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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分講重點小題專練作業(yè)13理 一、選擇題 1．(xx廣東清遠(yuǎn)三中月考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　) A．1或3　　　　　　　　 B．1或5 C．3或5 D．1或2 答案　C 解析　當(dāng)k＝4時，顯然不合題意；當(dāng)k≠4時，可得＝，解得k＝3或k＝5.經(jīng)檢驗，都符合題意，故選C. 2．(xx海淀區(qū)練習(xí))圓x2＋y2－2y＝0與曲線y＝|x|－1的公共點個數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 答案　D 解析　本題考查直線與圓的位置關(guān)系．曲線方程可化為y＝圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1，則圓心(0，1)到直線y＝x－1(x≥0)的距離為＝>1，圓心(0，1)到直線y＝－x－1(x<0)的距離為＝>1，所以曲線y＝|x|－1與圓相離，無交點，故選D. 3．(xx衡水調(diào)研)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為(2，0)，且該焦點到漸近線的距離為1，則雙曲線C的方程為(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　D 解析　由一個焦點為(2，0)，得c＝2，又－＝1的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0，焦點(c，0)到漸近線的距離d＝＝b，∴b＝1，a2＝c2－b2＝3，∴雙曲線的方程為－y2＝1，故選D. 4．(xx課標(biāo)全國Ⅱ，文)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1，2) 答案　C 解析　依題意得，雙曲線的離心率e＝，因為a>1，所以e∈(1，)，選C. 5．(xx唐山模擬)已知雙曲線x2－y2＝1的左、右兩個焦點分別是F1、F2，O為坐標(biāo)原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：x－y＋t＝0與圓O有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[0，2] C．[－4，4] D．[0，4] 答案　C 解析　雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點分別是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，從而圓O的方程為x2＋y2＝2.因為直線x－y＋t＝0與圓O有公共點，所以有≤，即|t|≤4，從而實數(shù)t的取值范圍是[－4，4]，故選C. 6．(xx鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知P為雙曲線－x2＝1上任意一點，過點P向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為A，B，則|PA||PB|的值為(　　) A．4 B．5 C. D．與點P的位置有關(guān) 答案　C 解析　如圖，設(shè)P(m，n)，由題意得－m2＝1，即n2－4m2＝4，由得B(＋，＋)，同理， 由得A(－，－＋)，則＝(－＋，－)，＝(－－，－－)，設(shè)，的夾角為θ，由圖可知其恰為兩條漸近線的夾角的補(bǔ)角，在y＝2x與y＝－2x上分別取兩點(1，2)，(1，－2)，則cosθ＝＝－，所以|PA||PB|＝＝＝＝. 7．(xx烏魯木齊診斷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，若△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為(－1)a，則其離心率為(　　) A. B．2 C.＋1 D．2 答案　A 解析　本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)．由雙曲線的定義知，|AF1|－|AF2|＝2a，所以Rt△AF1F2內(nèi)切圓半徑為＝＝c－a＝(－1)a，即c＝a，所以e＝＝，故選A. 8．(xx福州五校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點與拋物線y2＝8x的焦點重合，且其離心率e＝，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　易知拋物線y2＝8x的焦點為(2，0)，所以雙曲線的右頂點是(2，0)，所以a＝2.又雙曲線的離心率e＝， 所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以雙曲線的方程為－＝1，選A. 9．(xx南昌一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則cos∠AOB＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　方法1：因為圓x2＋y2＝4的圓心為O(0，0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝＝，所以弦長|AB|＝2＝2.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 方法2：取AB的中點D，連接OD，則OD⊥AB，且∠AOB＝2∠AOD，又圓心到直線的距離d＝＝，即|OD|＝，所以cos∠AOD＝＝，故cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝2()2－1＝－. 10．(xx蘭州實戰(zhàn)模擬)若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則當(dāng)ab取得最大值時，坐標(biāo)原點到直線l的距離是(　　) A．4 B．8 C．2 D. 答案　D 解析　∵圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圓心C(－4，－1)，直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C分成面積相等的兩部分，∴直線l過圓C的圓心．∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1.又1＝4a＋b≥2＝4?ab≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取“＝”)，∴當(dāng)ab取得最大值時，直線l的方程為x＋y＋1＝0，此時坐標(biāo)原點到直線l的距離是＝，故選D. 11．(xx杭州質(zhì)檢)設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)點A在x軸上方，點B在x軸下方．若＝m，則cosα的值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.＝m，當(dāng)m＝1時，|AF|＝|BF|，α＝，cosα＝0，排除B和D；當(dāng)α≠時，如圖，分別過點A，B作AM，BN與準(zhǔn)線l′：x＝－垂直，垂足分別是M，N，過點B作BC⊥AM于點C，設(shè)|BF|＝n，則|AF|＝mn，在直角三角形ABC中，|AC|＝mn－n，cosα＝＝＝，故選A. 12．(xx長沙二模)給出關(guān)于雙曲線的三個命題： ①雙曲線－＝1的漸近線方程是y＝x； ②若點(2，3)在焦距為4的雙曲線－＝1上，則此雙曲線的離心率e＝2； ③若點F，B分別是雙曲線－＝1的一個焦點和虛軸的一個端點，則線段FB的中點一定不在此雙曲線的漸近線上． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)．對于①，雙曲線－＝1的漸近線方程是y＝x，①錯誤；對于②，2c＝4，c＝2，且－＝1，a2＋b2＝4，解得a＝1，則該雙曲線的離心率e＝＝2，②正確，對于③，F(xiàn)(c，0)，B(0，b)，F(xiàn)B的中點坐標(biāo)(，)均不滿足其漸近線方程y＝x，③正確，所以正確命題的個數(shù)是2，故選C. 13．(xx山西協(xié)作體)已知A1，A2分別為雙曲線－＝1的左、右頂點，P為雙曲線上第一象限內(nèi)的點，直線l：x＝1與x軸交于點C，若直線PA1，PA2分別交直線l于B1，B2兩點，且△A1B1C與△A2B2C的面積相等，則直線PA1的斜率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知，顯然直線PA1的斜率存在，故可設(shè)直線PA1的方程為y＝k(x＋2)，由已知k>0，則由得(9－4k2)y2－36ky＝0，易知9－4k2≠0，因而P(，)，所以kPA2＝，則直線PA2的方程為y＝(x－2)，直線PA1，PA2與直線l分別交于B1(1，3k)，B2(1，－)，因而33k＝1，得k＝，故選B. 14．(xx太原二模)已知雙曲線－y2＝1的右焦點是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，直線y＝kx＋m與該拋物線相交于A，B兩個不同的點，點M(2，2)是AB的中點，則△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積是(　　) A．4 B．3 C. D．2 答案　D 解析　如圖，記拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，因為雙曲線－y2＝1的右焦點的坐標(biāo)為(2，0)，所以F(2，0)，所以拋物線的方程為y2＝8x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，則y12＝8x1，y22＝8x2，所以y22－y12＝8(x2－x1)，所以k＝＝，因為M(2，2)為AB的中點，所以y1＋y2＝4，k＝2，所以直線AB的方程為y＝2x＋m，因為直線過點M(2，2)，所以m＝－2，所以直線AB的方程為y＝2x－2，其與x軸的交點為C(1，0)．由得y2－4y－8＝0，所以所以|y1－y2|＝＝4，所以△AOB的面積為1|y1－y2|＝2，故選D. 二、填空題 15．(xx東北四市一模)已知拋物線ny2＝x(n>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－8x－4y－5＝0相切，則n的值為________． 答案　 解析　本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系．由題意得y2＝，其準(zhǔn)線方程為x＝－.圓的方程化為(x－4)2＋(y－2)2＝25，則有|4＋|＝5，結(jié)合n>0，解得n＝. 16．(xx成都診斷)如圖，拋物線y2＝4x的一條弦AB經(jīng)過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使|OA|＝|AC|，過點C，D作y軸的垂線，垂足分別為點E，G，則|EG|的最小值為________． 答案　4 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則|EG|＝y(tǒng)4－y3＝y(tǒng)2－2y1.因為AB為拋物線y2＝4x的焦點弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝y(tǒng)2－2(－)＝y(tǒng)2＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝，即y2＝4時取等號，所以|EG|的最小值為4. 17．(xx課標(biāo)全國Ⅱ，理)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________． 答案　6 解析　方法1：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2，0)，準(zhǔn)線x＝－2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0，4)，|FN|＝＝6. 方法2：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2，0)，準(zhǔn)線x＝－2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，則點M的橫坐標(biāo)為1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6. 18．(xx南昌一模)已知x2＋y2＝4，在這兩個實數(shù)x，y之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為________． 答案　 解析　設(shè)在這兩個實數(shù)x，y之間插入三個實數(shù)后，這五個數(shù)為x，a1，a2，a3，y，因為這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，所以這個等差數(shù)列后三項和為a2＋a3＋y＝＋＋y＝(x＋3y)． 方法1：由x2＋y2＝4，可設(shè)x＝2cosθ，y＝2sinθ，則 x＋3y＝2(cosθ＋3sinθ)≤2＝2， 所以a2＋a3＋y＝(x＋3y)≤2＝. 方法2：令z＝x＋3y，則當(dāng)直線z＝x＋3y，即x＋3y－z＝0與圓相切時，z取得最大值與最小值．又x2＋y2＝4表示圓心為(0，0)，半徑為2的圓，由圓心到直線的距離等于半徑，得＝2，得z＝2，所以z的最大值為2，所以(a2＋a3＋y)max＝2＝. 19．(xx長沙二模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，傾斜角為的直線l過F2且與雙曲線交于M，N兩點，且△F1MN是等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為________． 答案　y＝x 解析　由題意知，F(xiàn)2(c，0)，c＝，設(shè)M(c，yM)，由－＝1得yM2＝b2(－1)＝，|yM|＝.因為△F1MN是等邊三角形，所以2c＝|yM|，即＝＝，即c2－a2－ac＝0，得＝，c2＝3a2，又a2＋b2＝c2，所以b2＝2a2，雙曲線的漸近線方程為y＝x，故雙曲線的漸近線方程為y＝x. 20．(xx福州五校聯(lián)考)已知直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)相切于第一象限的點P(x0，y0)，且直線l與x、y軸分別交于點A、B，當(dāng)△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積最小時，∠F1PF2＝60(F1、F2是橢圓的兩個焦點)，若此時在△PF1F2中，∠F1PF2的平分線的長度為a，則實數(shù)m的值是________． 答案　 解析　由題意， 在P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1，∵直線l與x、y軸分別交于點A、B，∴A(，0)、B(0，)，∴S△AOB＝.∵＋＝1≥，∴≥，∴S△AOB≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時，△AOB的面積最?。O(shè)|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，由余弦定理可得4c2＝x2＋y2－xy，∴xy＝b2，∴S△PF1F2＝xysin60＝b2，∴2cx0＝b2，∴x0＝＝b，∴c＝b，∴a＝b.∵在△PF1F2中，∠F1PF2的平分線的長度為a，∴(x＋y)＝b2，∴2a＝b2，∴m＝.