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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題5.4應(yīng)用向量方法解決簡單的平面幾何問題講 【考綱解讀】 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測 向量的應(yīng)用 會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. xx?浙江文17；理7； xx?浙江文22； xx?浙江10. 1.以考查向量的共線、數(shù)量積、夾角、模為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下； 2.與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合，以工具的形式進(jìn)行考查，力學(xué)方面應(yīng)用的考查較少. 3.備考重點(diǎn)： (1) 理解有關(guān)概念是基礎(chǔ)，掌握線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算的方法是關(guān)鍵； (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時(shí)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將共線、垂直等問題，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解題. 【知識(shí)清單】 1．平面向量在幾何中的應(yīng)用 1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． 2．共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 3. 向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示 若，則?. 4. 設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則： （1）ab＝a1b1＋a2b2. （2）a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 對點(diǎn)練習(xí)： 法向量為的直線，其斜率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】因?yàn)榉ㄏ蛄繛榈闹本€，可知與已知直線垂直的直線的斜率為，那么可知已知直線的斜率為，選A. 【考點(diǎn)深度剖析】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).平面向量的應(yīng)用問題，常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 平面向量在幾何中的應(yīng)用 【1-1】【xx浙江杭州二模】設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，且滿足.若的面積為8，則的面積為__________. 【答案】14 于是可得點(diǎn)在邊上， ，且，則 ，由， 所以 ，所以，又因?yàn)?，所以，則 【1-2】【xx江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45.若, 則 . A C B O (第12題) 【答案】3 【1-3】【xx浙江溫州中學(xué)11月】如圖，在等腰梯形中，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，如果對于常數(shù)，在等腰梯形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，根據(jù)對稱性可知，問題等價(jià)于在等腰梯形的每條邊上均有兩點(diǎn)（不含端點(diǎn)）滿足， 若在上：設(shè)，，其中，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，∴； 若在上：設(shè)， 【領(lǐng)悟技法】 共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)． (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合． 【觸類旁通】 【變式一】在中，若，則一定是（ ）. A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 【答案】C 【解析】由于，化簡得，因此.選C. 【變式二】在平面四邊形ABCD中，滿足＋＝0，(－)＝0，則四邊形ABCD是(　　)． A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?，所以＝－＝， 所以四邊形ABCD是平行四邊形，又(－)＝＝0，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形． 考點(diǎn)2 平面向量的綜合應(yīng)用 【2-1】【xx四川文】已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又 ，它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，，故選B. 【2-2】【xx湖南長沙長郡中】已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選C. 【2-3】【xx江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值. 【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值，為3； 時(shí)，取得最小值，為. 【領(lǐng)悟技法】 1.涉及三角問題求解方法：（1）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為由三角函數(shù)值求對應(yīng)的角的值；（2）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為形如： 三角函數(shù)最值，但一定要關(guān)注自變量的范圍.另外三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)一個(gè)很大的區(qū)別就是一般先要處理三角函數(shù)表達(dá)式，處理的結(jié)果之一就是轉(zhuǎn)化為形如：，這一點(diǎn)很重要. 2.涉及平面幾何問題，往往通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合曲線的定義及曲線與曲線的位置關(guān)系，應(yīng)用函數(shù)方程思想解題. 【觸類旁通】 【變式一】已知兩點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【答案】C 【解析】設(shè) 則,所以, 所以,即,變形為,又因?yàn)?故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線. 【變式二】在中，角，，的對邊分別是，，，且向量與向量共線. （1）求； （2）若，，，且，求的長度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)條件中的向量共線得到，，滿足的一個(gè)式子，再進(jìn)行三角恒等變形即可求解；（2）將已知條件中的式子變形，兩邊平方利用余弦定理求解. ∵，∴，∴ ，將和代入得：， ∴. 【變式三】【xx課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) ；(2)證明見解析. 【解析】 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，，．過點(diǎn)M作MM1⊥軸于M1，過N作NN1⊥軸于點(diǎn)N1，．記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）證明不存在直線，使得； （Ⅲ）過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明． 易錯(cuò)分析：本題解答有兩處易于出錯(cuò)，一是平向量的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，不能正確應(yīng)用平面向量的基本知識(shí)和基本方法；二是由于涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子變形而出錯(cuò)． 正確解析：（1）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M1的坐標(biāo)為 ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ∴N1的坐標(biāo)為 ， ∴ 由有 （2）證：點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線斜率存在，并設(shè)為．直線的方程為． 由方程組 得 依題意，得． 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為R，則 ， ∴ 又BR⊥ 但不可能成立，所以不存在直線使得． （3）證明：由題有S，． 則有方程組 由（1）得： 將（2）、（5）代入（3）有 整理并將（4）、（5）代入得 易知，解得 因，故，， ∴ ∴． 溫馨提醒：(1)注意熟練掌握平面向量的基本知識(shí)和基本方法，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．(2)在解答本題時(shí)，注意增強(qiáng)信心，細(xì)心進(jìn)行數(shù)學(xué)式子變形，并特別注意整理得得到的一元二次方程，根的判別式大于零. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化整為零，積零為整——分類討論思想 1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)問題所給對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”． 2.分類討論思想的常見類型 ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的； ⑵問題中的條件是分類給出的； ⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的； ⑷涉及幾何問題時(shí)，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的. 【典例】已知曲線上的任意點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1， （1）求曲線的方程； （2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值 （3）設(shè)點(diǎn)為軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，直線分別與直線及軸交于，以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長度是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論 【答案】（1）；（2）的最小值為2；（3）線段的長度為定值 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程； （2）設(shè)，將表示為（或）的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值； （3）設(shè)坐標(biāo)和直線的斜率，根據(jù)相切得出的關(guān)系，求出坐標(biāo)得出圓的圓心和半徑，利用切線的性質(zhì)得出的長． 試題解析：（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線， 所以曲線的方程為 （2）設(shè)，則 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值2 當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長度不變，為定值.