2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 大專題綜合測4 立體幾何 文(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 大專題綜合測4 立體幾何 文(含解析) 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(xx山東濰坊市質檢)已知三條不同的直線m,n,l和兩個不同的平面α,β,則下列命題正確的是( ) A.若m∥n,n?α,則m∥α B.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α C.若l⊥n,m⊥n,則l∥m D.若l⊥α,m⊥β,且l⊥m,則α⊥β [答案] D [解析] 若m∥n,n?α,則m∥α或m?α,故A不正確;若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n與α相交或n∥α或n?α,故B不正確;若l⊥n,m⊥n,則l與m相交、平行或異面,故C不正確;若l⊥α,m⊥β,且l⊥m,則由線面垂直的性質定理和面面垂直的判定定理知α⊥β,故D正確. 2.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的表面積為( ) A.6+ B.6+2 C.8+ D.8+2 [答案] D [解析] 由三視圖可知該幾何體為一橫放的直三棱柱,其中底面正對觀察者,為一直角三角形,兩直角邊長分別為1,2,棱柱的高為2,故其表面積S=(2+1+)2+21=8+2. 3.如圖是一個空間幾何體的三視圖,這個幾何體的體積是( ) A.2π B.4π C.6π D.8π [答案] D [解析] 由圖可知該幾何體是一個圓柱內挖去一個圓錐所得的幾何體,V=V圓柱-V圓錐=π223-π223=8π,故選D. 4.在正四面體(棱長都相等的四面體)A-BCD中,棱長為4,M是BC的中點,點P在線段AM上運動(P不與A、M重合),過點P作直線l⊥平面ABC,l與平面BCD交于點Q,給出下列命題: ①BC⊥平面AMD; ②Q點一定在直線DM上; ③VC-AMD=4. 其中正確的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [答案] A [解析] 由BC⊥AM,BC⊥MD,可得BC⊥平面AMD,即①正確;由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC,則若過P作直線l⊥平面ABC,l與平面BCD交于點Q,Q點一定在直線DM上,即②正確;由VC-AMD=VC-ABD=43=,即③不正確,綜上可得正確的命題序號為①②,故應選A. 5.(xx淄博市質檢)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D.πa3 [答案] A [解析] 由三視圖可知該幾何體為一個圓錐的,其中圓錐的底面圓的半徑為a,高為2a,所以該幾何體的體積V=(πa22a)=.故選A. 6.已知α、β、γ是三個不重合的平面,m、n是不重合的直線,下列判斷正確的是( ) A.若α⊥β,β⊥γ,則α∥γ B.若α⊥β,l∥β,則l∥α C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n [答案] D [解析] A錯,兩平面還可垂直;B錯,還可能有l(wèi)?α;C錯,兩直線m,n的位置關系不確定;D正確,垂直于同一平面的兩直線互相平行. 7.(xx臨沂八校質檢)若四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,且PD垂直于底面ABCD,N為PB的中點,則三棱錐P-ANC與四棱錐P-ABCD的體積之比為( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 本題考查空間幾何體的體積.四棱錐P-ABCD的體積易求,關鍵是把三棱錐P-ANC的體積用四棱錐P-ABCD的高和底面積表示出來. 設正方形ABCD的面積為S,PD=h,則所求體積之比為===. 8.如圖,正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形,下列命題中,錯誤的是( ) A.動點A′在平面ABC上的投影在線段AF上 B.恒有平面A′GF⊥平面BCED C.三棱錐A′-FED的體積有最大值 D.異面直線A′E與BD不可能垂直 [答案] D [解析] 由題意,DE⊥平面AGA′, ∴A、B、C正確,故選D. 9.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為AB的中點,則點C到平面A1DM的距離為( ) A.a B.a(chǎn) C.a D.a(chǎn) [答案] A [解析] 設點C到平面A1DM的距離為h,則由已知得DM=A1M==a,A1D=a,S△A1DM=a=a2,連接CM,S△CDM=a2,由VC-A1DM=VA1-CDM,得S△A1DMh=S△CDMa,即a2h=a2a,得h=a,所以點C到平面A1DM的距離為a,選A. 10.(xx河南六市聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如下圖所示,則這個幾何體的體積是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] D [解析] 由三視圖知該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD, 其中底面ABCD是直角梯形,側面ABP是Rt△, 且側面PAB⊥底面ABCD,故其體積為V=(2+4)22=4. 11.(xx濰坊市質檢)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,底面△ABC是邊長為1的正三角形,棱SC是球O的直徑且SC=2,則此三棱錐的體積為( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] 過點B作BD⊥SC于點D,連接AD,因為△SBC≌△SAC,所以AD⊥SC,又BD∩AD=D,所以SC⊥平面ABD,因為SB⊥BC,SC=2,BC=1,所以BD=AD=sin60=,又AB=1,所以S△ABD=1=,所以V三棱錐S-ABC=S△ABDSC=2=. 12.如圖所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1, E、F分別是棱AA′、CC′的中點,過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題: ①平面MENF⊥平面BDD′B′; ②當且僅當x=時,四邊形MENF的面積最小; ③四邊形MENF周長L=f(x),x∈[0,1]是單調函數(shù); ④四棱錐C′-MENF的體積V=h(x)為常函數(shù); 以上命題中假命題的序號為( ) A.①④ B.② C.③ D.③④ [答案] C [解析] AC⊥平面BDD′B′,EF∥AC,∴EF⊥平面BDD′B′,∴①正確;∵EF為所在棱的中點,由對稱性及條件知四邊形EMFN為菱形,其面積隨著對角線MN的增大而增大,當x=時,M為BB′的中點,此時MN取最小值,∴②正確,③錯誤;V四棱錐C′-MENF=2VC′-MEF=2VE-MFC′為常數(shù), ∴V=h(x)為常函數(shù). 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上) 13.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是上底面A1B1C1D1內一動點,則三棱錐P-ABC的正(主)視圖與側(左)視圖的面積的比值為________. [答案] 1 [解析] 依題意得三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖均為三角形,且這兩個三角形的底邊長都等于正方體的棱長,底邊上的高也都相等,因此三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖的面積之比等于1. 14.一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3. [答案] 30 [解析] 本題考查三視圖及柱體體積公式. 由三視圖知該幾何體由一個棱長為3,4,2的長方體和一個底面是直角梯形高為4的直棱柱組成,則體積V=342+14=30. 15.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,點E、F分別是棱PC、PD的中點,則 ①棱AB與PD所在直線垂直; ②平面PBC與平面ABCD垂直; ③△PCD的面積大于△PAB的面積; ④直線AE與平面BF是異面直線. 以上結論正確的是________.(寫出所有正確結論的編號) [答案]?、佗? [解析] 由條件可得AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,故①正確; 若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,得PB⊥平面ABCD,從而PA∥PB,這是不可能的,故②錯; S△PCD=CDPD,S△PAB=ABPA,由AB=CD,PD>PA知③正確; 由E、F分別是棱PC、PD的中點,可得EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB,故AE與BF共面,④錯,故填①③. 16.(xx邯鄲一模)已知直角梯形ABCD,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2沿AC折成三棱錐,當三棱錐體積最大時,求此時三棱錐外接球的體積________. [答案] π [解析] 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,∴AB=2,AD=1,CD=1,∴AC=,BC=,∴BC⊥AC,取AC的中點E,AB中點O,當三棱錐體積最大時,平面DCA⊥平面ACB,∴OA=OB=OC=OD,∴OB=1,∴V=πR3=π. 三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分10分)在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,DC∥AB,DC=1,AB=4,BC=2,∠CBA=30. (1)求證:AC⊥PB; (2)當PD=2時,求此四棱錐的體積. [解析] (1)∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥AC, 又∠CBA=30,BC=2,AB=4, ∴AC= ==2, ∴AC2+BC2=4+12=16=AB2, ∴∠ACB=90,故AC⊥BC. 又∵PC、BC是平面PBC內的兩條相交直線, 故AC⊥平面PBC,∴AC⊥PB. (2)當PD=2時,作CE⊥AB交AB于E, 在Rt△CEB中,CE=CBsin30=2=, 又在Rt△PCD中,DC=1,∴PC=, ∴VP-ABCD=PCSABCD=(1+4) =. 18.(本題滿分12分)(xx山西太原檢測)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分別是CE和CF的中點. (1)求證:AC⊥平面BDEF; (2)求證:平面BDGH//平面AEF; (3)求多面體ABCDEF的體積. [解析] (1)證明:因為四邊形ABCD是正方形, 所以AC⊥BD. 又因為平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD, 且AC?平面ABCD, 所以AC⊥平面BDEF. (2)證明:在△CEF中,因為G、H分別是CE、CF的中點, 所以GH∥EF, 又因為GH?平面AEF,EF?平面AEF, 所以GH∥平面AEF. 設AC∩BD=O,連接OH, 在△ACF中,因為OA=OC,CH=HF, 所以OH∥AF, 又因為OH?平面AEF,AF?平面AEF, 所以OH∥平面AEF. 又因為OH∩GH=H,OH,GH?平面BDGH, 所以平面BDGH∥平面AEF. (3)解:由(1),得AC⊥平面BDEF, 又因為AO=,四邊形BDEF的面積SBDEF=32=6, 所以四棱錐A-BDEF的體積V1=AOSBDEF=4. 同理,四棱錐C-BDEF的體積V2=4. 所以多面體ABCDEF的體積V=V1+V2=8. 19.(本題滿分12分)(xx洛陽市期末) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線AC與BD的交點,M是PD的中點,且AB=2,∠BAD=60. (1)求證:OM∥平面PAB; (2)求證:平面PBD⊥平面PAC; (3)當三棱錐M-BCD的體積等于時,求PB的長. [解析] (1)∵在△PBD中,O、M分別是BD、PD的中點, ∴OM是△PBD的中位線,∴OM∥PB, OM?平面PAB,PB?平面PAB, ∴OM∥平面PAB. (2)∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD. ∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC, AC?平面PAC,PA?平面PAC,AC∩PA=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC, (3)因為底面ABCD是菱形,M是PD的中點, 所以VM-BCD=VM-ABCD=VP-ABCD,從而VP-ABCD=. 又AB=2,∠BAD=60,所以S菱形ABCD=2. ∵四棱錐P-ABCD的高為PA,∴2PA=,得PA=, ∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB. 在Rt△PAB中,PB===. 20.(本題滿分12分)(xx威海兩校質檢)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側棱PC上的動點. (1)求四棱錐P-ABCD的體積; (2)如果E是PA的中點,求證PC∥平面BDE; (3)是否不論點E在側棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結論. [解析] (1)∵PA⊥平面ABCD, ∴VP-ABCD=S正方形ABCDPA=122=. 即四棱錐P-ABCD的體積為. (2)連接AC交BD于O,連接OE. ∵四邊形ABCD是正方形,∴O是AC的中點. 又∵E是PA的中點,∴PC∥OE. ∵PC?平面BDE,OE?平面BDE,∴PC∥平面BDE. (3)不論點E在何位置,都有BD⊥CE. 證明如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PA. 又∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC. ∵不論點E在何位置,都有CE?平面PAC. ∴不論點E在何位置,都有BD⊥CE. 21.(本題滿分12分)(xx海淀區(qū)期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,又AD∥BC,AD⊥DC,且BC=PD=3AD=3. (1)畫出四棱錐P-ABCD的正視圖; (2)求證:平面PAD⊥平面PCD; (3)求證:棱PB上存在一點E,使得AE∥平面PCD,并求的值. [解析] (1)四棱錐P-ABCD的正視圖如圖所示. (2)證明:因為PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PD⊥AD. 因為AD⊥DC,PD∩CD=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD, 所以AD⊥平面PCD. 因為AD?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD. (3)證明:當=時,AE∥平面PCD. 理由如下:分別延長CD,BA交于點O,連接PO. 因為AD∥BC,BC=3AD,所以==,即=. 所以=,所以AE∥OP. 因為OP?平面PCD,AE?平面PCD,所以AE∥平面PCD. 22.(本題滿分12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點. (1)求證:B1C∥平面A1BD; (2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1; (3)在CC1上是否存在一點E,使得∠BA1E=45,若存在,試確定E的位置,并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直?若不存在,請說明理由. [分析] (1)連接AB1,交A1B于M,則MD就是平面A1BD內與B1C平行的直線;(2)需在平面ABB1A1中找兩條相交直線都與B1C1垂直,由直三棱柱的概念,知BB1⊥B1C1,另一條的尋找,從AC1⊥平面A1BD,以平行四邊形ABB1A1為正方形入手,證明A1B⊥平面AB1C1從而得出A1B⊥B1C1.(3)用余弦定理解△A1BE. [解析] (1)連接AB1與A1B相交于M,則M為AB1的中點.連接MD,又D為AC的中點, ∴B1C∥MD, 又B1C?平面A1BD,MD?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD. (2)∵AB=B1B,∴平行四邊形ABB1A1為正方形, ∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1. (3)設AB=a,CE=x,∵B1C1⊥A1B1,在Rt△A1B1C1中有A1C1=a,同理A1B=a,∴C1E=a-x, ∴A1E==, BE=, ∴在△A1BE中,由余弦定理得 BE2=A1B2+A1E2-2A1BA1Ecos45,即 a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-2a, ∴=2a-x, ∴x=a,即E是C1C的中點, ∵D、E分別為AC、C1C的中點,∴DE∥AC1. ∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD. 又DE?平面BDE,∴平面A1BD⊥平面BDE. [方法點撥] 空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉化,每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉向另一種垂直,最終達到目的,其轉化關系為線線垂直線面垂直面面垂直.- 配套講稿:
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