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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第07講 函數(shù)的奇偶性的判斷和證明 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、函數(shù)的奇偶性的定義 對(duì)于函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果恒有，那么函數(shù)為奇函數(shù)；如果恒有，那么函數(shù)為偶函數(shù). 二、奇偶函數(shù)的性質(zhì) 1、奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2、 偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；3、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性相同，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性相反；4、 奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，必有. 三、判斷函數(shù)的奇偶性的方法 判斷函數(shù)的奇偶性的方法，一般有三種：定義法、和差判別法、作商判別法. 1、定義法 首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù). 2、和差判別法 對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù). 3、 作商判別法 對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，設(shè)，若，則是奇函數(shù)，，則是偶函數(shù). 【方法講評(píng)】 方法一 定義法 使用情景 具體函數(shù)和抽象函數(shù)都適用. 解題步驟 首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù). 【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性. （1） （2） 【點(diǎn)評(píng)】（1）判斷函數(shù)的奇偶性首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要非充分條件.（3）函數(shù)的定義域求出來(lái)之后，還要注意在解題中應(yīng)用，不是走一個(gè)過(guò)場(chǎng)和形式.第2小題就是利用求出的定義域?qū)瘮?shù)進(jìn)行了化簡(jiǎn). 【例2】 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)任意，有 且 ①求證： ②求證：是偶函數(shù) 【解析】證明：①令，則 ∵ ∴ ②令，則 ∴ ∴是偶函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，和具體函數(shù)的判斷方法一樣，不同的是，由于它是抽象函數(shù)，所以在判斷過(guò)程中，多要利用賦值法，常賦一些特殊值，如等. 【例3】判斷函數(shù)的奇偶性 【點(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，也是要先看函數(shù)的定義域，再考慮定義，由于它是分段函數(shù)，所以要分類討論. （2）注意，當(dāng)求要代入下面的解析式，因?yàn)?不是還代入上面一段的解析式. 【反饋檢測(cè)1】已知 （1）判斷的奇偶性； （2）求的值域． 【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù)定義域?yàn)?，若?duì)于任意的，都有 ，且時(shí)，有. （1）證明函數(shù)是奇函數(shù)；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性； （3）設(shè)，若，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 方法二 和差判別法 使用情景 一般與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)有關(guān). 解答步驟 對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù). 【例4】判斷函數(shù)的奇偶性. 【點(diǎn)評(píng)】和差判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式，但是利用定義判斷，計(jì)算較為復(fù)雜，利用和差判別法可以化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)捷高效. 【反饋檢測(cè)3】已知函數(shù). （1）求的定義域； （2）判定的奇偶性； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?？若存在，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【例5】判斷函數(shù)的奇偶性. 【解析】由題得，因?yàn)? ，所以，所以是偶函數(shù). 【點(diǎn)評(píng)】和差判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式，但是利用定義判斷，計(jì)算較為復(fù)雜，利用和差判別法可以化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)潔高效. 方法三 作商判別法 使用情景 一般含有指數(shù)函數(shù)運(yùn)算. 解答步驟 對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，設(shè)，若，則是奇函數(shù)，，則是偶函數(shù). 【例6】 證明函數(shù)是奇函數(shù). 【點(diǎn)評(píng)】作商判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式，但是利用定義判斷，計(jì)算較為復(fù)雜，利用作商判別法可以化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)捷高效. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第07講： 函數(shù)的奇偶性的判斷和證明參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】（1）奇函數(shù)；（2）． 【反饋檢測(cè)2答案】（1）奇函數(shù)；（2）單調(diào)遞增函數(shù)；（3）或. 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（1）因?yàn)橛校? 令，得，所以， 令可得： 所以，所以為奇函數(shù). （2）是定義在上的奇函數(shù)，由題意設(shè)，則 由題意時(shí)，有， 是在上為單調(diào)遞增函數(shù)； （3）因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上的最大值為， 所以要使<，對(duì)所有恒成立， 只要，即， 令 由 得，或. 【反饋檢測(cè)3答案】（1）定義域?yàn)?；?）在定義域上為奇函數(shù)；（3）. 即是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 令 則有： 故存在這樣的實(shí)數(shù)符合題意.