高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答 （第五章 定積分） 惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系 習(xí) 題 5.1 1．證： 2．解：（1）令，則 得駐點： 由， 得 由性質(zhì)，得 （2）令，， 所以在上單調(diào)增加，，， 即 3．解：（1）當時，有，且不恒等于， ，即 。 （2）當時，有，且不恒等于，，即 。 （3）令，則， 所以在上單調(diào)增加，， 且不恒等于，所以 （4）令，則， 所以在上單調(diào)增加，， 且不恒等于，所以 4.解：在區(qū)間內(nèi)：，由比較定理： 5. 證明：考慮上的函數(shù)，則 ，令得 當時， 當時， ∴在處取最大值，且在處取最小值. 故，即。 6.解：平均值. 習(xí) 題 5.2 1. 解：（1）. （2）. （3）===. (4) ==. (5) ===. （6）===. 2．解：（1） （2） 3.解： 當，得駐點， 為極小值點， 極小值 4. 解：當時， 當時， 當時， 故 5. 解：令，則， 從而 即， ∴ 6．解：原式 7．解： 習(xí) 題 5.3 1．解：（1）= （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）， 其中 解： （10），其中 . 解： 2．解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 3. 解：(1) ∵為奇函數(shù) ∴ （2） 利用定積分的線性性質(zhì)可得 原式 而前兩個積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個定積分值均為0， 原式 4．證：令，則 左邊右邊 5．證：令，則 左邊=右邊 6．證一： 而 所以的值與無關(guān)。 證二：令，則， 所以是與無關(guān)的常數(shù)。 7．證：令，則 所以是偶函數(shù)。 8．證： 即 習(xí) 題 5.4 1. 答：不正確.因為在[0，]上存在無窮間斷點 ， 故 不能直接應(yīng)用公式計算，事實上， 所以廣義積分發(fā)散. 2．解：（1） 即廣義積分收斂于. （2） 發(fā)散. （3） 即廣義積分收斂于. （4） 而 所以 （5） （6） （7） （8）令，則，于是 ∴ 從而。 3.解：（1） =+ = (2) 令，于是 4.解：左端 右端 ∴ 解之或。 本章復(fù)習(xí)題 1. 解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負值. （1）由下圖（1）所示，. 2 A ( 2 ) - 1 - 1 1 1 1 A 1 A ( 1 ) 1 - 1 3 A 4 A 5 A 2 π π ( 3 ) 1 1 (4) （2）由上圖（2）所示，. （3）由上圖（3）所示，. （4）由上圖（4）所示，. 2. 解： 3. 解：任取分點,把分成個小區(qū)間 ，小區(qū)間長度記為=-,在每個小區(qū)間 上任取一點作乘積的和式： , 記, 則. 4. 解：連續(xù)函數(shù)，故可積，因此為方便計算，我們可以對 等分，分點取相應(yīng)小區(qū)間的右端點，故 = = = 當（即），由定積分的定義得： =． 5. 解：先求在上的最值，由 , 得或. 比較 的大小，知 ， 由定積分的估值公式，得, 即 . 6. 解：（1） （2）=+==4+. （3）=+==2+2=4. （4）=. 7. 解：（1）=. （2）=. （3）. （4）=. 8. 解：（1）此極限是“”型未定型，由洛必達法則，得 == （2） 9. 解： 10．解：原式 11．解：將兩邊對求導(dǎo)得 ∴ 12. 答：（1）不正確，應(yīng)該為： = （2）不正確，應(yīng)該為： =2. 13. 解：（1）令=,則,當= 0 時，= 0；當= 4 時，，于是 = （2）==. (3) (4) (5)令，，，時；時，. 于是 (6) 令，則，.當時，，當時，. 原式. 14. 解：（1）== =. (2) = =＝=1 (3) = = 移項合并得. （4） （5） （6） 15. 解：(1) = (2) 原式 16. 解： 由已知條件得 ，即 ，， 即得。 17. 證明：（1）設(shè).且當時，；當 故 （2）設(shè)， = 利用此公式可得：== = =. 18. 證明： 利用分部積分法， = 19. 答：不正確.因為在[，]上存在無窮間斷點 ， 不能直接應(yīng)用公式計算，事實上， ++ + +不存在, 故發(fā)散. 20. 解：（1）=, 發(fā)散. （2）= （3） （4）=. 21.解：(1) 。 (2) 令，，則 22. 證明：當，發(fā)散； 當=。 本章復(fù)習(xí)題 一、填空題 1． 。 [答案：填] 2. 若，則 。 [答案：填] 令（為常數(shù)），則，所以 即 。 3. 設(shè)有一個原函數(shù)，則 。 [答案：填] 因為，所以 4. 。 [答案：填] 5. 設(shè)，則常數(shù) 。 [答案：填] 左邊，右邊， 所以 二、選擇題 1．設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，則等于 （ ）。 （A）；（B）；（C）；（D）不存在。 [答案：選（B）] 應(yīng)用洛必達法則，有 2．設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則等于（ ）。 （A）；（B）； （C）；（D）。 [答案：選（A）] 3．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程 在開區(qū)間內(nèi)的根有（ ）。 （A）個；（B）個（C）個；（D）無窮多個。 [答案：選（B）] 令，則在閉區(qū)間上連續(xù)，且 ， 則由零點定理知，方程在內(nèi)至少有一個根。 又因為當時，有 所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，因此方程在內(nèi)至多有一個根。 綜上，有方程在內(nèi)只有一個根。 4．下列廣義積分收斂的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）； [答案：選（C）] 令，則上面四個廣義積分可化為 （A）；（B）；（C）；（D）。 則顯然收斂，因為，而其余的都，發(fā)散。 5．下列廣義積分發(fā)散的是（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D） [答案：選（A）] （A）中，為瑕點，且，由極限斂散性判別法，知（A）中廣義積分發(fā)散。 三、計算題 1. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，，求 。 解：令，則，于是 2. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且。已知，求的值。 解：令，則，于是 求導(dǎo)得 ，即 取，得。 3. 求極限 解： 4. 求連續(xù)函數(shù)使它滿足。 解：令，即，則，所以 ，即 兩邊求導(dǎo)，得 ，即 積分，得 5. 求。 解： 6. 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。 解： 因，所以函數(shù)在區(qū)間上單增，則 7. 求定積分。 解： 8. 已知，求常數(shù)的值。 解： 左邊 右邊 所以有或。 9. 計算 解： 所以 10. 計算。 解： 四、證明題 1．假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可導(dǎo)，且。記 證明在內(nèi)。 證明：由在上連續(xù)以及微積分基本定理，知在內(nèi)可導(dǎo)，且有 又因，則在內(nèi)單調(diào)遞減，所以有，，而，所以 2. 設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件。試證：存在，使 證明：令，則顯然在區(qū)間上可微（也連續(xù)），且 , 因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 ,即 3. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足（）。試證：存在，使 證明：令，則顯然在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 其中。因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 即 ，。 4. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 。 試證：存在，使得。 證明：令，則顯然在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 其中。因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 即 ，。 5. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且。試證：至少存在一點，使。 證明：由在上連續(xù)和積分中值定理，有 ， 因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 6. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點，使 證明：因為在上連續(xù)，且，由最值定理，知在上有最大值和最小值，即 故 由介值定理知，存在，使 ，即 7. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)不減且非負。試證函數(shù) 在上連續(xù)單調(diào)不減（其中）。 證明：（1）先證的連續(xù)性。當時，由的連續(xù)性可知連續(xù)；又因 可見在處右連續(xù)。所以在上連續(xù)。 （2）再證在上單調(diào)不減。。當時， ， 因在上單調(diào)不減，所以，，所以 所以在上單調(diào)不減。 8. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，試證： （1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)； （2）若為單調(diào)不增，則單調(diào)不減。 證明：（1）因為為偶函數(shù)，所以有，則 因此是偶函數(shù)。 （2）因為 又為單調(diào)不增，則，而，所以 則單調(diào)不減。 9. 設(shè)在區(qū)間（）上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)） （1）證明； （2）利用（1）的結(jié)論計算定積分。 證明：（1） 而 則 （2）取為偶函數(shù)，，因為 （為常數(shù)） 特別地，取，有 由（1），得 10. 假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可導(dǎo)，且。記 證明在內(nèi)。 證明：由在上連續(xù)以及微積分基本定理，知在內(nèi)可導(dǎo)，且有 又因，則在內(nèi)單調(diào)遞減，所以有，，而，所以 11. 設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件。試證：存在，使。 證明：令，則顯然在區(qū)間上可微（也連續(xù)），且 , 因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 ,即 12. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足（）。試證：存在，使 證明：令，則顯然在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 其中。因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 即 ，。 13. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 。 試證：存在，使得。 證明：令，則顯然在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 其中。因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 即 ，。 14. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且。試證：至少存在一點，使。 證明： 由在上連續(xù)和積分中值定理，有 ， 因此，在區(qū)間上據(jù)羅爾定理有，存在，使 15. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點，使 證明：因為在上連續(xù)，且，由最值定理，知在上有最大值和最小值，即 故 由介值定理知，存在，使 ，即 26