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2019-2020年高三數(shù)學一輪總復習 專題十五 統(tǒng)計（含解析） 重點1 抽樣方法 1. 隨機抽樣的方法 (1)簡單隨機抽樣的方法有：抽簽法和隨機數(shù)表法． 抽簽法的步驟：①將總體中的個體隨機編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；②將這些號簽放在同一個容器里，均勻攪拌；③每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取，獲取樣本號碼. 隨機數(shù)表法的步驟：①將總體中的個體隨機編號；②在隨機數(shù)表中選擇開始的數(shù)字；③獲取樣本號碼． (2)系統(tǒng)抽樣的步驟：①將總體中的個體隨機編號；②將編號分段；③在第1段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本． (3)分層抽樣的步驟：①分層；②按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；③各層抽樣（方法可以不同）；④匯合成樣本． 2．三種抽樣方法的比較 類別 共同點 特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 ①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；②每次抽出個體后不再放回，即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體個數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體平均分成幾部分，按預先制定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣 總體個數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，按各層個體數(shù)之比抽取 各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 [高考常考角度] 角度1一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為___________. 解析：設抽取男運動員人數(shù)為，則，解之得. 或者: 角度2將參加夏令營的600名學生編號為：001，002，……600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003．這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495住在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)一次為（ ） A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 解析：依題意可知，在隨機抽樣中，首次抽到003號，以后每隔12個號抽到一個人，則分別是003、015、027、039構成以3為首項，12為公差的等差數(shù)列，，故可分別求出在001到300中有25人，在301至495號中共有17人，則496到600中有8人， 故選B。 重點2 用樣本估計總體 1．頻率分布圖．（表）、頻率分布直方圖和總體密度曲線的繪制與應用 (1)頻數(shù)分布圖（表）能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù)；而頻率分布直方圖（表）則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布． (2)作頻率分布直方圖的步驟： ①求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差 ②決定組距與組數(shù)．將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)應力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來．這時應注意：a．一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；b．為方便起見，組距的選擇應力求“取整”；c．當樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5—12組． ③將數(shù)據(jù)分組． ④計算各小組的頻率，作頻率分布表（） ⑤畫頻率分布直方圖． (3)總體密度曲線是頻率分布折線的一條極限曲線．隨著樣本容量不斷增加，分組不斷加密，頻率分布折線就會越來越光滑，最終形成總體密度曲線，總體密度，曲線反映的是總體在各個范圍內取值的百分比．實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但只能用樣本的頻率分布對它估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越準確． (4)幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點和不足： ①頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體趨勢不太方便． ②頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． ③頻率分布折線圖的優(yōu)點是反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢．如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷減小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線． 2．莖葉圖的應用 (1)莖葉圖：當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)， 即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此，通常把這樣表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖． (2)莖葉圖的特征： ①用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示， ②莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組數(shù)據(jù)，兩組以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩組數(shù)據(jù)那么直觀、清晰． ③莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進一步估計總體情況． (3)注意莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)． 在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了． 3．用樣本數(shù)字特征估計總體 (1)注意以下幾點： ①各數(shù)字特征的優(yōu)缺點：眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體數(shù)字特征；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也成為缺點，因為這些極端值有時是不能忽視的． 由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)都有關，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)不具有的性質．也正是這個原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低， ②標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小． ③標準差、方差的取值范圍為，標準差、方差為0時，樣本中各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散性． ④因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差． (2)標準差和方差的關系及計算 ①標準差的平方就是方差，即 [高考常考角度] 角度1 樣本中共有5個個體，其值分別為.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為（ ） A. B. C. D. 解析：由題意知，解得，故樣本方差為 ,故選D. 角度2某小學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）。根據(jù)頻率分布直方圖3000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是_____________________ 解析：該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生的頻率 是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2 故所求為0.2*3000=600 角度3在如圖所示的莖葉圖中， 甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 、 解析：45；46，本題主要考察了莖葉圖所表達的含義， 以及從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征的能力，屬容易題。注意順序. 角度4為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取 30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設得分值的中位數(shù)為 me，眾數(shù)為mo，平均值為，則 (　　) A．me＝mo＝ B．me＝mo< C．mek) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2．與的關系并不是是的觀測值，或者說是一個隨機變量，它在取不同的值時，可能不同，而是取定一組數(shù)后的—個確定的值. 典例2為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： （1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （2）能否有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？ （3）根據(jù)（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由. 解：（1）調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助， 因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為 （2）。 由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關。 （3）由于（2）的結論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調查時,先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. ……12分 規(guī)避2個易失分點 易失分點1 統(tǒng)計圖表中概念不清、識圖不準 典例 某公司（共有員工300人）xx年員工年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由此可知，員工中年薪在 1.4萬元~1.6萬頁之間的共有_______人. 易失分提示: 解本題容易出現(xiàn)的錯誤是審題不細，對所給圖形觀察 不細心，認為員工中年薪在．1.4萬元～1.6萬元 之間的頻率為，從而得到員工中年薪 在1.4萬元～1.6萬元之間的共有人的錯誤結果． 解析：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為 所以員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之問的共有人． 易失分點2 回歸系數(shù)和回歸常數(shù)相混淆 典例 為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學成績、物理成績進行分析：下面是該生7次考試的成績． 數(shù)學 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明； （2）已知該生的物理成績與數(shù)學成績是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數(shù)學成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學成績的相關性，給出該生在學習數(shù)學、物理上的合理建議． 易失分提示：成績的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差判斷，由物理成績估計數(shù)學成績由回歸直線方程解決．本題容易出錯的就是把回歸系數(shù)和回歸常數(shù)弄顛倒，導致解題錯誤． 解析：（1）， ， 從而物理成績更穩(wěn)定. （2）由于與之間具有線性相關關系， 根據(jù)回歸系數(shù)公式得到 線性回歸方程為．當時， 建議：進一步加強對數(shù)學的學習，提高數(shù)學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高.