2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 反函數(shù)教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 反函數(shù)教案 ●知識梳理 1.反函數(shù)定義:若函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域?yàn)镃,由這個函數(shù)中x、y的關(guān)系,用y把x表示出來,得到x=(y).如果對于y在C中的任何一個值,通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng),那么,x=(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù),記作x=f-1(y). 在函數(shù)x=f-1(y)中,y表示自變量,x表示函數(shù).習(xí)慣上,我們一般用x表示自變量,y表示函數(shù),因此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母x、y,把它改寫成y=f-1(x). 2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 3.求反函數(shù)的步驟: (1)解關(guān)于x的方程y=f(x),得到x=f-1(y). (2)把第一步得到的式子中的x、y對換位置,得到y(tǒng)=f-1(x). (3)求出并說明反函數(shù)的定義域〔即函數(shù)y=f(x)的值域〕. ●點(diǎn)擊雙基 1.(xx年北京東城區(qū)模擬題)函數(shù)y=-(x≠-1)的反函數(shù)是 A.y=--1(x≠0) B.y=-+1(x≠0) C.y=-x+1(x∈R) D.y=-x-1(x∈R) 解析:y=-(x≠-1)x+1=-x=-1-.x、y交換位置,得y=-1-. 答案:A 2.函數(shù)y=log2(x+1)+1(x>0)的反函數(shù)為 A.y=2x-1-1(x>1) B.y=2x-1+1(x>1) C.y=2x+1-1(x>0) D.y=2x+1+1(x>0) 解析:函數(shù)y=log2(x+1)+1(x>0)的值域?yàn)閧y|y>1},由y=log2(x+1)+1,解得x=2y-1-1. ∴函數(shù)y=log2(x+1)+1(x>0)的反函數(shù)為y=2x-1-1(x>1). 答案:A 3.函數(shù)f(x)=-(x≥-)的反函數(shù) A.在[-,+∞)上為增函數(shù) B.在[-,+∞)上為減函數(shù) C.在(-∞,0]上為增函數(shù) D.在(-∞,0]上為減函數(shù) 解析:函數(shù)f(x)=-(x≥-)的值域?yàn)閧y|y≤0},而原函數(shù)在[-,+∞)上是減函數(shù),所以它的反函數(shù)在(-∞,0]上也是減函數(shù). 答案:D 4.(xx年春季上海,4)函數(shù)f(x)=-x2(x∈(-∞,-2])的反函數(shù)f-1(x)=______________. 解析:y=-x2(x≤-2),y≤-4.∴x=-.x、y互換, ∴f-1(x)=-(x≤-4). 答案:-(x≤-4) 5.若函數(shù)f(x)=,則f-1()=___________. 解法一:由f(x)=,得f-1(x)=.∴f-1()==1. 解法二:由=,解得x=1.∴f-1()=1. 答案:1 評述:顯然解法二更簡便. ●典例剖析 【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)=的反函數(shù),則f(4-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為 A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.[0,2) D.(-2,0] 解析:f(4-x2)=-log2(4-x2).x∈(-2,0]時,4-x2單調(diào)遞增;x∈[0,2)時,4-x2單調(diào)遞減. 答案:C 深化拓展 1.若y=f(x)是[a,b]上的單調(diào)函數(shù),則y=f(x)一定有反函數(shù),且反函數(shù)的單調(diào)性與y=f(x)一致. 2.若y=f(x),x∈[a,b](a<b)是偶函數(shù),則y=f(x)有反函數(shù)嗎?(答案:無) 【例2】 求函數(shù)f(x)=的反函數(shù). 解:當(dāng)x≤-1時,y=x2+1≥2,且有x=-,此時反函數(shù)為y=-(x≥2). 當(dāng)x>-1時,y=-x+1<2,且有x=-y+1,此時反函數(shù)為y=-x+1(x<2). ∴f(x)的反函數(shù)f-1(x)= 評述:分段函數(shù)應(yīng)在各自的條件下分別求反函數(shù)式及反函數(shù)的定義域,分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù). 【例3】 已知函數(shù)f(x)是函數(shù)y=-1(x∈R)的反函數(shù),函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x-1成軸對稱圖形,記F(x)=f(x)+g(x). (1)求F(x)的解析式及定義域. (2)試問在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在這樣兩個不同點(diǎn)A、B,使直線AB恰好與y軸垂直?若存在,求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由. 解:(1)由y=-1(x∈R),得10x=,x=lg.∴f(x)=lg(-1<x<1). 設(shè)P(x,y)是g(x)圖象上的任意一點(diǎn),則P關(guān)于直線y=x-1的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(1+y,x-1).由題設(shè)知點(diǎn)P′(1+y,x-1)在函數(shù)y=的圖象上,∴x-1=. ∴y=,即g(x)=(x≠-2). ∴F(x)=f(x)+g(x)=lg+,其定義域?yàn)閧x|-1<x<1}. (2)∵f(x)=lg=lg(-1+)(-1<x<1)是減函數(shù),g(x)=(-1<x<1)也是減函數(shù),∴F(x)在(-1,1)上是減函數(shù). 故不存在這樣兩個不同點(diǎn)A、B,使直線AB恰好與y軸垂直. 評述:本題是一道綜合題,解決第(2)小題常用的方法是反證法,但本題巧用單調(diào)性法使問題變得簡單明了. 深化拓展 若F(x)當(dāng)x∈[a,b]時是單調(diào)函數(shù),則F(x)圖象上任兩點(diǎn)A、B連線的斜率都不為零. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(xx年全國Ⅱ)函數(shù)y=+1(x≥1)的反函數(shù)是 A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1) C.y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1) 解析:y=+1(x≥1)y≥1,反解xx=(y-1)2+1x=y2-2y+2(y≥1),x、y互換y=x2-2x+2(x≥1). 答案:B 2.(文)(xx年全國Ⅲ,文3)記函數(shù)y=1+3-x的反函數(shù)為y=g(x),則g(10)等于 A.2 B.-2 C.3 D.-1 解析:g(10)的值即為10=1+3-x中x的值3-x=32,∴x=-2. 答案:B (理)(xx年全國Ⅳ,理2)函數(shù)y=e2x(x∈R)的反函數(shù)為 A.y=2lnx(x>0) B.y=ln(2x)(x>0) C.y=lnx(x>0) D.y=ln(2x)(x>0) 解析:y=e2x2x=lnyx=lny,x、y互換y=lnx(x>0). 答案:C 3.(xx年北京,5)函數(shù)y=x2-2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是 A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞) C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞) 解析:存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在[1,2]上是單調(diào)函數(shù).∴a≤1或a≥2. 答案:D 4.(xx年福建,7)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x),則函數(shù)y=f-1(1-x)的圖象是 解析:y=log2xx=2yf-1(x)=2xf-1(1-x)=21-x. 答案:C 5.若點(diǎn)(2,)既在函數(shù)y=2ax+b的圖象上,又在它的反函數(shù)的圖象上,則a=___________,b=___________. 解析:∵點(diǎn)(2,)在函數(shù)y=2ax+b的反函數(shù)的圖象上,根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的對稱關(guān)系,∴點(diǎn)(,2)在函數(shù)y=2ax+b的圖象上. 把點(diǎn)(2,)與(,2)分別代入函數(shù)y=2ax+b可得. 答案:- 6.(xx年全國Ⅲ,15)已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=3x-1,設(shè)f(x)的反函數(shù)是y=g(x),則g(-8)=______________. 解析:當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=3-x-1.又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即-f(x)=3-x-1.∴f(x)=1-3-x. ∴f(x)= ∴f-1(x)= ∴f-1(-8)=g(-8)=-log3(1+8)=-log332=-2. 答案:-2 培養(yǎng)能力 7.已知函數(shù)f(x)=的圖象關(guān)于直線y=x對稱,求實(shí)數(shù)m. 解:∵f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,又點(diǎn)(5,0)在f(x)的圖象上,∴點(diǎn)(0,5)也在f(x)的圖象上,即-=5,得m=-1. 8.已知函數(shù)f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),函數(shù)f-1(x+a)(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),試求函數(shù)f-1(x)的表達(dá)式. 解:∵函數(shù)f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),∴a+b0=3,a=3-b0= 3-1=2.又函數(shù)f-1(x+a)(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),∴f-1(4+a)=2. ∴f(2)=4+a=4+2=6,即2+b2-1=6.∴b=4. 故f(x)=2+4x-1.再求其反函數(shù)即得f-1(x)=log4(x-2)+1(x>2). 9.已知函數(shù)f(x)=2(-)(a>0,且a≠1). (1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x); (2)判定f-1(x)的奇偶性; (3)解不等式f-1(x)>1. 解:(1)化簡,得f(x)=.設(shè)y=,則ax=.∴x=loga. ∴所求反函數(shù)為y=f-1(x)=loga(-1<x<1). (2)∵f-1(-x)=loga=loga()-1=-loga=-f-1(x), ∴f-1(x)是奇函數(shù). (3)loga>1. 當(dāng)a>1時,原不等式>a<0.∴<x<1. 當(dāng)0<a<1時,原不等式解得∴-1<x<. 綜上,當(dāng)a>1時,所求不等式的解集為(,1); 當(dāng)0<a<1時,所求不等式的解集為(-1,). 探究創(chuàng)新 10.已知函數(shù)f(x)=()2(x>1). (1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x); (2)判定f-1(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性; (3)若不等式(1-)f-1(x)>a(a-)對x∈[,]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)由y=()2,得x=. 又y=(1-)2,且x>1,∴0<y<1.∴f-1(x)=(0<x<1). (2)設(shè)0<x1<x2<1,則-<0,1->0,1->0. ∴f-1(x1)-f-1(x2)=<0,即f-1(x1)<f-1(x2). ∴f-1(x)在(0,1)上是增函數(shù). (3)由題設(shè)有(1-)>a(a-). ∴1+>a2-a,即(1+a)+1-a2>0對x∈[,]恒成立.顯然a≠-1.令t=,∵x∈[,],∴t∈[,]. 則g(t)=(1+a)t+1-a2>0對t∈[,]恒成立. 由于g(t)=(1+a)t+1-a2是關(guān)于t的一次函數(shù),∴g()>0且g()>0,即解得-1<a<. 評述:本題(3)巧用換元法,通過構(gòu)造一次函數(shù),借助函數(shù)圖象求解. ●思悟小結(jié) 1.反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域,因此反函數(shù)的定義域不能由其解析式確定,而應(yīng)當(dāng)是原函數(shù)的值域. 2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的增減性,它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 3.求y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟: (1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y); (3)將x、y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x). 4.分段函數(shù)的反函數(shù),應(yīng)分別求出各段的反函數(shù),再合成. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 由于本節(jié)中的反函數(shù)的定義既是重點(diǎn)又是難點(diǎn),因此復(fù)習(xí)本節(jié)時,針對反函數(shù)的定義,教師應(yīng)滲透如下知識: (1)函數(shù)的反函數(shù),本身也是一個函數(shù),由反函數(shù)的定義,原來函數(shù)也是反函數(shù)的反函數(shù). (2)反函數(shù)的定義域、值域分別是原來函數(shù)的值域與定義域. (3)由反函數(shù)定義知:①b=f(a)a=f-1(b),這兩個式子是a、b之間關(guān)系的兩種不同表示形式. ②f[f-1(x)]=x(x∈C). ③f-1[f(x)]=x(x∈A). 拓展題例 【例1】 (xx年上海,10)若函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=lg(x+1)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,則f(x)等于 A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x 解析:所求函數(shù)與y=lg(x+1)的反函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱. 答案:A 【例2】 若函數(shù)y=(x≠-,x∈R)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,求a的值. 解法一:由y=,解得x=.故函數(shù)y=的反函數(shù)為y=. ∵函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對稱, ∴函數(shù)y=與它的反函數(shù)y=相同.由=恒成立,得a=1. 解法二:∵點(diǎn)(0,1)在函數(shù)y=的圖象上,且圖象關(guān)于直線y=x對稱, ∴點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)(1,0)也在原函數(shù)圖象上,代入得a=1. 【例3】 函數(shù)y=(x∈(-1,+∞))的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________________. 答案:(0,0),(1,1)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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