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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5月模擬試卷 文（含解析） 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．（5分）設(shè)集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，則S∪T=（） A． D． （﹣3，1] 2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）所對應(yīng)的點(diǎn)位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．（5分）化簡cos15cos45﹣cos75sin45的值為（） A． B． C． ﹣ D． ﹣ 4．（5分）過點(diǎn)（5，3）且與直線2x﹣3y﹣7=0平行的直線方程是（） A． 3x+2y﹣21=0 B． 2x﹣3y﹣1=0 C． 3x﹣2y﹣9=0 D． 2x﹣3y+9=0 5．（5分）在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分又不必要條件 6．（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值是（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 7．（5分）若把函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象上的所有點(diǎn)向右平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（） A． B． C． D． 8．（5分）已知向量，的夾角為60，且||=2，||=1，則||=（） A． 2 B． C． 2 D． 2 9．（5分）設(shè)數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ba1+ba2+ba3+ba4=（） A． 15 B． 60 C． 63 D． 72 10．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為10，5，4，則該三棱錐外接球的表面積為（） A． 141π B． 45π C． 3π D． 24π 11．（5分）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～3之間的均勻隨機(jī)數(shù)a、x，則事件“l(fā)ogax＞0（a＞0且a≠≠1）”發(fā)生的概率為（） A． B． C． D． 12．（5分）在平面內(nèi)，曲線C上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，0），B（﹣3，0）的距離之和為10，則稱曲線C為“有用曲線”．以下曲線不是“有用曲線”的是（） A． x+y=5 B． x2+y2=9 C． +=1 D． x2=16y 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分） 13．（4分）一個棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為． 14．（4分）如圖給出了一個程序框圖，其作用是輸入x的值輸出相應(yīng)的y值，若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值的個數(shù)是． 15．（4分）已知P是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn)，則P到直線l1：4x﹣3y+11=0和l2：x+1=0的距離之和的最小值是． 16．（4分）關(guān)于函數(shù)f（x）=（）x﹣sinx﹣1，給出下列四個命題： ①該函數(shù)沒有大于0的零點(diǎn)； ②該函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)； ③該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)； ④若x0是函數(shù)的零點(diǎn)，則x0＜2． 其中所有正確命題的序號是． 三、解答題（共6小題，滿分74分） 17．（12分）學(xué)校開展陽光體育活動，對學(xué)生的鍛練時間進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，從中隨機(jī)抽取男、女生各25名進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 鍛練時間 男生 女生 合計(jì) 少于1小時 5 15 20 不少于1小時 20 10 30 合 計(jì) 25 25 50 （Ⅰ） 根據(jù)上表數(shù)據(jù)求x，y，并據(jù)此資料分析：有多大的把握可以認(rèn)為“鍛練時間與性別有關(guān)”？ （Ⅱ） 從這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人為樣本，求從該樣本中任取2人， 至少有1人鍛練時間少于1小時的概率． K2= P（K2≥K0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=12，且a1，a2，a3+2成等比數(shù)列． （Ⅰ） 求{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ） 若bn=3nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn． 19．（12分）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R． （Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ） 在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a，b，c，若f（A）=2．C=，c=2，C=，f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面積． 20．（12分）如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=BC，∠PCA=45，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，G為線段PA上（除點(diǎn)P外）的一個動點(diǎn)． （Ⅰ） 求證：BC∥平面GEF； （Ⅱ） 求證：BC⊥GE； （Ⅲ） 求三棱錐B﹣PAC的體積． 21．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短半軸長為． （Ⅰ） 求橢圓C的方程； （Ⅱ） 已知斜率為的直線l交橢圓C于兩個不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2． ①若直線l過橢圓C的左頂點(diǎn)，求此時k1，k2的值； ②試探究k1+k2是否為定值？并說明理由． 22．（14分）己知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ （a∈R）， （Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值； （Ⅱ） 若函數(shù)f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a取值范圍； （Ⅲ） 若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)分別為x1，x2求證：x1x2＞1． 福建省南平市xx高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（5月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．（5分）設(shè)集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，則S∪T=（） A． D． （﹣3，1] 考點(diǎn)： 并集及其運(yùn)算． 專題： 集合． 分析： 根據(jù)并集的定義計(jì)算即可． 解答： 解：∵集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}， ∴S∪T= 分析： 求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可． 解答： 解：過點(diǎn)（5，3）且與直線2x﹣3y﹣7=0平行的直線的斜率為：， 所求直線方程為：y﹣3=（x﹣5）． 即2x﹣3y﹣1=0． 故選：B． 點(diǎn)評： 本題考查直線方程的求法，平行線的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 5．（5分）在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分又不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 先看由角A＜B能否得到sinA＜sinB：討論A，B和A兩種情況，并結(jié)合y=sinx在（0，]單調(diào)性及0＜A+B＜π即可得到sinA＜sinB；然后看由sinA＜sinB能否得到A＜B：根據(jù)上一步的討論方法以及y=sinx的單調(diào)性即可得到sinA＜sinB，所以得到角A＜B是sinA＜sinB的充要條件． 解答： 解：（1）△ABC中，角A＜B： 若0＜A＜B≤，根據(jù)y=sinx在（0，]上單調(diào)遞增得到sinA＜sinB； 若0＜A，，∵0＜A+B＜π，∴，所以sinA＜sin（π﹣B）=sinB； ∴角A＜B能得到sinA＜sinB； 即A＜B能得到sinA＜sinB； ∴角A＜B是sinA＜sinB的充分條件； （2）若sinA＜sinB： A，B∈（0，]時，y=sinx在上單調(diào)遞增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B； A，B時，顯然滿足A＜B； 即sinA＜sinB能得到A＜B； ∴A＜B是sinA＜sinB的必要條件； 綜合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要條件． 故選C． 點(diǎn)評： 考查充分條件、必要條件、充要條件的概念，以及正弦函數(shù)y=sinx在上的單調(diào)性，通過y=sinx在（0，π）的圖象看函數(shù)的取值情況，及條件0＜A+B＜π． 6．（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值是（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直線y=﹣2x+z， 由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時，直線y=﹣2x+z的截距最大， 此時z最大． 由，解得，即B（1，1）， 代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=21+1=3． 即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為3． 故選：B． 點(diǎn)評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法． 7．（5分）若把函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象上的所有點(diǎn)向右平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用圖象的平移求出平移后的解析式，由所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱軸方程求出m的最小值． 解答： 解：由題意知，y=3cos（2x+），圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后，所得到y(tǒng)=3cos（2x+﹣2m） 所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，∴﹣2m=kπ，k∈Z，∴m=﹣，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值為：． 故選：C． 點(diǎn)評： 本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查余弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題． 8．（5分）已知向量，的夾角為60，且||=2，||=1，則||=（） A． 2 B． C． 2 D． 2 考點(diǎn)： 數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由已知條件及向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出，從而便求出． 解答： 解：根據(jù)已知條件，=4+4+4=12； ∴． 故選：D． 點(diǎn)評： 考查數(shù)量積的運(yùn)算及數(shù)量積的計(jì)算公式，求向量的長度先求的方法． 9．（5分）設(shè)數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ba1+ba2+ba3+ba4=（） A． 15 B． 60 C． 63 D． 72 考點(diǎn)： 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合． 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 分別運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出an，bn，再由通項(xiàng)公式即可得到所求． 解答： 解：數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， 則an=3+（n﹣1）1=n+2， {bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 則bn=2n﹣1， 則ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6 =22+23+24+25=60． 故選B． 點(diǎn)評： 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意選擇正確公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題． 10．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為10，5，4，則該三棱錐外接球的表面積為（） A． 141π B． 45π C． 3π D． 24π 考點(diǎn)： 球的體積和表面積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉(zhuǎn)化為對角線長，即可求解外接球的表面積． 解答： 解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑， 設(shè)長方體的三度為a，b，c由題意得：ab=20，ac=10，bc=8， 解得：a=5，b=4，c=2， 所以球的直徑為：=3， 它的半徑為， 球的表面積為=45π， 故選：B． 點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在． 11．（5分）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～3之間的均勻隨機(jī)數(shù)a、x，則事件“l(fā)ogax＞0（a＞0且a≠≠1）”發(fā)生的概率為（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 幾何概型． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 由題意，首先求出滿足logax＞0（a＞0且a≠≠1）”的a，x的范圍，然后根據(jù)幾何概型求概率． 解答： 解：滿足“l(fā)ogax＞0（a＞0且a≠1）”的等價條件或者，所以（x，a）滿足的區(qū)域如圖 由幾何概型得事件“l(fā)ogax＞0（a＞0且a≠1）”發(fā)生的概率為； 故選D 點(diǎn)評： 本題考查了幾何概型的概率求法；解得本題的關(guān)鍵是求出a，x滿足的不等式組，利用區(qū)域的面積比求值． 12．（5分）在平面內(nèi)，曲線C上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，0），B（﹣3，0）的距離之和為10，則稱曲線C為“有用曲線”．以下曲線不是“有用曲線”的是（） A． x+y=5 B． x2+y2=9 C． +=1 D． x2=16y 考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式． 專題： 直線與圓． 分析： 由點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，0），B（﹣3，0）的距離之和為10，可得．分別與A，B，C，D中的方程聯(lián)立，判斷是否有解即可得出． 解答： 解：由點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，0），B（﹣3，0）的距離之和為10，可得． A．聯(lián)立，化為41x2﹣250x+225=0，△=2502﹣41000＞0，因此曲線x+y=5上存在點(diǎn)P滿足條件，∴是“有用曲線”，正確； 同理可判斷C，D給出的切線是“有用曲線”，而B給出的曲線不是“有用曲線”． 故選：B． 點(diǎn)評： 本題考查了橢圓的定義、兩點(diǎn)之間的距離公式、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題． 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分） 13．（4分）一個棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為4． 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為直角梯形，高為2的四棱錐，從而求出它的體積． 解答： 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是底面為直角梯形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐； 如圖所示， 所以，該四棱錐的體積為 V=?（4+2）?22=4． 故答案為：4． 點(diǎn)評： 本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目． 14．（4分）如圖給出了一個程序框圖，其作用是輸入x的值輸出相應(yīng)的y值，若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值的個數(shù)是3． 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)y=的函數(shù)值，并輸出． 解答： 解：分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序，可知： 該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)y=的函數(shù)值 依題意得，或，或， 解得x=0，或x=1，x=4． 則這樣的x值的個數(shù)是3． 故答案為：3． 點(diǎn)評： 算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新xx高考中的一個熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤． 15．（4分）已知P是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn)，則P到直線l1：4x﹣3y+11=0和l2：x+1=0的距離之和的最小值是3． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 如圖所示，過點(diǎn)P分別作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分別為M，N．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PF|，當(dāng)三點(diǎn)M，P，F(xiàn)共線時，|PM|+|PF|取得最小值．利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可． 解答： 解：如圖所示， 過點(diǎn)P分別作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分別為M，N．l2：x+1=0是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程． 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）， 由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，過P作直線l1：4x﹣3y+11=0的垂線，垂足為M， ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，當(dāng)三點(diǎn)M，P，F(xiàn)共線時，|PM|+|PF|取得最小值． 其最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離，∴|FM|==3． 故答案為：3． 點(diǎn)評： 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線、點(diǎn)到直線的公式，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題． 16．（4分）關(guān)于函數(shù)f（x）=（）x﹣sinx﹣1，給出下列四個命題： ①該函數(shù)沒有大于0的零點(diǎn)； ②該函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)； ③該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)； ④若x0是函數(shù)的零點(diǎn)，則x0＜2． 其中所有正確命題的序號是②③④． 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡易邏輯． 分析： 如圖所示，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、圖象的性質(zhì)即可判斷出． 解答： 解：①函數(shù)f（x）=（）x﹣sinx﹣1，如圖所示，∵f（2）=＞0，f（1）=﹣sin1＜0， ∴＜0，因此函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，故①不正確； ②由圖象可知：x＜0時，函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，正確； ③當(dāng)x＞2時，f′（x）=﹣cosx＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，因此x＞2，時，不存在零點(diǎn)． 故該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)； ④若x0是函數(shù)的零點(diǎn)，由③可知：x0＜2，正確． 其中所有正確命題的序號是：②③④． 故答案為：②③④． 點(diǎn)評： 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、圖象的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 三、解答題（共6小題，滿分74分） 17．（12分）學(xué)校開展陽光體育活動，對學(xué)生的鍛練時間進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，從中隨機(jī)抽取男、女生各25名進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 鍛練時間 男生 女生 合計(jì) 少于1小時 5 15 20 不少于1小時 20 10 30 合 計(jì) 25 25 50 （Ⅰ） 根據(jù)上表數(shù)據(jù)求x，y，并據(jù)此資料分析：有多大的把握可以認(rèn)為“鍛練時間與性別有關(guān)”？ （Ⅱ） 從這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人為樣本，求從該樣本中任取2人， 至少有1人鍛練時間少于1小時的概率． K2= P（K2≥K0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點(diǎn)： 獨(dú)立性檢驗(yàn)． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （Ⅰ）利用對立檢驗(yàn)的表格法則，填寫表格，可得x，y，利用公式求出得K2，推出有99.5%以上的把握認(rèn)為“鍛練時間與性別有關(guān)”． （Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，得到抽取了鍛練時間少于1小時2人，不少于1小時3人，分別記作A1、A2；B1、B2、B3．寫出基本事件的情況，其至少有1人的鍛練時間少于1小時的基本事件的情況，然后求解概率． 解答： 本題滿分（12分）． 解：（Ⅰ） 鍛練時間 男生 女生 合計(jì) 少于1小時 5 15 20 不少于1小時 20 10 30 合 計(jì) 25 25 50 x=15，y=20 …（2分） 由已知數(shù)據(jù)得K2=≈8.333＞7.879…（4分） 所以有99.5%以上的把握認(rèn)為“鍛練時間與性別有關(guān)”…（6分） （Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，所以抽取了鍛練時間少于1小時2人，不少于1小時3人，分別記作A1、A2；B1、B2、B3． 從中任取2人的所有基本事件共10個：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）．…（8分） 其中至少有1人的鍛練時間少于1小時的基本事件有7個：（A1，B1），（A1，B2）， （A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）．…（10分） ∴從中任取2人，至少有1人的鍛練時間少于1小時的概率為．…（12分） 點(diǎn)評： 本題考查對立檢驗(yàn)，古典概型的概率的求法，考查計(jì)算能力． 18．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=12，且a1，a2，a3+2成等比數(shù)列． （Ⅰ） 求{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ） 若bn=3nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn． 考點(diǎn)： 數(shù)列的求和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d，故d＞0．由a1，a2，a3+2成等比數(shù)列，可得=a1（a1+2d+2）．又S3=12=，聯(lián)立解出即可． （Ⅱ）bn=2n?3n，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d，故d＞0． ∵a1，a2，a3+2成等比數(shù)列， 則=a1（a3+2）， 即=a1（a1+2d+2）． 又S3=12=， 解得或（舍去）， ∴an=2+（n﹣1）2=2n． （Ⅱ）bn=2n?3n， ∴Tn=23+2232+…+2n?3n， ∴3Tn=232+433+…+（2n﹣2）?3n+2n?3n+1， ∴﹣2Tn=23+2（32+33+…+3n）﹣2n3n+1 =﹣2n3n+1=（1﹣2n）3n+1﹣3， ∴+． 點(diǎn)評： 本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識；考查推理論證與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題． 19．（12分）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R． （Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ） 在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a，b，c，若f（A）=2．C=，c=2，C=，f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面積． 考點(diǎn)： 正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （Ⅰ）利用倍角公式可得：函數(shù)f（x）=，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出； （II）在△ABC中，由f（A）=2，可得A，利用正弦定理可得a，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣cos2x==， 由，解得，k∈Z． ∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z． （Ⅱ）∵在△ABC中，f（A）=2．C=，c=2， ∴=2，化為=1，又0＜A＜π，∴A=． 由據(jù)正弦定理可得：=，解得a=， ∴B=π﹣A﹣C=． ===． ∴S△ABC===． 點(diǎn)評： 本題考查了倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 20．（12分）如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=BC，∠PCA=45，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，G為線段PA上（除點(diǎn)P外）的一個動點(diǎn)． （Ⅰ） 求證：BC∥平面GEF； （Ⅱ） 求證：BC⊥GE； （Ⅲ） 求三棱錐B﹣PAC的體積． 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： （I）利用三角形中位線定理可得：EF∥CB，利用線面平行的判定定理即可證明：BC∥平面GEF． （Ⅱ）由PA⊥⊙O所在的平面，可得BC⊥PA，利用圓的直徑的性質(zhì)可得BC⊥AB，再利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明． （III）由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，再利用圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出． 解答： （I）證明：∵E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)， ∴EF∥CB，EF?平面GEF， 點(diǎn)G不于點(diǎn)P重合，CB?平面GEF， ∴BC∥平面GEF． （Ⅱ）證明：∵PA⊥⊙O所在的平面， BC?⊙O所在的平面， ∴BC⊥PA， 又∵AB是⊙O的直徑， ∴BC⊥AB， 又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC， ∴GE?平面PAC，∴BC⊥GE． （III）解：在Rt△ABC中，AB=2，AB=CB，∴AB=BC=， ∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴PA⊥AC． ∵∠PCA=45， ∴PA=， ∴S△PAC==1， 由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC， ∴VB﹣PAC==． 點(diǎn)評： 本題主要考查空間線線、線面的位置關(guān)系、體積的計(jì)算、圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及推理論證能力，屬于中檔題． 21．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短半軸長為． （Ⅰ） 求橢圓C的方程； （Ⅱ） 已知斜率為的直線l交橢圓C于兩個不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2． ①若直線l過橢圓C的左頂點(diǎn)，求此時k1，k2的值； ②試探究k1+k2是否為定值？并說明理由． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）通過橢圓的離心率以及，a2=b2+c2，求出a，b，即可求出橢圓C的方程． （Ⅱ）①若直線過橢圓的左頂點(diǎn)，寫出直線的方程與橢圓聯(lián)立方程，求出直線的斜率，推出結(jié)果． ②k1+k2 為定值，且k1+k2=0，證明如下：設(shè)直線在y軸上的截距為m，推出直線的方程，然后兩條直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)A（x1，y1）．B（x2，y2），利用韋達(dá)定理以及判別式求出k1+k2，然后化簡求解即可． 解答： 本題滿分（12分）． 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，∴，又，a2=b2+c2， 解得a2=8，b2=2， 所以橢圓C的方程為．…（3分） （Ⅱ）①若直線過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是l：y=， 聯(lián)立方程組，解得或， 故，．…（6分） ②k1+k2 為定值，且k1+k2=0．…（7分） 證明如下： 設(shè)直線在y軸上的截距為m，所以直線的方程為． 由，得x2+2mx+2m2﹣4=0． 當(dāng)△=4m2﹣8m2+16＞0，即﹣2＜m＜2時，直線與橢圓交于兩點(diǎn)…（8分） 設(shè)A（x1，y1）．B（x2，y2），則x1+x2=﹣2m．…（9分） 又， 故=．…（10分） 又，， 所以（y1﹣1）（x2﹣2）+（y2﹣1）（x1﹣2）= =x1?x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1） =2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0， 故k1+k2=0．…（12分） 點(diǎn)評： 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，分類討論思想的應(yīng)用． 22．（14分）己知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ （a∈R）， （Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值； （Ⅱ） 若函數(shù)f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a取值范圍； （Ⅲ） 若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)分別為x1，x2求證：x1x2＞1． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0列式求得a，b的值； （Ⅱ）把f（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案； （Ⅲ）利用函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，得到ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣2=． 再把證x1x2＞1轉(zhuǎn)化為證．令換元后再由導(dǎo)數(shù)證明． 解答： （Ⅰ）解：由f（x）=xlnx﹣， 得f′（x）=lnx﹣ax+1， ∵切線方程為x+y+b=0， ∴f′（1）=1﹣a=﹣1，即a=2． 又，可得切點(diǎn)為（1，﹣1），代入切線方程得b=0； （Ⅱ） 解：f（x）≤0恒成立等價于恒成立，即， 設(shè)，則， 當(dāng)x∈（0，e）時，g′（x）＞0； 當(dāng)x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0． ∴當(dāng)x=e時，，即； （Ⅲ）證明：若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x1，x2， 即f′（x1）=lnx1﹣ax1+1=0，f′（x2）=lnx2﹣ax2+1=0， 即lnx1+lnx2﹣a（x1+x2）+2=0且lnx1﹣lnx2﹣a（x1﹣x2）=0． 也就是ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣2=． 要證x1x2＞1，只要證＞0． 即證， 不妨設(shè)x1＞x2，只要證成立， 即證． 令，即證， 令h（t）=lnt﹣，則． ∴h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)， ∴h（t）＞h（1）=0，原式得證． 點(diǎn)評： 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．