12. 如圖，在棱長為1的正方體的對角線上取一點，以為球心，為半徑作一個球，設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 試題分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.（1）當時，以為球心，為半徑作一個球，該球面與正方體表面的交線弧長為，且為函數(shù)的最大值；（2）當時，以為球心，為半徑作一個球，根據(jù)圖形的相似，該球面與正方體表面的交線弧長為（1）中的一半；（3）當時，以為球心，為半徑作一個球，其弧長為，且為函數(shù)的最大值，對照選項可得B正確. 考點：函數(shù)圖象. 【思路點晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.其中（1）（3）兩種情形所得弧長相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長為（1）中弧長的一半，對照選項，即可得出答案.本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧. 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_______． 【答案】 【解析】 試題分析：由，得，即，所以＝． 考點：1、平面向量的數(shù)量積運算；2、平面向量的夾角． 14. 已知數(shù)列的前項和為，，則數(shù)列的前項和 . 【答案】 【解析】 考點：等比數(shù)列求通項公式與求和. 【方法點晴】本題考查學生的是等比數(shù)列求通項公式與求和,屬于基礎(chǔ)題目.首先由和的等式,求出通項公式,基本方法有兩種,一種是用替換原式中的得到另一個等式,兩式作差消去,是一個關(guān)于與的遞推關(guān)系式,從而求出;第二種是把代入,消去,先求出再求.求出通項公式后判斷其為等比數(shù)列,用求和公式即可求解. 15. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球的表面積為__________． 【答案】 【解析】由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2， 三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑， ，球的表面積. 點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球. 16. 三棱錐內(nèi)接于球，，當三棱錐的三個側(cè)面積和最大時，球的體積為 ． 【答案】 【解析】 考點：幾何體的外接球． 【思路點晴】設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求．若長方體長寬高分別為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點．找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心．三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長分別為，則其外接球半徑公式為: ． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，，且，為的中點. E D C B A P （I）求證：平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（I）詳見解析（II） 【解析】 試題解析：解：（I）連接，交于點，連接，則是的中點. 又∵是的中點，∴是的中位線， ∴，又∵平面，平面， ∴平面. （II）∵，，，∴平面， 如圖，以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系， 則，，，， ∴，，， 設(shè)平面的一個法向量為，由，得， ，令，則，， ∴，又∵， ∴， ∴直線與平面所成角的正弦值為. z y x O E D C B A P 考點：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角 【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 18. 在中，角，，的對邊分別是，，，且向量與向量共線. （1）求； （2）若，，，且，求的長度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)條件中的向量共線得到，，滿足的一個式子，再進行三角恒等變形即可求解；考點：1.三角恒等變形；2.正余弦定理解三角形． 19. 【xx江西南昌摸底】已知數(shù)列的前項和，記. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）利用，同時驗證時也滿足，可得通項公式；（2）利用分組求和及等比數(shù)列前項和公式可求得結(jié)果. 試題解析：（1）∵，∴當時，∴；當時， ，又，∴ （2）由（1）知， ，∴ ． 點睛：解題中，在利用的同時一定要注意和兩種情況，否則容易出錯；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列等. 20. 已知數(shù)列的首項，且. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，一般方法為定義法，即確定相鄰兩項的比值為非零常數(shù)：利用代入化簡，再說明不為零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求，即得，代入，可得，因此其前項和應(yīng)用錯位相減法求。 試題解析： 解（Ⅰ）證明： ∴ 又，∴， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， 即. ∴. 于是，① ，② 由①-②得，， 即， ∴數(shù)列的前項和. 考點：等比數(shù)列定義及通項，錯位相減法求和 21. 如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，． （1）求證平面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值； （3）求直線與平面所成角的余弦值． 【答案】（1）詳見解析（2）（3） 【解析】 試題解析：（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形， ，， 又平面平面，且 平面平面， 平面． 以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸， 所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系． 根據(jù)題意我們可得以下點的坐標： ，，，，，， 則，． ，， 為平面的一個法向量． 又， 平面． （2）設(shè)平面的一個法向量為，則 ，， ， 取，得． 平面，平面一個法向量為， 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為， 則． 因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為． （3）根據(jù)（2）知平面一個法向量為， ， ， 設(shè)直線與平面所成角為，則． 因此，直線與平面所成角的余弦值為． 考點：1．線面平行的判定；2．二面角求解；3．直線與平面所成角 22. 【xx廣西兩市聯(lián)考】如圖，三棱柱中， 平面， 分別為和的中點， 是邊長為2 的正三角形， . （1）證明： 平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析；(2) . 試題解析：（1）證明:取的中點，連接， ∵分別為和的中點， ∴， ，∴， ， 則四邊形是平行四邊形，則. ∵平面， 平面，∴平面； （2）取中點，∵為等邊三角形， ∴. 又平面， ，∴平面， 建立以為坐標原點， 分別為軸的空間直角坐標系如圖: 則 ， ， 則設(shè)平面的法向量為， ， ， 則，即 令，則，即， 平面的法向量為， ， ， 則，得，即， 令，則，即， 則 ， 即二面角的余弦值是.