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2019-2020年高二數(shù)學上學期期末試卷 文（含解析） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）已知全集是實數(shù)集R，M={x|x＜1}，N={1，2，3，4}，則（?RM）∩N等于（） A． {4} B． {3，4} C． {2，3，4} D． {1，2，3，4} 2．（5分）f（x）=sin2x是（） A． 最小正周期為2π的偶函數(shù) B． 最小正周期為2π的奇函數(shù) C． 最小正周期為π的偶函數(shù) D． 最小正周期為π的奇函數(shù) 3．（5分）如果命題“p且q”是假命題，“q”也是假命題，則（） A． 命題“p或q”是假命題 B． 命題“p或q”是假命題 C． 命題“p且q”是真命題 D． 命題“p且q”是真命題 4．（5分）用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一個區(qū)間是（） A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4） 5．（5分）以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（） A． （x﹣1）2+y2=1 B． （x+1）2+y2=1 C． x2+（y﹣1）2=1 D． x2+（y+1）2=1 6．（5分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，則該四棱錐的主視圖（主視圖投影平面與平面PAC平行）可能是（） A． B． C． D． 7．（5分）“a＞1”是“”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 8．（5分）設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（） A． 若a，b與α所成的角相等，則α∥b B． 若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b C． 若a?α，b?β，α∥b，則α∥β D． 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b 9．（5分）如果一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，那么這個橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 10．（5分）已知函數(shù)，正實數(shù)a、b、c滿足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若實數(shù)d是函數(shù)f（x）的一個零點，那么下列四個判斷： ①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 11．（5分）曲線y=﹣x3+2x在橫坐標為﹣1的點處的切線為L，則點（3，2）到L的距離是（） A． B． C． D． 12．（5分）如圖所示，A，B，C是圓O上的三個點，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D，若，則（） A． 0＜x+y＜1 B． x+y＞1 C． x+y＜﹣1 D． ﹣1＜x+y＜0 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分． 13．（5分）已知x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣10x的一個極值點，則實數(shù)a=． 14．（5分）在△ABC中，若∠A=60，邊AB=2，S△ABC=，則BC邊的長為． 15．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a4+a5=8，則S8=． 16．（5分）設實數(shù)x，y滿足不等式組，則的取值范圍是． 三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 17．（10分）某公司欲招聘員工，從1000名報名者中篩選200名參加筆試，按筆試成績擇優(yōu)取50名面試，再從面試對象中聘用20名員工． （Ⅰ）求每個報名者能被聘用的概率； （Ⅱ）隨機調查了24名筆試者的成績?nèi)缦卤硭荆? 分數(shù)段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） 人數(shù) 1 2 6 9 5 1 請你預測面試的切線分數(shù)大約是多少？ （Ⅲ）公司從聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中選派兩人參加某項培訓，則選派結果為一男一女的概率是多少？ 18．（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若，求cosα的值． 19．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA． （1）求證：BE⊥平面PAC； （2）求點E到平面PBF的距離． 20．（12分）設函數(shù)f（x）=（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=1，，（n∈N*，且n≥2）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n），若T2n＞4tn2對n∈N*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍． 21．（12分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點，P是橢圓在第一象限弧上一點，且滿足=1，直線l：y=x+m與橢圓交于A，B兩點． （1）求點P的坐標； （2）求△PAB面積的最大值． 22．（12分）已知函數(shù)f（x）= （1）求f（x）在區(qū)間[﹣1，1）上的最大值； （2）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由． 廣東省汕頭市金山中學xx高二上學期期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）已知全集是實數(shù)集R，M={x|x＜1}，N={1，2，3，4}，則（?RM）∩N等于（） A． {4} B． {3，4} C． {2，3，4} D． {1，2，3，4} 考點： 交、并、補集的混合運算． 專題： 計算題． 分析： 由全集R及M，求出M的補集，找出M補集與N的交集即可． 解答： 解：∵全集是實數(shù)集R，M={x|x＜1}， ∴?RM={x|x≥1}， ∵N={1，2，3，4}， ∴（?RM）∩N={1，2，3，4}． 故選D 點評： 此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵． 2．（5分）f（x）=sin2x是（） A． 最小正周期為2π的偶函數(shù) B． 最小正周期為2π的奇函數(shù) C． 最小正周期為π的偶函數(shù) D． 最小正周期為π的奇函數(shù) 考點： 正弦函數(shù)的對稱性；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的奇偶性． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質． 分析： 由T==π，又f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可得f（x）=sin2x是最小正周期為π的奇函數(shù)． 解答： 解：∵T==π 又∵f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）， 故f（x）=sin2x是最小正周期為π的奇函數(shù)． 故選：D． 點評： 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題． 3．（5分）如果命題“p且q”是假命題，“q”也是假命題，則（） A． 命題“p或q”是假命題 B． 命題“p或q”是假命題 C． 命題“p且q”是真命題 D． 命題“p且q”是真命題 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 計算題． 分析： 因為命題“p且q”是假命題，可得p和q至少有一個是假命題，因為“q”也是假命題，所以q是真命題，根據(jù)此信息進行判斷； 解答： 解：命題“p且q”是假命題，可得p和q至少有一個為假命題， 因為“q”也是假命題，可得q是真命題，可得p是假命題， A、命題“p是真命題，可得命題“p或q”是真命題，故A錯誤； B、因為q是真命題，故命題“p或q”是真命題，故B錯誤； C、p是假命題，q為真命題，命題“p且q”是真命題，故C正確； D、p是假命題，命題“p且q”是假命題，故D錯誤； 故選C； 點評： 本題主要考查了非P命題與p或q命題的真假的應用，注意“或”“且”“非”的含義，是一道基礎題； 4．（5分）用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一個區(qū)間是（） A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4） 考點： 二分法求方程的近似解． 專題： 函數(shù)的性質及應用． 分析： 設f（x）=lgx﹣3+x，∵當連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（a）?f（b）＜0時，f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點，即方程lgx=3﹣x在區(qū)間（a，b）上有解，進而得到答案． 解答： 解：設f（x）=lgx﹣3+x， ∵當連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（a）?f（b）＜0時，f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點， 即方程lgx=3﹣x在區(qū)間（a，b）上有解， 又∵f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0， 故f（2）?f（3）＜0， 故方程lgx=3﹣x在區(qū)間（2，3）上有解， 故選：C 點評： 本題考查的知識點是方程的根，函數(shù)的零點，其中熟練掌握函數(shù)零點的存在定理是解答的關鍵． 5．（5分）以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（） A． （x﹣1）2+y2=1 B． （x+1）2+y2=1 C． x2+（y﹣1）2=1 D． x2+（y+1）2=1 考點： 拋物線的簡單性質；圓的標準方程． 專題： 計算題． 分析： 先由拋物線的標準方程求得其焦點坐標，即所求圓的圓心坐標，再由圓過原點，求得圓的半徑，最后由圓的標準方程寫出所求圓方程即可 解答： 解；∵拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0）， ∴所求圓的圓心坐標為（1，0） ∵所求圓過坐標原點（0，0） ∴其半徑為1﹣0=1 ∴所求圓的標準方程為（x﹣1）2+y2=1 點評： 本題主要考查了圓的標準方程的求法，拋物線的標準方程及其幾何性質，屬基礎題 6．（5分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，則該四棱錐的主視圖（主視圖投影平面與平面PAC平行）可能是（） A． B． C． D． 考點： 簡單空間圖形的三視圖． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 由已知中四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形，我們根據(jù)棱錐的正視圖為三角形，結合看不到的棱畫為虛線，看到的棱畫為實線，比照四個答案中的圖形，即可得到答案． 解答： 解：由已知中的幾何體P﹣ABCD為四棱錐 故其正視圖的外邊框為三角形 又∵四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形， ∴PD棱在正視圖中看不到，故應該畫為虛線， PB棱在正視圖中可能看到，故應該畫為實線． 故選B． 點評： 本題考查的知識點是簡單空間圖形的三視圖，其中要注意三視圖中看不到的棱（或輪廓線）畫為虛線，本題易忽略此點． 7．（5分）“a＞1”是“”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 充要條件． 分析： 可以把不等式“”變形解出a的取值范圍來，然后再作判斷，具體地來說，兩邊同乘以分母a要分類討論，分a＞0，a＜0兩類來討論，除了用符號法則，這是解答分式不等式的另一種重要方法． 解答： 解：由得： 當a＞0時，有1＜a，即a＞1； 當a＜0時，不等式恒成立． 所以?a＞1或a＜0 從而a＞1是的充分不必要條件． 故應選：A 點評： 本題考查不等式的性質及其應用，解分式不等式的問題，不等式的等價變形！本題需要注意的是在利用不等式的乘法單調性時易出錯，比如本題中若原不等式兩邊同乘以a，等到a＞1就是對不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)不等式是否改變方向認識不足導致的錯誤． 8．（5分）設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（） A． 若a，b與α所成的角相等，則α∥b B． 若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b C． 若a?α，b?β，α∥b，則α∥β D． 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b 考點： 平面與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系． 專題： 證明題． 分析： 根據(jù)題意，依次分析選項，A、用直線的位置關系判斷．B、用長方體中的線線，線面，面面關系驗證．C、用長方體中的線線，線面，面面關系驗證．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a?β或a∥β，再由b⊥β得到結論． 解答： 解：A、直線a，b的方向相同時才平行，不正確； B、用長方體驗證．如圖，設A1B1為a，平面AC為α，BC為b，平面A1C1為β，顯然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正確； C、可設A1B1為a，平面AB1為α，CD為b，平面AC為β，滿足選項C的條件卻得不到α∥β，不正確； D、∵a⊥α，α⊥β， ∴a?β或a∥β 又∵b⊥β ∴a⊥b 故選D 點評： 本題主要考查空間內(nèi)兩直線，直線與平面，平面與平面間的位置關系，綜合性強，方法靈活，屬中檔題． 9．（5分）如果一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，那么這個橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 考點： 橢圓的標準方程． 專題： 計算題． 分析： 先根據(jù)長軸長是短軸長的2倍確定a與b的關系，進而根據(jù)橢圓a，b，c的關系a2=b2+c2可表示出c，再由e=得到答案． 解答： 解：∵a=2b ∴c==b e== 故選B． 點評： 本題主要考查橢圓離心率的計算．屬基礎題． 10．（5分）已知函數(shù)，正實數(shù)a、b、c滿足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若實數(shù)d是函數(shù)f（x）的一個零點，那么下列四個判斷： ①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 函數(shù)零點的判定定理． 專題： 數(shù)形結合． 分析： 利用零點就是兩函數(shù)圖象的交點，再利用圖象得結論． 解答： 解：因為函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)， 又因為f（c）＜0＜f（a）＜f（b），所以a＜b＜c， 又因為零點就是兩函數(shù)圖象的交點， 在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=與y=lnx的圖象， 如圖a、b、c，d的位置如圖所示只有②③成立． 故可能成立的有兩個． 故選B． 點評： 本題考查函數(shù)零點的判定的應用和數(shù)形結合思想的應用，數(shù)形結合的應用大致分兩類：一是以形解數(shù)，即借助數(shù)的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數(shù)，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數(shù)之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具． 11．（5分）曲線y=﹣x3+2x在橫坐標為﹣1的點處的切線為L，則點（3，2）到L的距離是（） A． B． C． D． 考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 不等式的解法及應用． 分析： 求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可得到結論． 解答： 解：函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=﹣3x2+2， 則f′（﹣1）=﹣3+2=﹣1，即切線斜率k=﹣1， 當x=﹣1時，y=1﹣2=﹣1，即切點坐標為（﹣1，﹣1）， 則切線方程為y+1=﹣（x+1）， 即x+y+2=0， 則點（3，2）到L的距離d=， 故選：A 點評： 本題主要考查導數(shù)的幾何意義的應用以及點到直線的距離的計算，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的切線方程是解決本題的關鍵． 12．（5分）如圖所示，A，B，C是圓O上的三個點，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D，若，則（） A． 0＜x+y＜1 B． x+y＞1 C． x+y＜﹣1 D． ﹣1＜x+y＜0 考點： 向量的加法及其幾何意義． 專題： 平面向量及應用． 分析： 如圖所示由 =，可得 x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．再由 = x2+y2+2xy?，得1=x2+y2+2xy?cos∠AOB． 當∠AOB=120時，由（x+y）2=1+3xy＞1， 可得x+y＜﹣1，從而得出結論． 解答： 解：如圖所示：∵=，∴x＜0，y＜0， 故 x+y＜0，故排除A、B． ∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2xy?， ∴1=x2+y2+2xy?cos∠AOB． 當∠AOB=120時，x2+y2﹣xy=1，即（x+y）2﹣3xy=1， 即（x+y）2=1+3xy＞1， 故 x+y＜﹣1， 故選C． 點評： 本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量 數(shù)量積運算的綜合運用，排除法解選擇題，屬于中檔題． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分． 13．（5分）已知x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣10x的一個極值點，則實數(shù)a=12． 考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題： 計算題；導數(shù)的綜合應用． 分析： 由于x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣10x的一個極值點，可得f′（3）=0，解出并驗證即可． 解答： 解：f′（x）=+2x﹣10（x＞0）． ∵x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣10x的一個極值點， ∴f′（3）=+6﹣10=0，解得a=12． ∴f′（x）= ∴0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，3＞x＞2時，f′（x）＜0， ∴x=3是函數(shù)f（x）=12lnx+x2﹣10x的一個極小值點， 故答案為：12． 點評： 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和求極值，考查運算能力，屬于中檔題． 14．（5分）在△ABC中，若∠A=60，邊AB=2，S△ABC=，則BC邊的長為． 考點： 余弦定理；三角形的面積公式． 專題： 解三角形． 分析： 由AB，sinA及已知的面積，利用三角形面積公式求出AC的長，再由AB，AC及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的長． 解答： 解：∵∠A=60，邊AB=2，S△ABC=， ∴S△ABC=AB?AC?sinA，即=2AC， 解得：AC=1， 由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=4+1﹣2=3， 則BC=． 故答案為： 點評： 此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵． 15．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a4+a5=8，則S8=32． 考點： 等差數(shù)列的前n項和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由等差數(shù)列的性質和求和公式可得S8=4（a4+a5），代值計算可得． 解答： 解：∵等差數(shù)列{an}中a4+a5=8， ∴S8==4（a1+a8） =4（a4+a5）=32 故答案為：32 點評： 本題考查等差數(shù)列的求和公式和性質，屬基礎題． 16．（5分）設實數(shù)x，y滿足不等式組，則的取值范圍是[0，]． 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 綜合題． 分析： 不等式組，表示一個三角形區(qū)域（包含邊界），三角形的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），的幾何意義是點（x，y）與（P﹣2，0）連線的斜率，由此可求結論． 解答： 解：不等式組，表示一個三角形區(qū)域（包含邊界），三角形的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0） 的幾何意義是點（x，y）與（P﹣2，0）連線的斜率，由于PB的斜率為，PA，PC的斜率為0 所以的取值范圍是[0，] 故答案為：[0，] 點評： 本題考查線性規(guī)劃知識的運用，解題的關鍵是確定平面區(qū)域，明確目標函數(shù)的幾何意義． 三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 17．（10分）某公司欲招聘員工，從1000名報名者中篩選200名參加筆試，按筆試成績擇優(yōu)取50名面試，再從面試對象中聘用20名員工． （Ⅰ）求每個報名者能被聘用的概率； （Ⅱ）隨機調查了24名筆試者的成績?nèi)缦卤硭荆? 分數(shù)段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） 人數(shù) 1 2 6 9 5 1 請你預測面試的切線分數(shù)大約是多少？ （Ⅲ）公司從聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中選派兩人參加某項培訓，則選派結果為一男一女的概率是多少？ 考點： 等可能事件的概率． 專題： 常規(guī)題型． 分析： （Ⅰ）利用古典概型求概率是解決本題的關鍵，根據(jù)每個人入選的概率相等可以計算出所求的概率； （Ⅱ）利用概率是樣本頻率的近似值，通過對應成比例得出被聘用的最低分數(shù)線； （Ⅲ）利用古典概型求概率是解決本題的關鍵，可以列舉出樣本空間的所有情況和所求事件的所有情況，通過算起比值得到所求的概率． 解答： 解：（Ⅰ）設每個報名者能被聘用的概率為P，依題意有： P==0.02． 答：每個報名者能被聘用的概率為0.02． （Ⅱ）設24名筆試者中有x名可以進入面試，依樣本估計總體可得： ，解得：x=6，從表中可知面試的切線分數(shù)大約為80分． 答：可以預測面試的切線分數(shù)大約為80分． （Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c）， （b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f）， （d，e），（d，f），（e，f），共15種． 選派一男一女參加某項培訓的種數(shù)有： （a，e），（a，f），（b，e），（b，f）， （c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8種 所以選派結果為一男一女的概率為． 答：選派結果為一男一女的概率為． 點評： 本題主要考查概率、統(tǒng)計的基本知識，考查應用意識．弄清頻率和概率的關系，把握古典概型計算概率的基本方法，必要時利用枚舉法計算概率． 18．（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若，求cosα的值． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值． 專題： 作圖題；綜合題． 分析： （I）觀察圖象可得函數(shù)的最值為1，且函數(shù)先出現(xiàn)最大值可得A=1；函數(shù)的周期T=π，結合周期公式T=可求ω；由函數(shù)的圖象過（）代入可得φ （II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），從而由f（）=，代入整理可得sin（）=，結合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入兩角差的余弦公式可求 解答： 解：（Ⅰ）由圖象知A=1 f（x）的最小正周期T=4（﹣）=π，故ω==2 將點（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1， 又|φ|＜，∴φ= 故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+） （Ⅱ）f（）=，即sin（）=，注意到0＜a＜，則＜＜， 所以cos（α+）=． 又cosα=[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin= 點評： 本題主要考查了（i）由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其步驟一般是：由函數(shù)的最值求解A，（但要判斷是先出現(xiàn)最大值或是最小值，從而判斷A的正負號）由周期求解ω=，由函數(shù)圖象上的點（一般用最值點）代入求解φ； （ii）三角函數(shù)的同角平方關系，兩角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常見的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α﹣β）②2β=（α+β）﹣（α﹣β）③α=（α+β）﹣β④β=（α+β）﹣α 19．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA． （1）求證：BE⊥平面PAC； （2）求點E到平面PBF的距離． 考點： 點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定． 專題： 綜合題；空間位置關系與距離． 分析： （1）利用等腰三角形的性質可得BE⊥PC．再利用線面垂直的判定和性質即可證明BE⊥平面PAC； （2）利用等體積法：VE﹣PFB=VB﹣PEF，求點E到平面PBF的距離． 解答： （1）證明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC． ∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC， 又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC， ∴AC⊥BE． 又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分） （2）解：在Rt△PBC中， 在Rt△PBA中， ∵， ∴…（10分） 設點E到平面PBF的距離為d ∵VB﹣PEF=VE﹣PBF ∴ 即 ∴…（12分） 點評： 本題考查了線面平垂直的判定，考查等體積法求點E到平面PBF的距離，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力． 20．（12分）設函數(shù)f（x）=（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=1，，（n∈N*，且n≥2）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n），若T2n＞4tn2對n∈N*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍． 考點： 等差數(shù)列的性質；數(shù)列遞推式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由已知得，（n≥2），從而an﹣an﹣1=2，由此能求出an=2n﹣1． （2）由已知得T2n=，從而，由此利用在n∈N*單調遞增，能求出實數(shù)t的取值范圍． 解答： 解：（1）∵f（x）=（x＞0）， ∴，（n≥2） ∴an﹣an﹣1=2，…（2分） 又∵a1=1，∴數(shù)列{an}是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列． ∴an=2n﹣1．（n∈N*）…（4分） （2）解：T2n=﹣4（a2+a4+a6+…+a2n） =，…（8分） ∵恒成立，∴， 又在n∈N*單調遞增， 故，即t＜﹣3．…（12分） 點評： 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用． 21．（12分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點，P是橢圓在第一象限弧上一點，且滿足=1，直線l：y=x+m與橢圓交于A，B兩點． （1）求點P的坐標； （2）求△PAB面積的最大值． 考點： 橢圓的簡單性質． 專題： 向量與圓錐曲線． 分析： （1）設出點P的坐標為（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由橢圓方程求得左右焦點坐標，然后結合求得P的坐標所滿足的關系式，再根據(jù)P在橢圓上得另一關系式，聯(lián)立即可求得P的坐標； （2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程后由判別式大于0求出m的范圍，然后分別利用弦長公式和點到直線的距離公式求出弦AB的長及點P到直線AB的距離，代入三角形的面積公式利用基本不等式求最值． 解答： 解：（1）依題意，設點P的坐標為（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）， 由橢圓方程可得，， 則， ∵，∴， 即 ①， 又P是橢圓上一點，∴，② 聯(lián)立①②得，， 又x0＞0，y0＞0，∴， 故點P的坐標為； （2）∵直線AB的方程為， 設A（x1，y1），B（x2，y2）， 聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得，消去y得． ∴，， 由△＞0，得， 點P（1，）到直線AB的距離為， ， 則 =． 當且僅當取等號， ∴三角形PAB面積的最大值為． 點評： 本題考查了平面向量在解圓錐曲線問題中的應用，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，涉及直線和圓錐曲線位置關系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關系求解，該題還運用了換元法和函數(shù)的單調性求最值，綜合性強． 22．（12分）已知函數(shù)f（x）= （1）求f（x）在區(qū)間[﹣1，1）上的最大值； （2）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由． 考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 綜合題；導數(shù)的綜合應用． 分析： （1）當﹣1≤x＜1時，求導函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間[﹣1，1）上的最大值； （2）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P、Q的坐標，由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上． 解答： 解：（1）∵ 當﹣1≤x＜1時，，…（1分） 令f（x）=0得x=0或，當x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表： （﹣1，0） 0 ﹣ 0 + 0 ﹣ 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減 …（3分） 又f（﹣1）=2，，f（0）=0 ∴f（x）在區(qū)間[﹣1，1）上的最大值為2…（4分） （2）曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P，Q只能在y軸的兩側， 不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），顯然t≠1．…（5分） ∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形， ∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1） 是否存在兩點P、Q等價于方程（1）是否有解．…（6分） 若0＜t＜1，則f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0， 而此方程無實數(shù)解，因此t＞1．…（8分） ∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即． （*）…（9分） 考察函數(shù)在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則， ∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0， 當t→+∞時，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．…（11分） ∴對于a＞0，方程（*）總有解，即方程（1）總有解． 因此對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上總存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．…（12分） 點評： 本題考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，綜合性強，屬于中檔題．