《【經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】計(jì)算題復(fù)習(xí)資料》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】計(jì)算題復(fù)習(xí)資料(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算題復(fù)習(xí)資料
一.線性代數(shù)
一)矩陣
1.運(yùn)算法則:(1)m行n列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m =p, n =q的條件下可以相加減,加減法則:對(duì)應(yīng)元素相加減.
(2)數(shù)乘
(3)n行m列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m=p的條件下可以相乘,得n行q列的矩陣。乘法法則:行列相乘。
如:
(4)A的轉(zhuǎn)置,是A的行列互換。
注:A為對(duì)稱矩陣的概念 (即A的元素關(guān)于A的主對(duì)角線對(duì)稱)
如是對(duì)稱矩陣 如不是對(duì)稱矩陣
(5)逆矩陣:矩陣A的逆矩陣用表示,滿足。(其中I是相應(yīng)于A的單位矩陣,即對(duì)角線上的數(shù)全為1,其余的數(shù)全為0的n階矩陣)
逆矩陣求
2、法:A的元素與對(duì)應(yīng)I的元素左右放置成n行2n列的矩陣(A I),對(duì)矩陣(A I)進(jìn)行初等行變換,變到左半部分為I時(shí)右半部分即為。
初等行變換有三種:①交換某二行 ②某一行乘非零常數(shù)
③某一行每一元素都乘同一非零常數(shù)加到另一行
(6)矩陣的秩:任一矩陣通過(guò)初等行變換轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣后非零行的行數(shù)就是矩陣的秩,記為秩(A)或r(A)
階梯形矩陣滿足:1.零行(一行中所有元素都是0)在最下面、
2.非零行中每行最前面0的個(gè)數(shù)比它前一行的最前面的0的個(gè)數(shù)多
典型例題:
說(shuō)明:這部分考試時(shí)不必寫,我只是寫給你看看的,為了容易理解
1.矩陣,求。
3、
下面求的逆矩陣
說(shuō)明:此題每個(gè)箭頭上方的文字考試時(shí)可以不寫,我只是寫給你看看的,容易理解
(以下各題也一樣)
2.
分析:A是3行3列的矩陣,即3階矩陣,所以對(duì)應(yīng)I為3階單位矩陣,即這里
解:
3.設(shè)矩陣,是3階單位矩陣,求.
解:由矩陣減法運(yùn)算得
利用初等行變換得
即
方法總結(jié):先從左到右變,使左下方元素變?yōu)?,再?gòu)挠业阶笞?,使右上方元素變?yōu)?且對(duì)角線元素為1。
4.設(shè)矩陣,,求.
解 所以, =
5.設(shè)矩陣,求解矩陣方程.
分析:
4、 即,所以本題還是求逆矩陣,即求
解 因?yàn)? 所以
且 .
說(shuō)明:如果題目改為,則即
所以秩(A)=3
(也可寫成r(A)=3)
二)線性方程組 1.齊次線性方程組(即方程右邊常數(shù)項(xiàng)全為0)
解法:第
5、一步 寫出系數(shù)矩陣A
第二步 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換(同上面求逆矩陣),化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣
第三步 根據(jù)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣寫出方程組的一般解。
行簡(jiǎn)化階梯形矩陣是每一個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素是1,且其上下都是0的階梯形矩陣。
例1.求線性方程組 的一般解.
說(shuō)明:一般解中的系數(shù)就是方框中的數(shù)的相反數(shù),如箭頭所示。你考試時(shí)不必畫框框和箭頭
一般解為:(其中,是自由未知量)
2.非齊次線性方程組(即方程右邊常數(shù)項(xiàng)不全為0)
解法:第一步 寫出增廣矩陣,即系數(shù)矩陣A再加上一列常數(shù)列
6、
第二步 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(同上面求逆矩陣),化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣
第三步 根據(jù)行簡(jiǎn)階梯形矩陣寫出方程組的一般解。
例:求線性方程組的一般解.
解:
說(shuō)明:一般解中的系數(shù)就是第一方框中的數(shù)的相反數(shù),常數(shù)項(xiàng)就是第二方框內(nèi)的數(shù),如箭頭所示。你考試時(shí)不必畫框框和箭頭
于是方程組的一般解是(是自由未知量)
3.含參數(shù)的齊次方程組
用方程組的系數(shù)矩陣A的秩(即通過(guò)初等行變換變?yōu)殡A梯形后非零行的行數(shù))小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí),方程組有非零解來(lái)確定參數(shù)的值,然后寫出一般解。
例:求當(dāng)λ取何值時(shí)方程組有非零解?并求出非零解。
解:將方程的系數(shù)矩陣化為階梯形
7、矩陣
因?yàn)榉匠讨心┲獢?shù)有3個(gè),必須A的秩小于3,方程組才會(huì)有非零解,所以λ=5時(shí)方程組有非零解
此時(shí) 故一般解為
4.含參數(shù)的非齊次方程組
用方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等(即兩者通過(guò)初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣后非零行的行數(shù)相等)時(shí)方程組有解來(lái)確定參數(shù)的值,然后求解。
例:求當(dāng)取何值時(shí)線性方程組有解,在有解的情況下求方程組的一般解.
解:將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣
由此可知當(dāng)時(shí),方程組有解.
此時(shí)
得方程組的一般解為其中是自由未知量.
二.應(yīng)用題
1.主要有兩大類,求平均成本及平均成本最低,求總利潤(rùn)和總利潤(rùn)最高。
2.名字解釋 總成
8、本:固定成本加可變成本 邊際成本:總成本的導(dǎo)數(shù)
總收益:生產(chǎn)的產(chǎn)品銷售后得到的收入 邊際收益:總收益的導(dǎo)數(shù)數(shù)
總利潤(rùn):總收益減去總成本 邊際利潤(rùn):總收益的導(dǎo)數(shù)或邊際收益減去邊際成本
3.已知總成本求邊際成本就是求總成本的導(dǎo)數(shù),已知邊際成本求總成本就是求邊際成本的積分再加上固定成本;已知總收益(或總利潤(rùn))求邊際收益( 或邊際收益)就是求導(dǎo)數(shù),已知邊際收益(或邊際利潤(rùn))求總收益(或總利潤(rùn))就是求邊際的積分。如:
4.解題方法
求平均成本最低的方法:邊際平均成本即平均成本的導(dǎo)數(shù)等于零
9、的產(chǎn)量對(duì)應(yīng)的平均成本就是最低平均成本 求利潤(rùn)最高的方法:邊際利潤(rùn)即利潤(rùn)的導(dǎo)數(shù)等于零的產(chǎn)量對(duì)就的利潤(rùn)就是最高利潤(rùn)。
求總產(chǎn)量變化時(shí)成本、平均成本、收益或利潤(rùn)的增量時(shí)用相應(yīng)的邊際函數(shù)的定積分(見(jiàn)例2的第二小題)
應(yīng)用題中的導(dǎo)數(shù)與積分是比較簡(jiǎn)單的,以多項(xiàng)式為主,主要公式為:
如:
5.典型例題:
例1 已知某產(chǎn)品的邊際成本(萬(wàn)元/百臺(tái)),為產(chǎn)量(百臺(tái)),固定成本為18(萬(wàn)元),
求⑴該產(chǎn)品的平均成本.⑵最低平均成本.
解(1)
∴平均成本函數(shù)
(說(shuō)明:若要求產(chǎn)量q=10時(shí)的總成本與平均成本,則只要把q=10代入就可以。即
(2),令,解得唯一駐點(diǎn)
因?yàn)?/p>
10、平均成本存在最小值,且駐點(diǎn)唯一,所以,當(dāng)產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí),可使平均成本達(dá)到最低。
∴最低平均成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))
例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬(wàn)元/百臺(tái)),邊際收入為(萬(wàn)元/百臺(tái)),其中為產(chǎn)量,問(wèn)(1)產(chǎn)量為多少時(shí),利潤(rùn)最大?
(2)從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺(tái),利潤(rùn)有什么變化?
解:
令 得 (百臺(tái)),可以驗(yàn)證是是的最大值點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為20(百臺(tái))即臺(tái)時(shí),利潤(rùn)最大.
從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái),利潤(rùn)變化為
即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺(tái),利潤(rùn)將減少萬(wàn)元
三.微積分部分
一)求導(dǎo)數(shù):以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為主。
1.記住常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
11、
1
2.求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則:(1)和差的導(dǎo)數(shù)
(2)乘積的導(dǎo)數(shù) 特例
(3)商的導(dǎo)數(shù)
3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法:
如:。 思路:把 解:
(這實(shí)際上就是上面公式 等等的應(yīng)用)
典型例題:
1.已知,求. 分析:這首先是乘積的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)時(shí)是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解:
2.設(shè),求.
分析:這首先是差的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)都是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
3. 分
12、析:這首先是商的導(dǎo)數(shù),然后在求的導(dǎo)數(shù)時(shí)是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4. 分析:這是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但有兩層復(fù)合。
解:
說(shuō)明:(1)若題目改為求dy,則只要在求出即可。
(2)若題目改為求,則只要在求出導(dǎo)數(shù)后
如:
二)求積分
1.原函數(shù)定義
2.積分的定義
3.積分公式
13、
4.積分方法
(1)直接法 直接利用公式計(jì)算 (而且用到公式)
(2)湊微分法 ,
如常用到:
(3)分部積分法 (主要掌握以下幾個(gè)題型即可)
5.定積分 (1)
即
(要見(jiàn)求定積分實(shí)際上是先求不定積分再補(bǔ)是最后一步即可)
如:
(2)分部積分法
如:
典型例題:
1.求
解:
2.計(jì)算 解:
3.計(jì)算 解:===
上面三題是湊微分法。
3.計(jì)算.
4.求 解:
5. 解:
以上三題是積分的分部積分法。
復(fù)習(xí)課資料9(共9頁(yè))