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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 錯(cuò)誤解題分析 2-4-1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1．拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (　　)． A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0) 解析　依題意，拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，由2p＝8得＝2，故焦點(diǎn)坐 標(biāo)為(－2，0)，故選B. 答案　B 2．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (　　)． A．(8，8) B．(8，－8) C．(8，8) D．(－8，8) 解析　設(shè)P(xP，yP)，∵點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－2的距離，∴xP＝8，yP＝8， 故選C. 答案　C 3．以雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　)． A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析　由雙曲線方程－＝1，可知其焦點(diǎn)在x軸上，由a2＝16，得a＝4，∴該雙曲 線右頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，0)，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(4，0)．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ 2px(p>0)，則由＝4，得p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x. 答案　A 4．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是________． 解析　由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6. 答案　6 5．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1. 答案?。? 6．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程是y＝3； (2)過點(diǎn)P(－2，4)； (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 解　(1)由準(zhǔn)線方程為y＝3知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且＝3，則p＝6，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y. (2)∵點(diǎn)P(－2，4)在第二象限，∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，將點(diǎn)P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x或x2＝2y. (3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得p＝，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x，y2＝ －2x，x2＝2y或x2＝－2y. 7．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 (　　)． A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線 解析　已知條件可等價(jià)于“動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離等于它到直線x＝－3的距離”，由拋 物線的定義可判斷，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，故選D. 答案　D 8．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 (　　)． A．2 B．3 C. D. 解析　直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義 知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離，故本題 化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1 的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距 離，即dmin＝＝2，故選擇A. 答案　A 9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________． 解析　由拋物線方程y2＝2px(p>0)，得其準(zhǔn)線方程為x＝－，又圓的方程為(x－3)2＋y2 ＝16，∴圓心為(3，0)，半徑為4.依題意，得3－(－)＝4，解得p＝2. 答案　2 10．拋物線y＝－x2上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________． 解析　將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，可知焦點(diǎn)坐 標(biāo)為(0，－1)，－3<－，所以點(diǎn)E(1，－3)在拋物線的內(nèi)部， 如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過M點(diǎn)作MP⊥l于點(diǎn)P， 過點(diǎn)E作EQ⊥l于點(diǎn)Q，由拋物線的定義可知，|MF|＋|ME| ＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在EQ上時(shí)取等號(hào)，又 |EQ|＝1－(－3)＝4，故距離之和的最小值為4. 答案　4 11．已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 解　法一　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，設(shè)⊙M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線， ∴＝3，∴p＝6. ∴圓心M的軌跡方程是y2＝12x. 法二　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M的軌跡是集合P＝{M||MA|＝|MN|}， 即＝|x＋3|，化簡(jiǎn)，得y2＝12x. ∴圓心M的軌跡方程為y2＝12x. 12．(創(chuàng)新拓展)設(shè)F(1，0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且 (1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程； (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3，0)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)N(x，y)，由得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，∴P(0，)， M(－x，0)， ∴＝(－x，－)，＝(1，－)． 由＝－x＋＝0，得y2＝4x. 即點(diǎn)N的軌跡方程為y2＝4x. (2)由拋物線的定義，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1， ∵成等差數(shù)列， ∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝. ∵線段AD的中點(diǎn)為(，)，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3，0)， ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k＝. 又kAD＝，∴＝－1， 即＝－1. ∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1. ∵點(diǎn)B在拋物線上，∴B(1，2)或(1，－2)．