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1、 方程的根與函數的零點 教學設計 兩篇 一．內容和內容解析 本節(jié)內容有函數零點概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理． 函數零點是研究當函數的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數圖象上，也就是函數圖象與軸的交點橫坐標． 由于函數的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數的零點必然與方程有著不可分割的聯系，事實上，若方程有解，則函數存在零點，且方程的根就是相應函數的零點，也是函數圖象與軸的交點橫坐標．順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數零點的問題．這是函數與方程關系認識的第一步． 零點存在性定理，是函數在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．如果

2、函數在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)<0，則函數在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點，但零點的個數，需結合函數的單調性等性質進行判斷．定理的逆命題不成立． 方程的根與函數零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數入手，建立二次函數的零點與相應二次方程的聯系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數與相應方程的情形；零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了“數形結合思想”及“轉化與化歸思想”． 方程的根與函數零點的關系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學習做好準備，而且揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系正是中學數學

3、重要思想方法——“函數與方程思想”的理論基礎．可見，函數零點概念在中學數學中具有核心地位． 本節(jié)的教學重點是，方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理． 二．目標和目標解析 通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題；理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數存在零點的區(qū)間． 1．能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應函數圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系； 2．正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數存在零點的一個充分條件；了解函數零點只能不止一

4、個； 3．能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數； 4．能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應的函數；并會判斷存在零點的區(qū)間（可使用計算器）． 三．教學問題診斷分析 學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數圖象和二次方程，并且解過“當函數值為0時，求相應自變量的值”的問題，初步認識到二次方程與二次函數的聯系，對二次函數圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會．在高中階段，已經學習了函數概念與性質，掌握了部分基本初等函數的圖象與性質． 教學的重點是方程的根與函數零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用． 以二次方程及相應的二次函數為例，引入函數零點的概

5、念，說明方程的根與函數零點的關系，學生并不會覺得困難．學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數（或方程），能求出存在零點（或根）的區(qū)間． 教學過程中，通過引導學生通過探究，發(fā)現方程的根與函數零點的關系；而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數圖象與軸的交點的情況，來研究函數零點的情況，通過研究：①函數圖象不連續(xù)；②；③，函數在區(qū)間上不單調；④，函數在區(qū)間上單調，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解． 四．教學支持條件分析 本節(jié)教學目標的實現，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數零點以及同時函數圖象與軸的交點的關系；另一方面

6、，判斷零點所在區(qū)間過程中，一些函數值的計算也必須借助計算機或計算器． 五．教學過程設計 1．方程的根與相應函數圖象的關系 復習總結一元二次方程與相應函數與軸的交點及其坐標的關系： 一元二次方程根的個數 圖象與軸交點個數 圖象與軸交點坐標 意圖：回顧二次函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備． 問題一、上述結論對其他函數成立嗎？為什么？ 在《幾何畫板》下展示如下函數的圖象： 、、、、， 比較函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系。 函數的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與

7、軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標． 意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數。 2．函數零點概念 對于函數，把使的實數叫做函數的零點． 說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值． 3．方程的根與函數零點的關系 方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點 以上關系說明：函數與方程有著密切的聯系，從而有些方程問題可以轉化為函數問題來求解，同樣，函數問題有時也可轉化為方程問題．這正是函數與方程思想的基礎． 4．零點存在性定理 問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據該圖象片段，將其補充成完整函數圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃？為什么？（假設氣溫是連續(xù)變化的）

8、 意圖：通過類比得出零點存在性定理． 給出零點存在性定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根. 問題三、不是連續(xù)函數結論還成立嗎？請舉例說明。 在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明。 問題四、若，函數在區(qū)間在上一定沒有零點嗎？ 問題五、若，函數在區(qū)間在上只有一個零點嗎？可能有幾個？ 問題六、時，增加什么條件可確定函數在區(qū)間在上只有一個零點？ 在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明問題四、五、六。 意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理． 5．例題：求函數的零點的個數． 問題七、能否確定一個區(qū)間，

9、使函數在該區(qū)間內有零點． 問題八、該函數有幾個零點？為什么？ 意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結合函數性質，判斷零點個數的方法． 六．目標檢測設計 1.已知函數f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表，則函數在哪幾個區(qū)間內有零點？為什么？ x 1 2 3 4 6 10 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 2.函數在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點？若存在，有幾個？ 3.利用函數圖象判斷下列方程有幾個根 （1） （2） 4．指出下列函數零點所在的大致區(qū)間 （1） （2） 最后，師生共同小結（略

10、） 思考題：函數的零點在區(qū)間內有零點，如何求出這個零點？設計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學習做準備． “方程的根與函數的零點”教學設計2 一、教學內容解析 本節(jié)課的主要內容有函數零點的的概念、函數零點存在性判定定理。 函數f(x)的零點,是中學數學的一個重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實數x;從方程的角度看,即為相應方程f（x）=0的實數根，從函數的圖形表示看,函數的零點就是函數f(x)與x軸交點的橫坐標.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函

11、數與方程有機的聯系在一起。 函數零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數的“變號”零點；定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質作進一步的判斷。 對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方

12、程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。 函數與方程相比較,一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”。用函數的觀點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其它知識的聯系奠定了堅實的基礎。 本節(jié)是函數應用的第一課，因此教學時應當站在函數應用的高度，從函數與其他知識的聯系的角度來引入較為適宜。 二、教學目標解析 1．結合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數與方程之間的內在聯系，從而了解函數的零點與方程根的聯系。 2．結合函數圖象，通過觀察分析特殊函數的零點存

13、在的特點，通過問題，理解連續(xù)函數在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結論。 3．通過具體實例，學生能結合函數的圖象和性質進一步判斷函數零點的個數。 4．在學習過程中，體驗函數與方程思想及數形結合思想。 三、教學問題診斷分析 1．通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數的觀點，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯系缺乏了解。由

14、此作為函數應用的第一課時，有必要點明函數的核心地位，即說明函數與其他知識的聯系及其在生活中的應用，初步樹立起函數應用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設置，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。 2．對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結論。對于定理的條件和結論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視。 3．函數的零點，體現了函數與方程之間的密切聯系，教學中應

15、遵循高中數學以函數為主線的這一原則進行聯結，側重在從函數的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。 四、教學過程設計 (一)創(chuàng)設情景，揭示課題 函數是中學數學的核心內容，它不僅在生活中有著大量的應用，與其他數學知識有著千絲萬縷的聯系，若能抓住這一聯系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。 案例1：周長為定值的矩形 不妨取l=12 問題1：求其面積的值： ， 顯然面積是一個關于x的一個二次多項式， 用幾何畫板演示矩形的變化： 問題2：求矩形面積的最大值？ 當x取不同值時，代數式的值也相應隨之變化，你能從函數的角度審視其中的關系嗎？ 問題3：能否使得矩

16、形的面積為8？你是如何分析的？ （1）實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現面積為8的情況； （2）解方程：x（6-x）=8 （3）方程x（6-x）=8能否從函數的角度來進行描述？ 問題4： 一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數，它們之間有何聯系？ 結論： 代數式的值就是相應的函數值； 方程的根就是使相應函數值為0的x的值。 更一般地 方程f（x）=0的根，就是使函數值y=f（x）的函數值為0的x值，從函數的角度我們稱之為零點。 設計意圖:本節(jié)課是函數應用的第一課，有必要讓學生對函數的應用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數與代數式、方程之間的內在

17、聯系，并從學生所熟悉的具體的二次函數，推廣到一般的二次函數，再進一步推廣到一般的函數。 （二） 互動交流 研討新知 1．函數零點的概念： 對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點． 2．對零點概念的理解 案例2：觀察圖象 問題1：此圖象是否能表示函數？ 問題2：你能從中分析函數有哪些零點嗎？ 問題3：從函數圖象的角度，你能對函數的零點換一種說法嗎？ 結論：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即： 方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點． 設計意圖：進一步掌握函數的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在

18、性定理作好一定的鋪墊。 2.零點存在定理的探究 案例3：下表是三次函數的部分對應值表： 問題1：你能從表中找出函數的零點嗎？ 問題2：結合圖象與表格，你能發(fā)現此函數零點的附近函數值有何特點？ 生：兩邊的函數值異號！ 問題3：如果一個函數f（x）滿足f（a）f（b）<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數的零點? 注意:函數在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理. 問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢? 問題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎? 如1:加強定理的結論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數f（x）滿

19、足f(a)f(b)<0,是否意味著函數f(x)在[a,b]上恰有一個零點? 如2.將定理反過來:若連續(xù)函數f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0? 如3:一般化:一個函數的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2) 設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容，而鼓勵學生提問，是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。 （三）鞏固深化，發(fā)展思維 例1、求函數f(x)=㏑x＋2x －6的零點個數。 設計問題： （1）你可以想到什么方法來判斷函數零點？ （2）你是如何來確定零點所在的區(qū)間的？請各自選擇。 （3）零點是唯一的嗎？為什么？ 設計意圖：對所學內容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數值表觀察。 本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎。 讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要借助函數的單調性。 （四）歸納整理，整體認識 請回顧本節(jié)課所學知識內容有哪些？ 所涉及到的主要數學思想又有哪些？ 你還獲得了什么？ 　(五)作業(yè)（略）