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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題41 圓錐曲線中的對(duì)稱問題黃金解題模板 【高考地位】 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常出現(xiàn)這樣一類問題：一個(gè)圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱，求方程中參數(shù)的范圍. 這類問題涉及的知識(shí)面廣，解題靈活性大，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn). 因此，掌握這類問題的解法是必要的和重要的. 【方法點(diǎn)評(píng)】 方法一 判別式法 使用情景：圓錐曲線中存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 解題模板：第一步 假設(shè)這樣的對(duì)稱點(diǎn)A、B存在，利用對(duì)稱中的垂直關(guān)系設(shè)出兩點(diǎn)A、B所在的直線方 程； 第二步 聯(lián)立AB所在直線方程與圓錐曲線方程，求出中點(diǎn)C的坐標(biāo)； 第三步 把C的坐標(biāo)代入對(duì)稱直線，求出兩個(gè)參數(shù)之間的等式； 第四步 利用聯(lián)立后方程的△求出其中需求參數(shù)的范圍. 例1. 【xx湖南省邵陽市洞口縣第一中學(xué)模擬】在中，頂點(diǎn)所對(duì)三邊分別是已知,且成等差數(shù)列. (I )求頂點(diǎn)的軌跡方程； (II) 設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡與直線相交于不同的兩點(diǎn)，如果存在過點(diǎn)的直線,使得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍 【點(diǎn)晴】第（II）題的關(guān)鍵是理解求實(shí)數(shù)的取值范圍，其實(shí)是要解關(guān)于的不等式，所以要通過已知條件找到該不等式.而通過直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)可得判別式大于，即可得包含的不等式，而通過該不等式結(jié)合對(duì)稱的條件得到的與的關(guān)系式即可求出的取值范圍. 例2、已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程． （Ⅱ）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】過點(diǎn), , 橢圓的方程為 當(dāng)時(shí)， ， 則解得 綜上所述， 的取值范圍是 【變式演練1】在拋物線上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍． 【解析】設(shè)、關(guān)于直線對(duì)稱，直線方程為，代入得，，設(shè)、，中點(diǎn)，則 ∵點(diǎn)在直線上，∴ ∴，代入，得，即，解得。 【變式演練2】求證：拋物線=－1上不存在關(guān)于直線=對(duì)稱的兩點(diǎn)。 證明 如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，可設(shè)P(、)、Q(，)且≠，、∈R，則： 兩式相減得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判別式△=4－8<0。所以R 這與題設(shè)矛盾。 ∴PQ兩點(diǎn)不存在。 方法二 點(diǎn)差法 使用情景：圓錐曲線中存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 解題模板：第一步 設(shè)出兩點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）； 第二步 用“點(diǎn)差法”根據(jù)垂直關(guān)系求出x，y滿足的關(guān)系式； 第三步 聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)，即中點(diǎn)； 第四步 由中點(diǎn)位置及對(duì)應(yīng)范圍求出參數(shù)取值范圍. 例3、若拋物線y=-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍． 【變式演練3】如圖傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)． （Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程； （Ⅱ）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值，并求此定值． 解析如下 （I）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而． 因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， 又準(zhǔn)線方程的一般式為． 從而所求準(zhǔn)線的方程為． 解法二：設(shè)，，直線的斜率為，則直線方程為． 將此式代入得，故． 記直線與的交點(diǎn)為，則，， 故直線的方程為， 令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故． 從而為定值． 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P（1，1）.過點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn). （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn). 【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）詳見解析. （Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，. 由，得. 則，. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)? ， 所以. 故A為線段BM的中點(diǎn). 【考點(diǎn)】1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整 體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量. 2. 【xx天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【考點(diǎn)】直線與橢圓綜合問題 【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點(diǎn)，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標(biāo)化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵. 3. 【xx高考四川文科】在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ?若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A. ?單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上. ?若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱 ④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線. 其中的真命題是 . 【答案】②③ 4. 【xx高考新課標(biāo)1文數(shù)】（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. （I）求； （II）除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由. 【答案】（I）2（II）沒有 【解答】 試題分析：先確定,的方程為,代入整理得,解得,,得,由此可得為的中點(diǎn),即.（II） 把直線的方程,與聯(lián)立得,解得,即直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除以外直線與沒有其它公共點(diǎn). 考點(diǎn)：直線與拋物線 【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成；解析幾何中的證明問題通常有以下幾類：證明點(diǎn)共線或直線過定點(diǎn)；證明垂直；證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用. 【反饋練習(xí)】 1. 【xx云南昆明一中一?！恳阎?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： . （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析. 【解析】試題分析：（1）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，從而可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得 ，直線的方程為，即可證明其過定點(diǎn). 試題解析：（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為， 且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而， ，所以， 所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程： . 2．【xx江西宜春六校聯(lián)考】橢圓： 的離心率為，過右焦點(diǎn)垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)且，又過左焦點(diǎn)任作直線交橢圓于點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）橢圓上兩點(diǎn)， 關(guān)于直線對(duì)稱，求面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. （Ⅱ）依題意直線不垂直軸，當(dāng)直線的斜率時(shí)，可設(shè)直線的方程為（），則直線的方程為． 由得， ，即，① 設(shè)的中點(diǎn)為，則， ， 點(diǎn)在直線上，∴，故，② 此時(shí)與①矛盾，故時(shí)不成立． 當(dāng)直線的斜率時(shí)， ， （， ）， 的面積， ∵， ∴， ∴面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 3．【xx黑龍江齊齊哈爾一?！咳鐖D，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍. （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點(diǎn).若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程. 【答案】（1）;（2） （2）由（1）易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 因?yàn)椋灾本€的斜率之和為0. 設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為， ， 直線的方程為，由 可得， ∴， 同理直線的方程為， 可得， ∴， ， ∴滿足條件的直線的方程為， 即為. 4．【xx江西宜春六校聯(lián)考】已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)滿足，且直線與軸交于點(diǎn)， 是線段的中點(diǎn)． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）若點(diǎn)是曲線的焦點(diǎn)，過的兩條直線， 關(guān)于軸對(duì)稱，且交曲線于、兩點(diǎn)， 交曲線于、兩點(diǎn)， 、在第一象限，若四邊形的面積等于，求直線， 的方程． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線： ，則得， ， ， 依題意可知，四邊形是等腰梯形， ， 由，即，∴， ∴， 所以． 直線， 的方程分別為， ． 5．【xx天津市耀華中學(xué)模擬】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，下頂點(diǎn)，且離心率. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于， 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由. ∴ ∴ 由于對(duì)任意恒成立，因此 ∴恒成立 ∴恒成立 即恒成立，因此 綜上，存在點(diǎn)滿足題意. 6．【xx浙東北聯(lián)盟】已知， 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，且 （1）求證：線段的垂直平分線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求面積的最大值． 7. 已知橢圓（）的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為． （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程； （3）記橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)（）在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問： 軸上是否存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【解析】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓上， 因此解得 所以橢圓的方程為． （3）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得， “存在點(diǎn)使得”等價(jià)于“存在點(diǎn)使得” 即滿足， 因?yàn)椋裕? 直線的方程為， 所以，即， 因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以． 同理可得， 因?yàn)椋?， ， 所以， 所以或， 故在軸上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 8. 【xx四川省成都市第七中學(xué)模擬】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為 且離心率為， 為橢圓上三個(gè)點(diǎn)， 的周長(zhǎng)為，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）求線段長(zhǎng)度的最大值. 點(diǎn)睛：圓錐曲線的大題一般第一問都是求曲線方程，第二問求一些最值范圍問題；或者證明定值定點(diǎn)問題；求參數(shù)范圍問題；做這些題目時(shí)要注意，一是轉(zhuǎn)化題目中的條件，比如：垂直平分，實(shí)質(zhì)就是斜率的關(guān)系；二是注意計(jì)算中能否因式分解，提公因式等技巧。 9. 【xx河南鄭州市第一中模擬】已知橢圓： 的離心率與雙曲線： 的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）如圖，已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且與交于點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 三點(diǎn)共線． （2）因?yàn)榫€段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為. 所以可設(shè)線段所在直線的方程為， 設(shè)點(diǎn)， 聯(lián)立，消去，并整理得，