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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題講解+課后訓(xùn)練：矩形 課后練習(xí)及詳解 題一： 矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是(　　) A．內(nèi)角和為360 B．對(duì)角線(xiàn)相等 C．對(duì)角相等 D．相鄰兩角互補(bǔ) 題二： 平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)(　　) A．對(duì)角線(xiàn)相等 B．對(duì)角線(xiàn)互相平分 C．對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角 D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直 題三： 下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是(　　) A．矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分 B．矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分 C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是矩形 題四： 下列說(shuō)法正確的有(　　) ①兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形；②有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角是直角的四邊形是矩形；③一個(gè)角為直角，兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形；④四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；⑤對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的四邊形是矩形；⑥有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 題五： 如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE：∠BAE=1：2，試求∠CAE的度數(shù)． 題六： 如圖，已知矩形ABCD中，AC與BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E， ∠BDE=15，試求∠COE的度數(shù)． 題七： Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為 ． 題八： 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，BC=2，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊的中點(diǎn)，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則△EFD的周長(zhǎng)最小值是 ． 題九： 如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF． 題十： (1)線(xiàn)段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； 題十一： (2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由． 題十二： 如圖，以△ABC的各邊向同側(cè)作正△ABD，正△BCF，正△ACE． 題十三： (1)求證：四邊形AEFD是平行四邊形； 題十四： (2)當(dāng)∠BAC=______時(shí)，四邊形AEFD是矩形； 題十五： (3)當(dāng)∠BAC=______時(shí)，以A、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形不存在． 題十六： 如圖，已知平行四邊形ABCD，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE與DC交于O點(diǎn)． 題十七： (1)求證：△BOC≌△EOD； 題十八： (2)當(dāng)∠A=∠EOC時(shí)，連接BD、CE，求證：四邊形BCED為矩形． 題十九： 已知四邊形ABCD中，AB=CD，BC=DA，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．M是四邊形ABCD外的一點(diǎn)，AM⊥MC，BM⊥MD．試問(wèn)：四邊形ABCD是什么四邊形，并證明你的結(jié)論． 題二十： 如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線(xiàn)，延長(zhǎng)DF交AN于點(diǎn)E． 題二十一： (1)判斷四邊形ABDE的形狀，并說(shuō)明理由； 題二十二： (2)問(wèn)：線(xiàn)段CE與線(xiàn)段AD有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由． 題二十三： 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線(xiàn)，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G． 題二十四： (1)求證：△ADE≌△CBF； 題二十五： (2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． 題二十六： 如圖，矩形紙片ABCD的寬AD=5，現(xiàn)將矩形紙片ABCD沿QG折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)R的位置，點(diǎn)P是QG上的一點(diǎn)，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF． 題二十七： 如圖，已知，E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，且BE=ED，P是對(duì)角線(xiàn)BD上任一點(diǎn)，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分別為F、G，你知道PF+PG與AB有什么關(guān)系嗎？并證明你的結(jié)論． 矩形 課后練習(xí)參考答案 題一： B． 詳解：A．內(nèi)角和為360矩形與平行四邊形都具有，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．對(duì)角線(xiàn)相等只有矩形具有，而平行四邊形不具有，故此選項(xiàng)正確； C．對(duì)角相等矩形與平行四邊形都具有，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D．相鄰兩角互補(bǔ)矩形與平行四邊形都具有，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 題二： B． 詳解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)互相平分、正方形的對(duì)角線(xiàn)垂直平分且相等、矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是對(duì)角線(xiàn)互相平分．故選B． 題三： B． 詳解：A．矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，本選項(xiàng)正確； C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形不一定為矩形，例如等腰梯形對(duì)角線(xiàn)相等，但不是矩形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形為平行四邊形，不一定為矩形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 題四： C． 詳解：兩條對(duì)角線(xiàn)相等且相互平分的四邊形為矩形，故①③⑤錯(cuò)； 有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形，故②④⑥正確． 故選C． 題五： 30． 詳解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90， ∴∠DAE=30，∠BAE=60， ∴∠DBA=90-∠BAE=90-60=30， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30， ∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60-30=30． 題六： 75． 詳解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠CED= 45，∴EC=DC， 又∵∠BDE=15，∴∠CDO=60， 又∵矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等，∴OD=OC， ∴△OCD是等邊三角形， ∴∠DCO=60，∠OCB=90-∠DCO=30， ∵DE平分∠ADC，∠ECD=90，∠CDE=∠CED= 45， ∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO； ∴∠COE=(180-30)2=75． 題七： ． 詳解：由題意知，四邊形AFPE是矩形， ∵點(diǎn)M是矩形對(duì)角線(xiàn)EF的中點(diǎn)，則延長(zhǎng)AM應(yīng)過(guò)點(diǎn)P， ∴當(dāng)AP為Rt△ABC的斜邊上的高時(shí)，即AP⊥BC時(shí)，AM有最小值， 此時(shí)AM=AP，由勾股定理知BC==5， ∵S△ABC=AB?AC=BC ?AP，∴AP==，∴AM=AP=． 題八： 1+． 詳解：作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG，交BC于D點(diǎn)，D點(diǎn)即為所求， ∵E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊的中點(diǎn)，∴EF為△ABC的中位線(xiàn)， ∵BC=2，∴EF=BC=2=1； ∵EF為△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥BC，∴∠EFG=∠C=90， 又∵∠ABC=60，BC=2，F(xiàn)G=AC=2，EG==， ∴DE+FE+DF=EG+EF=1+． 題九： 見(jiàn)詳解． 詳解：(1)BD=CD． 理由：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點(diǎn)， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEC (AAS)，∴AF=CD， ∵AF=BD，∴BD=CD； (2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形． 理由：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形， ∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90， ∴平行四邊形AFBD是矩形． 題十： 見(jiàn)詳解． 詳解：(1)∵△BCF和△ACE是等邊三角形， ∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60， ∴∠ECA-∠FCA=∠BCF-∠FCA，即∠ACB=∠ECF， ∵在△ACB和△ECF中，AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF， ∴△ACB≌△ECF(SAS)，∴EF=AB， ∵三角形ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴EF=AD=AB， 同理FD=AE=AC，即EF=AD，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形； (2)當(dāng)∠BAC=150時(shí)，平行四邊形AEFD是矩形， 理由：∵△ADB和△ACE是等邊三角形，∴∠DAB=∠EAC=60， ∵∠BAC=150，∴∠DAE=360-60-60-150=90， ∵由(1)知：四邊形AEFD是平行四邊形，∴平行四邊形AEFD是矩形． (3)當(dāng)∠BAC=60時(shí)，以A、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形不存在，理由如下： ∵∠DAB=∠EAC=60，∠BAC=60，∴∠DAE=60+60+60=180， ∴D、A、E三點(diǎn)共線(xiàn)，即邊DA、AE在一條直線(xiàn)上， ∴當(dāng)∠BAC=60時(shí)，以A、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形不存在． 題十一： 見(jiàn)詳解． 詳解：(1)∵在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO， ∵DE=AD，∴DE=BC， 在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE， ∴△BOC≌△EOD(ASA)； (2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四邊形BCED是平行四邊形， 在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE， ∵∠A=∠EOC，∴∠ODE=∠EOC， ∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD， ∵平行四邊形BCED中，CD=2OD，BE=2OE， ∴CD=BE，∴平行四邊形BCED為矩形． 題十二： 見(jiàn)詳解． 詳解：矩形． 理由：連接OM，∵AB=CD，BC=DA， ∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD， ∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90， ∴OM=BD，OM=AC，∴BD=AC， ∴四邊形ABCD是矩形． 題十三： 見(jiàn)詳解． 詳解：(1)四邊形ABDE是平行四邊形， 理由：∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∴DF∥AB， ∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC， ∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線(xiàn)，∴∠MAE=∠CAE， ∴∠NAD=90，∴AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形； (2)CE∥AD，CE=AD； 理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線(xiàn)，∴∠MAE=∠MAC， ∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC， ∵AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC， ∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四邊形ADCE為平行四邊形， ∵CE⊥AN，∴∠AEC=90，∴四邊形ADCE為矩形， ∴CE∥AD，CE=AD． 題十四： 見(jiàn)詳解． 詳解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD， ∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE=AB，CF=CD．∴AE=CF， 在△AED與△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS)， (2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形； 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC， ∵AG∥BD，∴四邊形AGBD是平行四邊形， ∵四邊形BEDF是菱形，∴DE=BE， ∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180，∴2∠2+2∠3=180， ∴∠2+∠3=90，即∠ADB=90， ∴四邊形AGBD是矩形． 題十五： 5． 詳解：把折疊的圖展開(kāi)，如圖所示：EF=AD， ∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5． 題十六： PF+PG =AB． 詳解：PF+PG=AB．理由如下：連接PE， 則S△BEP+S△DEP=S△BED，即BE?PF+DE?PG =DE?AB． 又∵BE=DE，∴DE?PF+DE?PG=DE?AB，即DE(PF+PG)=DE?AB， ∴PF+PG =AB．