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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題 新題演練 集合 一、選擇題。 1．設(shè)集合，若Z是的子集，把Z中的所有數(shù)的和稱為Z的“容量”（規(guī)定空集的容量為0）．若Z的容量為奇（偶）數(shù)，則稱Z為的奇（偶）子集． 命題①：的奇子集與偶子集個數(shù)相等； 命題②：當時，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等 則下列說法正確的是（ ） A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立 C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立 【答案】A 【解析】設(shè)為的奇子集，令，則是偶子集，是奇子集的集到偶子集的一一對應(yīng)，而且每個偶子集，均恰有一個奇子集，與之對應(yīng)，故的奇子集與偶子集個數(shù)相等，所以①正確；對任一，含的子集共有個，用上面的對應(yīng)方法可知，在時，這個子集中有一半是奇子集，在時，由于，將上邊的1換成3，同樣可得其中有一半是奇子集，于是在計算奇子集容量之和是，根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，所以當時，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，即命題②正確，故應(yīng)選. 2．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集． 上面命題中真命題共有哪些？（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【解析】①成立，因為集合里的元素，不管是相加，還是相減，還是相乘，都是復(fù)數(shù)，并且實部，虛部都是整數(shù)；②當時，所以成立；③不成立，舉例：就是封閉集，但是有限集，④舉例，集合就不是封閉集．所以不成立． 3．已知映射，其中法則．若，則集合可以為（ ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解析】解解得答案D 4．對于任意兩個正整數(shù),定義某種運算“※”如下:當都為正偶數(shù)或正奇數(shù) 時,※=;當中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,※=.則在此定義下,集合※中的元素個數(shù)是（ ） A.個 B.個 C.個 D.個 【答案】B. 【解析】因為，，，，，，，， ，集合中的元素是有序數(shù)對，所以集合中的元素共有個，故選B. 5．設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”。那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是 （ ） A.4 B.8 C.9 D.16 【答案】C. 【解析】當時，或或或，共3個“理想配集”； 當時，或，共2個“理想配集”； 當時，或，共2個“理想配集”； 當時，，共1個“理想配集” 所以符合條件的“理想配集”的個數(shù)為9. 6．用表示非空集合中元素的個數(shù)，定義，若，，且，設(shè)實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等價于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②， 又由A={1，2}，且A*B=1， ∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合， 當集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實根0，②無實數(shù)根， ∴a=0； 當集合B是三元素集合時，則方程①有兩不相等實根，②有兩個相等且異于①的實數(shù)根，則 解得a=2，綜上所述a=0或a=2 ∴C（S）=3．故答案為 D． 7．在映射中，，且，則 中的元素在集合中的象為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，對應(yīng)關(guān)系為，故 中的元素在集合中的象為 二、填空題。 8．設(shè)集合，與是的兩個子集，若，則稱為集合的一個分拆，當且僅當=時，與是同一個分拆。那么集合的不同的分拆個數(shù)有__________個。 【答案】9 【解析】由于集合S={1，2}的子集為：?，{1}，{2}，{1，2}， 而由題意知，若A∪B=S，則稱（A，B）為集合S的一個分拆， 故①當A=?時，B=S；②當A={1}時，B={2}或{1，2}；③當A={2}時，B={1}或{1，2}；④當A={1，2}時，B={1}或{2}或{1，2}． 故集合S的不同的分拆個數(shù)有9個 9．已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合： ①； ②； ③； ④. 其中是“垂直對點集”的序號是 . 【答案】②④ 【解析】對應(yīng)①是以軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是，所以在同一支上，任意，不存在，滿足定義，在另一支上對任意，不存在，使得成立，所以不滿足“垂直對點集”的定義，所以不是“垂直對點集”；對應(yīng)②，對應(yīng)任意，存在，使得成立，例如，，滿足“垂直對點集”的定義，所以②是“垂直對點集”；對應(yīng)③，取點，曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是“垂直對點集”；對應(yīng)④，如下圖紅線是直角始終存在，對應(yīng)任意，存在，使得成立，例如，取點，則，滿足“垂直對點集”的定義，所以是“垂直對點集”；故答案②④. 10．將含有個正整數(shù)的集合分成元素個數(shù)相等且兩兩沒有公共元素的三個集合，其中，，，若中的元素滿足條件：，，1,2， ，，則稱為“完并集合”． （1）若為“完并集合”，則的一個可能值為____．（寫出一個即可） （2）對于“完并集合”，在所有符合條件的集合中， 其元素乘積最小的集合是____． 【答案】（1）7、9、11中任一個；（2） 【解析】（1）若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 故的一個可能值為7、9、11中任一個 若，，則 若，，則， 若，，則， 這兩組比較得元素乘積最小的集合是，故答案為． 11．若任意則就稱是“和諧”集合.則在集合 的所有非空子集中,“和諧”集合的概率是 ． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，M中共8個元素，則M的非空子集有28-1=255個， 進而可得：“和諧”集合中的元素兩兩成對，互為倒數(shù)，觀察集合M，互為倒數(shù)的數(shù)有兩對，即2與，3與；包括兩個倒數(shù)是自身的數(shù)1與-1，可將這些數(shù)看作是四個元素，由于包括四個元素的集合的非空子集是24-1=15，則M的子集中，“和諧”集合的個數(shù)為15；故“和諧”集合的概率是，故答案為． 12．對于集合（，定義集合，記集合中的元素個數(shù)為．若是公差大于零的等差數(shù)列，則=____________． 【答案】 【解析】由題意，集合中最小項為，最大項為，對任意的，如果，則可取，若，可取，顯然由于，有，即，所以. 13．已知集合,其中表示和中所有不同值的個數(shù). （Ⅰ）若集合,則； （Ⅱ）當時，的最小值為____________. 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）213. 【解析】（Ⅰ）因為2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，故有6個不同值.所以；（Ⅱ）當時，將集合中元素按從小到大順序重新排列，得，且.依題意，和可以組成、、…、、、…、、、…、……、共5778個.且易知<<<…<；<<…<；…….當只要，就有時，和中所有不同值的個數(shù)最少，因為為這些值中的最小值，為這些值中的最大值.所以.故的最小值為213. 14．在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為 ． 【答案】3 【解析】因為，所以，①正確；因為，所以，②不正確；顯然③正確；若整數(shù)屬于同一“類”，則，反之，，則，即整數(shù)屬于同一“類”，所以④正確，故正確的結(jié)論有3個. 三、解答題。 15．（本小題滿分13分）若為集合且的子集，且滿足兩個條件： ①； ②對任意的，至少存在一個，使或. 則稱集合組具有性質(zhì). 如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. … … … … … … … （Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)，如果是請畫出所對應(yīng)的表格，如果不是請說明理由； 集合組1：； 集合組2：. （Ⅱ）當時，若集合組具有性質(zhì)，請先畫出所對應(yīng)的行3列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合； （Ⅲ）當時，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數(shù)） 【答案】（Ⅰ）集合組1具有性質(zhì)；集合組2不具有性質(zhì). （Ⅱ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . （Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）經(jīng)驗證集合組1具有性質(zhì)；集合組2不具有性質(zhì)，因為存在，有，與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾；（Ⅱ）先求出對應(yīng)的行3列的一個數(shù)表，由此可得；（Ⅲ）設(shè)所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表， 由題意可得對任意，都存在有，所以，即第行不全為0，所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. 由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同.所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 因為由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以，所以.又時，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的數(shù)組，共個，選擇其中的個數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì).所以. 因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù)，所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少，而時，在數(shù)表中，的個數(shù)為的行最多行；的個數(shù)為的行最多行；的個數(shù)為的行最多行；的個數(shù)為的行最多行； 因為上述共有行，所以還有行各有個，所以此時表格中最少有個. 所以的最小值為. 解：（Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì). 所對應(yīng)的數(shù)表為： 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 集合組2不具有性質(zhì). 因為存在， 有， 與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì). （Ⅱ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應(yīng)的集合組也不同） （Ⅲ）設(shè)所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表， 因為集合組為具有性質(zhì)的集合組， 所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對任意，都存在有， 所以，即第行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. 由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 因為由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以， 所以. 又時，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的數(shù)組，共個，選擇其中的個數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì). 所以. 因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少， 而時，在數(shù)表中， 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 的個數(shù)為的行最多行； 因為上述共有行，所以還有行各有個， 所以此時表格中最少有個. 所以的最小值為.