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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題7 概率與統(tǒng)計 第3講 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理 一、選擇題 1.(xx四川卷)在“世界讀書日”前夕,為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間,從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析.在這個問題中,5000名居民的閱讀時間的全體是(　A　) (A)總體 (B)個體 (C)樣本的容量 (D)從總體中抽取的一個樣本 解析:5000名居民的閱讀時間的全體是總體,每名居民的閱讀時間是個體,200名居民的閱讀時間是樣本,故選A. 2.某學校高三年級一班共有60名學生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名學生做“早餐與健康”的調(diào)查,為此將學生編號為1,2,…,60.選取的這6名學生的編號可能是(　B　) (A)1,2,3,4,5,6 (B)6,16,26,36,46,56 (C)1,2,4,8,16,32 (D)3,9,13,27,36,54 解析:系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣. 3.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150,120,180,150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況,需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本,記這項調(diào)查為①;在丙地區(qū)有20個大型銷售點,要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務等情況,記這項調(diào)查為②,則完成①,②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是(　B　) (A)分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法 (B)分層抽樣法,簡單隨機抽樣法 (C)系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法 (D)簡單隨機抽樣法,分層抽樣法 解析:一般甲、乙、丙、丁四個地區(qū)會存在差異,采用分層抽樣法比較好.在丙地區(qū)中抽取的樣本個數(shù)較少,易采用簡單隨機抽樣法. 4.(xx陜西卷)某中學初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為(　B　) (A)167 (B)137 (C)123 (D)93 解析:初中部女教師的人數(shù)為11070%=77,高中部女教師的人數(shù)為150(1-60%)=60,則該校女教師的人數(shù)為77+60=137(人),故選B. 5.(xx江西卷)總體由編號為01,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為(　D　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 (A)08 (B)07 (C)02 (D)01 解析:從左到右第1行的第5列和第6列數(shù)字是65,依次選取符合條件的數(shù)字分別是08,02,14,07,01,…,故選出來的第5個個體的編號為01. 6.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量,從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示.從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根,則其棉花纖維的長度小于20 mm的概率是(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:根據(jù)頻率分布直方圖可知棉花纖維的長度小于20 mm的概率為P=(0.01+0.01+0.04)5=0.3. 7.對于一組數(shù)據(jù)xi(i=1,2,3,…,n),如果將它們改變?yōu)閤i+C(i=1,2,3,…,n),其中C≠0,則下列結(jié)論正確的是(　B　) (A)平均數(shù)與方差均不變 (B)平均數(shù)變,方差保持不變 (C)平均數(shù)不變,方差變 (D)平均數(shù)與方差均發(fā)生變化 解析:由平均數(shù)的定義,可知每個個體增加C,則平均數(shù)也增加C,方差不變,故選B. 8.如圖是Ⅰ,Ⅱ兩組各7名同學體重(單位:kg)數(shù)據(jù)的莖葉圖.設Ⅰ,Ⅱ兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和,標準差依次為s1和s2,那么(　D　) (A)>,s1>s2 (B)>,s1s2 (D)<,s10,<0 (B)>0,>0 (C)<0,<0 (D)<0,>0 解析:由散點圖知<0,>0.故選A. 10.在檢驗某產(chǎn)品直徑尺寸的過程中,將某尺寸分成若干組,[a,b)是其中的一組,抽查出的個體數(shù)在該組上的頻率為m,該組在頻率分布直方圖上的高為h,則|a-b|等于(　A　) (A) (B) (C)mh (D)與h,m無關(guān) 解析:根據(jù)頻率分布直方圖的概念可知,|a-b|h=m,由此可知|a-b|=.故選A. 11.(xx福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　B　) (A)11.4萬元 (B)11.8萬元 (C)12.0萬元 (D)12.2萬元 解析:由統(tǒng)計數(shù)據(jù)表可得==10.0,==8.0,則=8.0-0.7610.0=0.4,所以回歸直線方程為=0.76x+0.4,當x=15時,=0.7615+0.4=11.8,故估計年收入為15萬元家庭的年支出為11.8萬元.故 選B. 12.(xx廣東卷)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示,為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　A　) (A)200,20 (B)100,20 (C)200,10 (D)100,10 解析:由圖1可知,學生總數(shù)為10000,故抽取的樣本容量為200,其中高中生數(shù)為40,由圖2知高中生近視率為50%,所以近視人數(shù)為20. 故選A. 二、填空題 13.某學校共有師生3200人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個容量為160的樣本,已知從學生中抽取的人數(shù)為150,那么該學校的教師人數(shù)是　　　　. 解析:設該學校的教師人數(shù)為x,由分層抽樣的特點知=,所以x=200. 答案:200 14.(xx江蘇卷)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為　　　　. 解析:由已知得,所求平均數(shù)為=6. 答案:6 15.(xx湖南卷)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示. 若將運動員按成績由好到差編為1～35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是　　　　. 解析:由系統(tǒng)抽樣方法知,應把35人分成7組,每組5人,每組按規(guī)則抽取1人, 因為成績在區(qū)間[139,151]上的共有4組, 故成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是4. 答案:4 16.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對該班50名學生進行了問卷調(diào)查,得到了如下的22列聯(lián)表: 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 總計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計 30 20 50 則在犯錯誤的概率不超過　　　　的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān)(請用百分數(shù)表示). P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析:由公式K2=可計算K2的觀測值k=≈8.333>7.879. 因此在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān). 答案:0.5% 三、解答題 17.為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學生某次聯(lián)考數(shù)學成績情況,用簡單隨機抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學生,以他們的數(shù)學成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示: (1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學生總?cè)藬?shù),并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學成績的及格率(60分及60分以上為及格); (2)設甲、乙兩校高三年級學生這次聯(lián)考數(shù)學平均成績分別為,,估計-的值. 解:(1)設甲校高三年級學生總?cè)藬?shù)為n. 由題意知,=0.05,即n=600. 樣本中甲校高三年級學生數(shù)學成績不及格人數(shù)為5, 據(jù)此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學成績及格率為 1-=. (2)設甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為′1,′2.根據(jù)樣本莖葉圖可知, 30(′1-′2)=30′1-30′2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15. 因此′1-′2=0.5.故-的估計值為0.5分. 18.在某醫(yī)學實驗中,某實驗小組為了分析某藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系,選取六只實驗動物進行血檢,得到如下資料: 動物編號 1 2 3 4 5 6 用藥量x(單位) 1 3 4 5 6 8 抗體指標y(單位) 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 記s為抗體指標標準差,若抗體指標落在(-s,+s)內(nèi),則稱該動物為有效動物,否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只,用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗. (1)求選取的兩只動物都是有效動物的概率; (2)若選取的是編號為1和6的兩只動物,且利用剩余四只動物的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=0.17x+,試求出的值; (3)若根據(jù)回歸方程估計出的1號和6號動物抗體指標數(shù)據(jù)與檢驗結(jié)果誤差都不超過抗體指標標準差,則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試判斷(2)中所得線性回歸方程是否可靠. 解:(1)=3.9,s≈0.31.故1、6號為無效動物,2、3、4、5號為有效動物. 記從六只動物中選取的兩只動物都是有效動物為事件A. 則P(A)==. (2)對于2、3、4、5號動物,=4.5,=3.925, 代入=0.17x+得=3.16. (3)由=0.17x+3.16得=3.33,=4.52. 誤差e1=0.07,e6=0.22,均比標準差s≈0.31小,故(2)中回歸方程可靠. 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 統(tǒng)計圖表 訓練提示:主要訓練概率與統(tǒng)計基本方法,頻率分布直方圖、莖葉圖的讀圖和計算,隨機變量的概率分布列與數(shù)學期望的求解. 1.某市隨機抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況(單位:萬元),將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),年上繳稅收范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求直方圖中x的值; (2)如果年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)可申請政策優(yōu)惠,若共抽取企業(yè)1200個,試估計有多少企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠; (3)從企業(yè)中任選4個,這4個企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學期望.(以直方圖中的頻率作為概率) 解:(1)由直方圖可得 20x+0.02520+0.006520+0.003220=1. 所以x=0.0125. (2)企業(yè)上繳稅收不少于60萬元的頻率為 0.003220=0.12, 由12000.12=144, 因此這1200個企業(yè)中有144個可以申請政策優(yōu)惠. (3)X的可能取值為0,1,2,3,4. 由直方圖可知,每個企業(yè)上繳稅收少于20萬元的概率為. P(X=0)=()4=, P(X=1)= () ()3=, P(X=2)= ()2()2=, P(X=3)= ()3()=, P(X=4)= ()4=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)=0+1+2+3+4=1. (或E(X)=4=1). 即X的數(shù)學期望為1. 2.對某校高二年級學生暑期參加社會實踐次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加社會實踐的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下: 分組 頻數(shù) 頻率 [10,15) 20 0.25 [15,20) 48 n [20,25) m p [25,30) 4 0.05 合計 M 1 (1)求出表中M,p及圖中a的值; (2)在所取樣本中,從參加社會實踐的次數(shù)不少于20次的學生中任選3人,記參加社會實踐次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望. 解:(1)M==80. m=80-(20+48+4)=8. p==0.1,n=0.6,a==0.12. (2)X的取值為0,1,2,3. P(X=0)===,P(X=1)===, P(X=2)===,P(X=3)===. 分布列如下: X 0 1 2 3 P 可得 E(X)=1. 3. 如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運動員訓練的成績(環(huán)數(shù)),射擊次數(shù)為4次. (1)試比較甲、乙兩名運動員射擊水平的穩(wěn)定性; (2)每次都從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機各選取一個進行比對分析,共選取了4次(有放回選取).設選取的兩個數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學 期望. 解:(1)==8, =[(6-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(10-8)2]= =[(5-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(10-8)2]= 因為<, 所以甲運動員的射擊水平平穩(wěn). (2)當乙選取5環(huán)時,一定滿足要求, 此時的概率為P1=1. 當乙選取7環(huán)時,甲只能從9環(huán)、10環(huán)中選取,此時的概率為P2==, 所以甲的成績大于乙的成績的概率為P=P1+P2=. 由已知,ξ～B(4,),所以E(ξ)=4=. 統(tǒng)計案例 訓練提示:主要訓練回歸直線的運算與估計、獨立性檢驗的應用以及學生的計算能力,訓練離散型隨機變量的分布列以及期望的計算. 4.目前我國很多城市出現(xiàn)了霧霾天氣,已經(jīng)給廣大人民的健康帶來影響.其中汽車尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,很多城市提倡綠色出行方式,實施機動車尾號限行.某市為了解民眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機調(diào)查了50人,并將調(diào)查結(jié)果制成下表: 年齡(歲) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 (1)若從年齡在[15,25)、[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取2人進行跟蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)記為X,求X的分布列和期望; (2)把年齡在[15,45)稱為中青年,年齡在[45,75)稱為中老年,請根據(jù)上表完成答題卡中的22列聯(lián)表,并說明民眾對“車輛限行”的態(tài)度與年齡是否有關(guān)聯(lián). 　　態(tài)度 年齡　　 贊成 不贊成 總計 中青年 中老年 總計 解:(1)X的取值為0,1,2,3 P(X=0)===, P(X=1)=+==, P(X=2)=+==, P(X=3)=== X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=1.2. (2)22列聯(lián)表如圖所示 態(tài)度 年齡 贊成 不贊成 總計 中青年 19 11 30 中老年 13 7 20 總計 32 18 50 由22列聯(lián)表可計算K2的觀測值 k=<2.706. 說明民眾對“車輛限行”的態(tài)度與年齡沒有關(guān)聯(lián). 5.(xx貴陽市高三適應性監(jiān)測)A市積極倡導學生參與綠色環(huán)?；顒?其中代號為“環(huán)保衛(wèi)士12369”的綠色環(huán)保活動小組對xx年1月～xx年12月(一年)內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進行監(jiān)測,下表是在這一年隨機抽取的100天的統(tǒng)計結(jié)果: 指數(shù) AQI [0, 50] (50, 100] (100, 150] (150, 200] (200, 250] (250, 300] >300 空氣 質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微 污染 輕度 污染 中度 污染 中重度 污染 重度 污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 (1)若A市某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失P(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)AQI(記為t)的關(guān)系為P=在這一年內(nèi)隨機抽取一天,估計該天經(jīng)濟損失P∈(200,600]元的概率; (2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季節(jié),其中有8天為重度污染,完成22列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為A市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)? 非重度污染 重度污染 合計 供暖季 非供暖季 合計 100 解:(1)設事件A為“在這一年內(nèi)隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失P∈(200,600]元”, 200<4t-400≤600,即1503.841. 所以有95%的把握認為A市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān).