《2019-2020年高二數(shù)學(xué)數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案 人教版.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高二數(shù)學(xué)數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案 人教版.doc（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高二數(shù)學(xué)數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案 人教版 教學(xué)目標(biāo) 1．牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程． 2．通過事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的思想方法． 3．培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，和分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：鞏固對數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路． 難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇及解題技巧． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）復(fù)習(xí)回顧 師：上次課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請同學(xué)們聯(lián)想“多米諾骨牌”游戲，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？ 生：數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確． 師：演示小黑板或運(yùn)用投影儀講評(píng)作業(yè)． （講評(píng)作業(yè)的目的是從錯(cuò)誤中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵） 作業(yè)中用數(shù)學(xué)歸納法證明： 2+4+6+8+…+2n=n（n+1）． 如采用下面的證法，對嗎？ 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，則等式成立． （2）假設(shè)n=k時(shí)（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當(dāng)n=k+1時(shí)， 2+4+6+…+2k+（k+1） 所以n=k+1時(shí)，等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確． 生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，沒有應(yīng)用歸納假設(shè)． 師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實(shí)質(zhì)在要證明n=k+1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點(diǎn)遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法．因此告誡我們在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不能機(jī)械套用兩個(gè)步驟，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)． （課堂上講評(píng)作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新） （二）講授新課 師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用． （板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗(yàn)證n=2時(shí)的情況． （板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立． （在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊） （2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，請同學(xué)考慮． 生：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)．應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因?yàn)閤＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）． 師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立． 故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？ 生甲：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法． （提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用） 生乙：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx2-1-kx-x =kx2＞0（因x≠0，則x2＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生丙：也可采用綜合法的放縮技巧． （1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2． 因?yàn)閗x2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立． 生丁：…… （學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié)） 師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生丙用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫． （板書）將例1的格式完整規(guī)范． 當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0，于是 左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2； 右邊=1+（k+1）x． 因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立． 根據(jù)（1）和（2），原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立． （通過例1的講解，明確在第二步證明過程中，雖然可以采取證明不等式的有關(guān)方法，但為了書寫更流暢，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)，通常經(jīng)歸納假設(shè)后，要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的） 師：下面再舉例子，來說明合理放縮的重要性． （板書）例2證明：2n+2＞n2，n∈N+． 師：（1）當(dāng) n=1時(shí)，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊＞右邊．所以原不等式成立． （2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥1且k∈N）時(shí)，不等式成立，即2k+2＞k2． 現(xiàn)在，請同學(xué)們考慮n=k+1時(shí)，如何論證2k+1+2＞（k+1）2成立． 生：利用歸納假設(shè)2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2． 師：將不等式2k2-2＞（k+1）2，右邊展開后得：k2+2k+1，由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3． 由此不難看出，只需證明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立． 生：因?yàn)閗2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的條件是k≥3，所以當(dāng)k∈N時(shí)，k-3≥0未必成立． 師：不成立的條件是什么？ 生：當(dāng)k=1，2時(shí)，不等式k-3≥0不成立． 師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗(yàn)證原命題成立，因此在證明第一步中，應(yīng)補(bǔ)充驗(yàn)證n=2時(shí)原命題成立，那么，n=3時(shí)是否也需要論證？ 生：n=3需要驗(yàn)證，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法中的第一步驗(yàn)證是第二步歸納假設(shè)的基礎(chǔ)，而第二步中對于k是大于或等于3才成立，故在驗(yàn)證時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證n=3時(shí)，命題成立． 師：（補(bǔ)充板書） 當(dāng)n=2時(shí)，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右； 當(dāng)n=3時(shí)，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右． 因此當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立． （以下請學(xué)生板書） （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3且k∈N）時(shí)，不等式成立．即2k+2＞k2．因?yàn)?k+1+2=22k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，則k-3≥0，k+1＞0） ≥k2+2k+1=（k+1）2． 所以2k+1+2＞（k+1）2．故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立． 根據(jù)（1）和（2），原不等式對于任何n∈N都成立． 師：通過例2可知，在證明n=k+1時(shí)命題成立過程中，針對目標(biāo)k2+2k+1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍（k≥1）太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟（把驗(yàn)證n=1．?dāng)U大到驗(yàn)證n=1，2，3）的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)． （板書）例3求證：當(dāng)n≥2時(shí)， （由學(xué)生自行完成第一步的驗(yàn)證；第二步中的假設(shè)，教師應(yīng)重點(diǎn)講解n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化過程） 師：當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式的左邊表達(dá)式是怎樣的？ 生：當(dāng)n=k+1時(shí)， k項(xiàng)，應(yīng)是第2k項(xiàng)，數(shù)列各項(xiàng)分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項(xiàng)是以3k 在3k后面還有3k+1、3k+2．最后才為3k+3即3（k+1），所以正確 （在這里，學(xué)生極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的思維定勢認(rèn)為從n=k到n=k+1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，教師在這里要著重分析，化解難點(diǎn)．） 運(yùn)算，應(yīng)針對問題的特點(diǎn)，巧妙合理地利用“放縮技巧”，使問題獲得簡捷的證明： （板書略） 師：設(shè)S（n）表示原式左邊，f（n）表示原式右邊，則由上面的證法可知，從n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化途徑是： 要注意：這里 S′（k）不一定是一項(xiàng)，應(yīng)根據(jù)題目情況確定． （三）課堂小結(jié) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法也不是萬能的，也有不能解決的問題． 錯(cuò)誤解法： （2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 當(dāng)n=k+1時(shí)， 則n=k+1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2），原不等式對n∈N+都成立． （四）課后作業(yè) 1．課本P121：5，P122：6． 2．證明不等式： （提示： （1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立． （2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 那么， 這就是說，n=k+1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對n∈N+都成立．） 3．對于任意大于1的自然數(shù)n，求證： （提示： （2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 這就是說，n=k+1時(shí)，原不等式成立． 根據(jù)（1），（2）可知，對任意大于1的自然數(shù)n，原不等式都成立．） 用數(shù)學(xué)歸納法證明①式： （1）當(dāng)n=3時(shí)，①式成立． （2）假設(shè) n=k（k≥3，k∈N）時(shí)，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k2＞2（2k+1） =2（k+1）+1+（2k-1） ＞2（k+1）+1（因k≥3，則2k-1≥5＞0）． 這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，①式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知，對一切n∈N，n≥3①式都成立，即f 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．?dāng)?shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù)，把歸納法與演繹法結(jié)合起來的一種完全歸納法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想．在教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生明確這兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．為了取得良好的教學(xué)效果，不妨利用“多米諾骨牌”游戲來加深這兩步驟之間的關(guān)系的理解，在演示時(shí)，應(yīng)分三種情況：（1）推倒第一張，接著依次倒下直至最后一張；（2）推倒第一張，中途某處停止，最后一張不倒；（3）第一張不倒，后面不管能否推倒，都不會(huì)全部倒下．通過具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個(gè)不等式間的差異，以決定n=k時(shí)不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明． 3．要注意：在證明的第二步中，必須利用“n=k時(shí)命題成立”這一歸納假設(shè)，并且由f（k）到 f（k+1），并不總是僅增加一項(xiàng)，如例2， 4．要教會(huì)學(xué)生思維，離開研究解答問題的思維過程幾乎是不可能的，因此在日常教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中，必須把教學(xué)集中在問題解答者解答問題的整個(gè)過程上，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)作問題解答過程的框圖，因?yàn)橛梦淖?、符?hào)或圖表簡明地表達(dá)解答過程或結(jié)果的能力，敘述表達(dá)自己解題思路的能力，這也是問題解答所必需的．